毕业论文60975

1、10届届 分 类 号:o175.14 单位代码:10452临沂师范学院理学院毕业论文（设计） 姓 名 邵付松邵付松 学 号 200606140412200606140412 年 级 20062006 专 业 数学与应用数学数学与应用数学 系（院） 理学院理学院 指导教师 杨杨 伟伟 2009年11月30日临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）1摘摘 要要采用积分因子法将一阶微分方程转化成全微分方程是我们常用的一种重要的求解方法.为了得到方程的积分因子, 需要求解积分因子所满足的偏微分方程.为了避免求解偏微分程，我们利用偏微分方程所对应的特征方程, 从而将求解积分因子转化成为求解常

2、微分方程的首次积分.为了简化首次积分的计算, 我给出了一些特征方程有关条件的限制, 并利用比例性质对特征方程进行变形,从而比较容易得到一些特殊的积分因子, 从而使常微分方程转化为全微分方程，这是我写本文的主要思路.如何对特征方程有关条件进行限制？这一点主要还是从积分因子的引入过程中得以了解.关键词关键词 ：积分因子；偏微分方程；特征方程；首次积分临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）2ABSTRACTIntegrating factor method using first-order differential equations are transformed into Shi

3、ng Chuen is commonly used as an important method for solving. Integral factor to the equation, integrating factor which needs to solve the partial differential equation. In order to avoid solving the partial differential equation, we use the characteristics of partial differential equations correspo

4、nding to the solution of integral factor transformed into the first integral to solve ordinary differential equations.In order to simplify the calculation of the first points, I give some characteristic equation of the conditions, and the proportional nature of the characteristic equation for deform

5、ation, and thus easier to get some special integrating factor, so that all ordinary differential equations are transformed into This is my main ideas of this writing. How to restrict the conditions characteristic equation? This is mainly from the introduction of the process of integrating factor to

6、understand.Key words：Integrating factor；Partial Differential Equations；Characteristic equation；First integral1目 录1 1 引言引言.1 12 2 预备知识预备知识.1 13 3 重要定理重要定理.5 54 4 应用应用.9 95 5 结论结论 .1111参参 考考 文文 献献.1212致致 谢谢.131311 引言对一些特殊积分因子的存在条件和计算公式做了一些研究，并利用这些方法对一些较为复杂的的微分方程进行简化，并使我们对积分因子法的应用有了一定的认识.本文主要是通过对偏微分方程对

7、应特征方程有关条件的限制，利用合分比性质求得特征方程的首次积分，从而获得特殊条件下的某些积分因子.2 预备知识在介绍本篇文章之前，让我们先来回顾一下积分因子、偏微分方程以及一阶常微分方程组的首次积分的概念.定义定义 1 1 如果微分形式的一阶方程（1-1）0),(),(dyyxNdxyxM的左端恰好是一个二元函数的全微分，即),(yxU（1-2）则称（1-1）是全微分方程或dyyxNdxyxMyxdU),(),(),(恰当微分方程，而函数 U（x,y）称为微分式（1-2）的函数.例如方程就是一个微分方程，因为它的左端恰是二元函数0 ydyxdx的全微分.但是方程（1-1）未必都是全微分方程，例

8、)(21),(22yxyxU如，下面这个简单方程：（1-3）就不是微分方程，因为0 xdyydx 如果将上面这个方程两端同乘以,得到方程1, 1xNyMx21（1-4）这是一个微分方程，因为此时有012dyxdxyx 通常我们称为方程（1-4）的积分因子，因为它可使方xNyMx21x21程（1-3）变成全微分方程（1-4）.一般地，我们有下面的定义，假如存在这样的连续可微函数,使方程0),(yxu （1-5）成为全微分方程，我0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu们就把称为方程（1-1）的一个积分因子.易于看到，当),(yxu时，方程（1-1）与（1-2）是同解的.于是为了

9、求解（1-1），只0),(yxu需求解（1-2）就可以了.那什么是偏微分方程呢？例如，方程临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）2、 都是偏微分方程.偏微),(yxuuyxu0yuxu02yxz分方程有着鲜明的实际背景，很多有重大意义的自然科学与工程技术问题可以转化成偏微分方程.偏微分方程的解法和理论是极为丰富的.一阶偏微分方程的一般形式为：（1-6）其中，0).,.,(2121xxxxxxnnuuuuFx1.，为自变量，是未知函数，和常微分方程一样， （1-6）也有初值问x2xnu题即 Cauchy 问题，但提法不同.（1-4）的初值问题是求（1-6）的满足的解，其中 i 是

10、1,2,3,.，n),.,.,(|11210uixxxxxuniiifu中的某一个数.而为某一给定函数.),.,.,(1121xxxxxniif例如，求解初值问题解 前面已知方程的通解为yyuyuxu2), 0(0 其中为的任意可微函数，根据初值条件,y)-f(xu )(vfvyyu2), 0(应有,所以,于是初值问题的解为yyf2)(vvf2)()(2yxu如下两类方程：（1-7）0),.,(.),.,(1111xxxXxxxXnnnnuu（1-),.,(),.,(.),.,(11111uRuuxxxxxXxxxXnnnnn8）（1-7）称为一阶线性奇次偏微分方程，（1-8）称为一阶拟线性非

11、齐次偏微分方程.对一阶微分方程 (1)其中0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(D 为单连通区域，在 D 上有连续的一阶偏导数，寻找积分),(),(yxNyxM因子,使方程（1）转化成微分方程),(yxu（2）求解，是一种重要0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu的和有效的求解方法，通过全微分方程可以得到偏微分方xuNyuM)()(临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）3程 （3）.下面让我们来了解下一阶常微xNyMyuMxuNlnln分方程组的首次积分的概念.我们先给出一般的一阶常微分方程组的形式： （1-),.,(.),.,(),.,(212122

12、2111yyyfyyyyfyyyyfynnnnnxdxdxdxdxdxd9） 例 1 求解 xdtdyydtdx解解 先将第一式两端同乘 x，第二式两端同乘 y，然后相加得 或 这个式子是可积的，积分后得到0dtdyydtdxx0)(dtdyx22和的一个关系式 为了解出和来，最好还能求得和xycyx122xyx的另一个关系式.经过观察分析，可以用如下方法.将第一式两端同乘，第yy二式两端同乘，然后相减，得 x yxdtdyxdtdxy22即 122yxdtdyxdtdxy或 , 1arctanyxdtdctyx2arctan于是，得到方程组的解和所满足的方程组（1-)(tx)(tyccyxt

13、yx2122arctan临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）410） ，上式即为原方程组的通积分.我们在上例中使用的方法属于“可积组合法” ，就是将所给方程组，经过有限次运算之后，得到某些可以积分的方程的方法.这种方法没有一定的规则，技巧性较高.我们主要想从上例中引出一个重要的概念，即首次积分，请注意（1-10）左端的两个函数 . 由于（1-10）yxyxt221),(tyxyxt arctan),(2是原方程组的通积分，所以将方程组的任意一个解, 代入到（1-10）)(tx)(ty中，它的两个式子都将成为恒等式.从而应有： )()()(),(,(221tttytxtyxc1

14、cttytxtytxt22)()(arctan)(),(,(即 ，将分别恒等于某些常数.)(),(,(1tytxt)(),(,(2tytxt定义定义 2 2 如果以（1-9）的任何一个解代入连续)(),.,(),(21xxxyyyn可微函数，使函数恒等于某),.,(21yyynx(x)(x),.,(x),(x,yyyn21一个常数（此常数与所取解有关） ，则函数称为方程 （1-),.,(21yyynx9）的一个首次积分. 引理引理 常微分方程有可求的积分因子充分0),(),(dyyxNdxyxM必要条件是方程（3）的特征方程有可求的首次积分.证证 （必要性）若存在函数使),(yxu为0),()

15、,(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu全微分方程，则有 xuNyuM)()(（4）而方程又等价于偏微分方程（3）.故要解方程（1）关键是要解积分因子,而要求关键是要求偏微分方程（3）),(yxu),(yxu令： (*)xNyMSut,ln则方程（3）可转化成临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）5, (5)SytMxtN写出偏微分方程（5）的特征方程, (6)SdtMdyNdx故求解关键就在于求解（6）的首次积分.),(yxu（充分性）若方程（6）存在首次积分 （c 为常数） ，反解ctyx),(得,即故.显然),(1yxt),(),(ln1yxyxueyxyxu),(

16、1),(满足偏微分方程（5）.),(yxu故为全微分方程.即0),(),(),(),(dyyxNyxudxyxMyxu为方程（1）的一个积分因子.),(yxu由引理我们可以得到，将积分因子满足的偏微分方程改写成特征方程，从而通过求常微分方程组的首次积分来确定积分因子是一种较为有效的方法.由于在求解偏微分方程及特征方程的首次积分中存在着一定困难，因此本文对特征方程的有关条件进行了限制，从而得到几种特殊的积分因子.3 重要定理定理定理 1 1 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（7）其中为单连通区域，在 D 上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏

17、导数.若存在只与 x 有关的函数 P（x） ，使得成立.则方程（7）存在只与 x 有关的积分因子xMyMNxP1)(.edxxPxu)()(证证 由引理及证明知，必满足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，其中 S,t 如（*）式.将条件，SdtMdyNdxxNyMNxP1)(即代入方程（6）得.进而得到首次积分),()(yxNxPS )(1xpdtdx临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）6，从而得方程的一个积分因子.dxxpt)(edxxpxu)()(定理定理 2 2 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（8）其中为单连通区域，在 D

18、上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏导数.若存在只与 y 有关的函数 Z(y)，使得成立.则方程（8）存在只与 y 有关的积分因子yMxNMyZ1)(.edyyzyu)()(证证 由引理及证明知，必满足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，其中 S,t 如（*）式.将条件SdtMdyNdx，即代入方程（6）得yMxNMyZ1)(),()(yxMyZS .进而得到首次积分，从而得方程的一个积分因子)(1yzdtdxdyyzt)(.edyypyu)()(定理定理 3 3 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（9）其中为单连通区域，在

19、 D 上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏导数.若存在正整数 m,n 使等式)(),() 1(),() 1(11yxyxmnmnxNyMyxMmyxNn成立，则（9）式存在积分因子.yxmnyxu11),(证证 由引理及证明知，必满足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即，SdtMdyNdx临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）7其中 S，t 如（*）式.对方程（6）变形为SdtMdyNdxyyxxmmnn即 ,SdtMmdNndyyxxmmnn) 1() 1(11利用合分比性质得SdtMmNndyxyxmnmn) 1() 1(11由条件 得

20、)(),() 1(),() 1(11yxyxmnmnSyxMmyxNn，进而得首次积分,从而得方程的一1)(1111dtdyxyxmnmn)ln(11yxmnt个积分因子yxmnyxu11),(推论推论 1 1 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(（10）其中为单连通区域，在 D 上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏导数.并且成立.则)(),(2),(222yxxNyMyxyMyxxN原方程（10）存在积分因子.)(),(22yxyxu证证 在定理 1 中令即得1 mn定义定义 3 3 若函数和,其中，0)(xP0)(yqbax,dcy,并且

21、，使得,其中),()(),()(dccyqbacxp)()(),(yqxpyxu为方程（1）的积分因子，则称),(),(),(dcbayx为变量型积分因子.)()(),(yqxpyxu定理定理 4 4 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),(临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）8(11)其中为单连通区域，在 D 上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏导数.若,存在,使得DyxyxN),( , 0),(),()(bacxT成立.则原方程（11）存在变量型积分因子)(1xTMxNyMN，其中.)()(),(yqxpyxueeydxxTy

22、qxp)(,)()(证证 由引理及证明知，必满足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，),(yxu即 ，SdtMdyNdx其中 S，t 如（*）式.由，DyxyxN),( , 0),(对方程（6）变形为NSdtNMdydx1利用合分比性质得MxNyMNdydtdx11变形得dydtdxMxNyMN1进而得首次积分，dxMxNyMNyt1从而得方程的一个积分因子eedxxTyyxu)(),(其中，显然,edxxTxp)()(eyyq)(0)(, 0)(yqxp故为一个变量型积分因子.eedxxTyyxu)(),(定理定理 5 5 对一阶微分方程 0),(),(dyyxNdxyxMDyx),( （1

23、2临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）9）其中为单连通区域，在 D 上又连续的),(),(dcbaD),(),(yxNyxM一阶偏导数，若,存在 DyxyxM),( , 0),(),()(dccyZ成立.则原方程（12）存在变量型积分因子)(1yZNyMxNM，其中.)()(),(yqxpyxueexdyyZxpyq)(,)()(证证 由引理及证明知，u(x,y)必满足偏微分方程（5）及特征方程（6） ，即 ，SdtMdyNdx其中 S，t 如（*）式.由,DyxyxM),( , 0),(对方程（6）变形得yMxNMdtMNdxdy11利用合分比性质得 NyMxNMdxdtdy

24、11变形得 )(1xTMxNyMN 进而得首次积分xdyNyMxNMt1从而得到方程的一个积分因子为一eeeedyyZxdyNyMxNMxyxu)(1),(个变量型积分因子4 应用例例 1 1 求解方程0)(232232dydxxyyyxyx临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）10解解 令故 yxyxNxyyM2232,2331xNyMN由于常数可以看作是 x 的函数，即存在只与 x 有关的函数.由定理 13)(xP知，方程存在只与 x 有关的积分因子.则原方程可化为全eexdxxpxu3)()(微分方程0)()23(223323dydxxyyyxeyxexx例例 2 2 求解

25、方程 0)sin(cosdyyxdxyx解解 令)sin(),cos(yxNyxM则yxxNyxyMcos),sin(从而有为 y 的函数，即存在函数，使11NyMxNM)(yZ,由定理 5 知，存在一个积分因子1)(yZ，eeeeexydyxdyyZxyxu1)(),(从而原方程可化为全微分方程 0)sin(cosdyyxdxyxeexyxy注：对于此类三角函数的微分方程，此方法极为简便.例例 3 3 求解方程 yxqxpdxdyy)()(2解解 由于.1,)()(2NyxqxpMy则0),()(2xNxqxypyM由（6）式得yxqxpydtyxqxpdydxyy)()(2)(2)(221

26、22利用合分比性质， 得yxqydtdydx)(21即dtdyydxxq2)(于是得首次积分 ，ydxxqtln2)(临沂师范学院理学院 2010 届本科毕业论文（设计）11从而得积分因子，eydxxqu)(21从而原微分方程可化为全微分方程.0)()(1)(22)(2dydxyxqxpeyyeyedxxqdxxq5 结论 通过上述几个定理和例题，我们对积分因子与偏微分方程有了大致的了解，并对偏微分方程的特征方程及合分比性质在求解积分因子中的作用有了进一步的认识.如果在今后的学习和研究中，我们能够更好的运用这些性质，来求解微分方程，那么对较好的运用积分因子法会有一定的帮助.临沂师范学院理学院

27、2010 届本科毕业论文（设计）12参 考 文 献1阎淑芳.常微分方程求解积分因子的一个定理及其应用J.邯郸师专学报，2004,14（3） ，362张鹏强，黄继强，代平立.一类一阶微分方程的积分因子J.固原师专学报，2004,25（6） ，57593李振东，张永珍，求积分因子的新方法J.唐山学院报.2003,16（2） ，39404胡晶地，一种寻求积分因子的有效途径J，浙江工贸业技术学院，2004,，4（3） ，47495李德新，积分因子法的应用J.福建农林大学学报（自然科学版）2004,33（2） ，2692716金福临，李训经.常微分方程.上海：上海科技出版社，19797丁同仁.常微分方程

28、教程.北京：人民教育出版社，19818王柔怀，伍卓群.常微分方程讲义.北京:人民教育出版社，19639张锦炎.常微分方程几何理论与分支问题.北京：北京大学出版社，198710潘家齐.常微分方程.北京：中央广播电视大学出版社，200211任永泰，史希福.常微分方程.沈阳:辽宁人民出版社，198412F.约翰，偏微分方程，科学出版社，198613R.布朗森，全美精典微分方程，科学出版社，200214陈恕行，偏微分方程概论，人民教育出版社，198115E卡姆克，常微分方程手册，科学出版社，198716复旦大学数学系，常微分方程，上海科学技术出版社，197817尤秉礼，常微分方程补充教程，人民教育出版社，19831