解析几何教材分析打印

1、高三平面解析几何一轮复习建议一、对高三一轮复习的一点认识新课标将解析几何分成了“平面解析几何初步”“圆锥曲线与方程”“坐标系与参数方程”三个部分，分别编入数学2、选修11（或选修21）、选修44中，采用这种螺旋式上升的编排方法，使学生在高一、高二的学习过程中有多次机会接触解析几何的内容，反复体会、螺旋上升，但同时也使得学生对解析几何部分知识点的认识较为零散，不易形成较为系统的知识结构.因此，高三的复习课不同于起始年级的新授课，也不同于高一高二阶段的章节复习、学期复习课，它是学生在学习完全部高中数学内容的基础上，站在“数学整体”角度对所学全部数学知识（概念、公式、法则、原理）、方法、技能、思想等

2、回头再认识、再理解、再提高、再升华的过程；是学生的空间想象力、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理等基本能力再发展的过程；是发现问题、分析问题、解决问题等综合能力再提升的过程；是注重联系、提高对数学整体认识的过程.二、新课程标准数学考试大纲的考点要求：2011北京考试大纲与以前考试大纲的对比，对内容和要求的变化要给予特别关注. 其中，理科：考试内容要求层次ABC平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率过两点的直线斜率的计算公式两条直线平行或垂直的判定直线方程的点斜式、两点式及一般式两条相交直线的交点坐标(新增)两条直线交角（删）两点间的距离公式(新增)、点到直线的距离公式两条平行线间的距

3、离(新增)圆与方程圆的标准方程与一般方程直线与圆的位置关系(新增)两圆的位置关系(新增)圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程椭圆的简单几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线的简单几何性质双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系(新增)曲线与方程曲线与方程的对应关系（曲线与方程的概念）根据已知条件求曲线方程（删）坐标系与参数方程极坐标系用极坐标表示点的位置(新增)极坐标和直角坐标的互化(新增)参数方程直线的参数方程(新增)圆的参数方程椭圆的参数方程文科：考试内容要求层次ABC平面解析几何初步直线与方程直线的倾斜角和斜率过两点的直线斜率的计算公式两条直线平行或垂直的判

4、定直线方程的点斜式、两点式及一般式两条相交直线的交点坐标(新增)两条直线交角（删）两点间的距离公式(新增)、点到直线的距离公式两条平行线间的距离(新增)圆与方程圆的标准方程与一般方程直线与圆的位置关系(新增)两圆的位置关系(新增)空间直角坐标系空间直角坐标系空间两点间的距离公式圆锥曲线与方程圆锥曲线椭圆的定义及标准方程椭圆的简单几何性质抛物线的定义及标准方程抛物线的简单几何性质双曲线的定义及标准方程双曲线的简单几何性质直线与圆锥曲线的位置关系(新增)三、根据课标要求、近年考题和学生情况把握解析几何复习方向：1、圆的方程、圆锥曲线的方程和简单的几何性质是最基础知识点，侧重点是圆锥曲线的标准方程和

5、简单的几何性质.2、解析几何中一些思维量大、灵活性高的题容易出现在选择和填空题的压轴位置，对学生综合各部分知识分析问题和解决问题的能力要求较高，具有较大的区分度.3、通过对直线和圆、直线和圆锥曲线的位置关系的考查基本上为解答题，重点考查学生对坐标法的理解和运用，考查函数与方程、数形结合、分类思考等数学思想方法，考查运算能力、逻辑推理能力以及分析问题和解决问题的能力.试题分步设问，由易到难，侧重点是直线和椭圆的位置关系.应当注意到，在根据课标要求调整后的高考说明的指导下，新课标卷加大了对直线与圆位置关系的考察力度.同时，就2011年各省区的高考而言，在解答题中对双曲线的考察仅出现在广东和江西卷中

6、，说明大多数实施新课标高考的省区对课标要求的理解是一致的，对我们的复习也具有一定的导向性.4、对新课标新增内容参数方程与极坐标系的考察多为所谓“占点题”，较容易，关键在于落实基本概念和基本计算.5、学生学习解析几何的难点在于解析几何综合题具有较高的灵活性，要求在思考问题时能够突破章节知识的限制，充分依据条件，合理选用方法.在教学中需要经常引导学生进行探究训练，提高学生分析问题和解决问题的能力.沟通知识联系，加深学生对知识的综合性的认识.在平时学习中，客观上造成对知识之间联系的认识是比较肤浅的，综合运用知识解决问题的机会也相对较少，这需要在高三复习课上打破各部分内容之间的屏障，沟通各部分内容的内

7、在联系.更重要的是，打通代数与几何之间的转化通道，不断在几何问题几何意义代数表示代数运算之间转换，以达到灵活求解问题的目的.表12011年北京高考海淀区分类校理科解析几何总分分析表分类人数满分值最大值最小值平均值标准差差异系数得分率一类校 1924 19.0 19.0 0.0 14.82 3.36 0.23 0.78二类校 2102 19.0 19.0 0.0 12.18 3.71 0.30 0.64三类校 3313 19.0 19.0 0.0 9.05 3.71 0.41 0.48四类校 1388 19.0 17.0 0.0 6.32 3.97 0.63 0.33分类整体 8727 19.0

8、 19.0 0.0 10.64 4.68 0.44 0.56表2 2010年北京高考海淀区分类校理科解析几何总分分析表分类人数满分值最大值最小值平均值标准差差异系数得分率一类校 1860 19.0 19.0 0.0 13.65 2.89 0.21 0.72二类校 1421 19.0 19.0 0.0 10.99 3.11 0.28 0.58三类校 4386 19.0 19.0 0.0 7.91 3.91 0.49 0.42四类校 1024 19.0 15.0 0.0 7.06 4.11 0.58 0.37分类整体 8691 19.0 19.0 0.0 9.54 4.37 0.46 0.50数据

9、表明：一类校的考生在解析几何的答题中优势明显，从平均分看，一类校的平均分要明显高于二类校平均分(12.18),更远高于三类校和四类校.这种差距表明学生对解析几何这门学科的基本思想的认识深度和领悟的差距，特别是对于二类校三类校的学生来说，可以说突破了解析几何解答题就是占领了数学高考的制高点，而这些学生在解析几何知识板块尚有一定的提升空间，提高的关键在于能够提高学科思想的认识，学会用解析几何的思维看待问题和解决问题. 四、复习建议及例题选编 （一）注重基础知识、基本概念的理解，突出圆锥曲线概念的应用意识，从理解、把握概念和基本性质的角度去认识易错、易混题.没有基础就谈不上能力， 复习要真正回到重视

10、基础的轨道上来，要扎扎实实，不要盲目攀高，以免眼高手低.部分学生在第一轮复习时对基础题没有予以足够的重视， 认为题目看上去会做就可以不加训练， 结果常在一些“不该错的地方错了”，最终把原因简单地归结为粗心大意，从而忽略了基本计算的训练和常规方法的积累， 造成了实际成绩与心理感觉的偏差.复习要把“三基”，即基础知识、基本技能、基本思想方法作为重中之重，学生只有“三基”过关，才有能力去做难题.例1（2011北京高考文科10）已知双曲线的一条渐近线的方程为，则 .例2（2010北京高考理科13、文科13）已知双曲线的离心率为2，焦点与椭圆的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为 ；渐近线方程为 . (&#

11、177;4，0)，x±y=0例3（2009北京高考理科12、文科13）椭圆的焦点为，点P在椭圆上，若，则 ；的大小为 . 例4 椭圆上的点M到左焦点的距离为2，N是中点，则 4例5 若椭圆的一个焦点是(2，0)，则_ 例6（1）若椭圆的长轴长为2，离心率为，则椭圆的标准方程为_答案： 或（2）若双曲线的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为_答案：焦点在x轴上；焦点在y轴上（3）已知椭圆的离心率，则的值为_答案：或 （二）注意帮助学生提高数学的思维品质、概括数学的思维特点在复习中，教师有必要帮助学生提高数学的思维品质，引导学生概括出每个单元数学知识的思维特点和思维方法，逐步树立信心去解决

12、所面对的数学问题. 同时，每一节复习课的教学定位要准确，课堂教学一定要能够揭示出数学的本质. 我们的有限的课堂教学不能仅仅告诉学生这道题怎么解.而是应把教学的落脚点放在思维过程的揭示上. 每节课一般都要分析一些典型的例题，但教师要能够从如何审题，如何分析题，如何思考问题入手展开教学.例7 若圆的方程为，圆的方程为，则方程表示的轨迹是（ ）DA 经过、的直线B 线段的中垂线C 两圆公共弦所在的直线D 一条直线且过该直线上点到两圆的切线长相等在本题中大部分学生没有考虑到两圆方程相减求得公共弦直线方程的前提条件必须是两圆相交，由此暴露出教师和学生平时解题时更重视解题方法的技巧性，而忽视了数学思维链条

13、的完整性，即首先思考这个问题的存在性，对这个问题来讲就是“公共弦是否存在”.类似的问题其实屡见不鲜，比如：已知是方程（为实数）的两个实数根，的最大值是（ ）A19 B18 C D不存在这虽然是一个二次方程根与系数的关系问题，但究其根源与上例如出一辙，学生往往不假思索上来就用韦达定理，却忽视了韦达定理的适用条件，也就是方程首先要有两实根，即.再如：例8 已知双曲线的方程，试问：是否存在被点平分的弦？如果存在，求出弦所在的直线方程；如果不存在，说明理由.错解：设存在弦AC被点平分，其坐标为，有 所以，所以AC所在的直线方程为，即在解析几何中，涉及直线与圆锥曲线相交于两点且与弦的中点有关的问题时，“

14、点差法”采用设而不求的技巧可以实现数量之间的合理转化，使运算更加便捷，但必须判断满足条件的直线是否存在.对这类错误，学生经常归因为“忘了，没注意到”，至多能“深刻”到认为自己“思维不严谨，分析问题不全面”，而这些表面上看起来的“陷阱”、“坑”实际上揭示了学生对数学概念认识的模糊和对问题本质理解的不到位.（三）理解几何对象的几何特征，这是实现几何问题代数化的基础.解析几何的思维特征就是要用代数的方法解决几何问题.思维的要点是：通过分析几何元素的几何特征进行有效的代数化，并通过代数的运算得出代数的结果，从而得到几何的结论. 在这个过程中，“培养几何直观能力是基本点”，“复习中，要能主动的去理解几何

15、对象的本质特征，这是实现几何问题代数化的基础. 解析几何毕竟是几何，决不能忽视对几何对象的几何特征的认识与理解. 解析几何审题的主要目的之一，就是要理解几何对象的几何属性，为准确的代数化打好基础.”要善于将代数式转化为几何对象，并主动地去理解几何对象的几何特征，这是实现几何问题代数化的基础.例9 点P在上，若则= 17例10（2010湖北理数9）若直线y=x+b与曲线有公共点，则b的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】曲线方程可化简为，即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得，因为是下半圆故可得

16、（舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故所以C正确.例11 设是曲线上的点,，则必有（ ）A（A） （B）（C） （D）例12（2010北京高考理科19）在平面直角坐标系中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由.本题几何元素的几何特征是：动点的轨迹方程为，点P运动引起PAB与PMN的面积的变化，问是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等.问题的焦点是P点.故有效的代数化方式是：设点,并以

17、此建立直线AP和BP的方程，通过运算得出M,N的左坐标，进而通过PAB与PMN的面积相等得出P点的坐标. 本题全面考查了学生用代数方法研究几何问题的意识和能力，对平面解析几何教学中准确把握学科的基本思想，在平面解析几何学习中体会学科的思维特征进行了正确的导向. 本题方法很多，不同方法的区别源于对几何特征代数化的不同形式的选择，因此有必要引导学生对常见的几何特征代数化的形式做总结和梳理，使学生在数与形的相互转化过程中更有方向性和目的性.（四）在解析几何的复习中要注意对学生运算技能的训练，提高学生的运算求解能力和对运算的心理承受力.运算能力是最基础的能力.由于高三复习时间紧、任务重，部分教师和学生

18、不重视运算能力的培养.一个问题，看一看知道怎样解就行了，这正是高三学生运算能力差的直接原因.其实，运算的合理性、正确性、简捷性、时效性对学生的考试成绩有着很重要的作用.因此，运算能力要进一步加强，学生要领悟运算的重要性和书写的规范性，同时在运算中不断地反思解题过程的合理性、转化的等价性等.例13（2011北京高考理科19）已知椭圆. 过点（m,0）作圆的切线交椭圆G于A，B两点.（I）求椭圆G的焦点坐标和离心率；（II）将表示为m的函数，并求的最大值.评析：本题主要考查椭圆基本性质，包括焦点，离心率，基本量的运算，直线和椭圆的位置关系，突出的是如何用代数方法来研究几何问题，在这个转化过程中考察

19、对函数的相关知识，包括函数解析式如何建立，如何求函数的最值等等.应该说对理科学生分析问题和转化问题、代数变形、计算能力的要求较高.解：（）略（）由题意知，.当时，切线l的方程，点A、B的坐标分别为此时当m=1时，同理可得当时，设切线l的方程为由设A、B两点的坐标分别为，则又由l与圆所以由于当时，所以.因为且当时，|AB|=2，所以|AB|的最大值为2.例14（2011北京高考文科19）已知椭圆的离心率为，右焦点为.斜率为1的直线与椭圆交与两点，以为底作等腰三角形，顶点为.（I）求椭圆的方程；（II）求的面积.例15（2011高考全国课标卷20）在平面直角坐标系中，已知点，点在直线上，点满足/，

20、点的轨迹为曲线，（1） 求的方程；（2） 为上的动点，为在点处的切线，求点到距离的最小值.（四）注重分析能力的培养，提高思维的灵活性与深刻性例16（轨迹问题）（1） (04北京)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC与直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是 lABC A直线 B圆 C双曲线 D抛物线 （2）(2006北京理科4)平面的斜线AB交于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交于点C，则动点C的轨迹是 （ ）A.一条直线 B一个圆 C一个椭圆 D双曲线的一支 （3）（2004 天津卷)如图，定点A和B都在平面内，定点，C是内异于A

21、和B的动点，且，那么，动点C在平面内的轨迹是( ) A. 一条线段，但要去掉两个点 B. 一个圆，但要去掉两个点C. 一个椭圆，但要去掉两个点 D. 半圆，但要去掉两个点 （4） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M是棱CD的中点，点O是侧面AA1D1D的中心，若点P在侧面BB1C1C及其边界上运动，并且总是保持，则点P的轨迹是 要点： AM为面AC内的线段，OP为面AC的斜线，依据三垂线定理，可将转化为OP在面AC内的射影OP垂直的问题.所以，P的轨迹是线段BB1例17 （2011年北京高考理科14）曲线C是平面内与两个定点和的距离的积等于常数的点的轨迹，给出下列三个结论：曲线C过坐标原点；曲线C关于坐标原点对称；若点P在曲线C上，则的面积不大于.其中，所有正确结论的序号是_.本题考查了通过曲线方程如何来研究曲线的几何性质的基本方法，具有以下几个特点：（1）以动点轨迹问题为背景，考查考生对求动点轨迹问题一般方法的掌握情况，突出基础知识和基本方法的考查；（2）这道试题的背景来自于圆锥曲线的定义，由到平面内两定点距离之和与两定点距离之差为常数的动点轨迹，会很自然地想到与两定点距离之积为常数的动点轨迹是什么？这无疑鼓励和倡导了学生在平时的学习中要善于思考，敢于提出新的问题，这种质疑精神正是学生发展所需要的；（3）解析几何的核心思想是如何用代数的方法来