苏教版高中数学选修2131空间向量及其运算教案3篇

1、空间向量及其运算教学目标：知识目标：空间向量；相等的向量；空间向量的加减与数乘运算及运算律；能力目标：理解空间向量的概念，掌握其表示方法会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律；能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律教学难点：应用向量解决立体几何问题教学方法：讨论式教学过程： .复习引入师在必修四第二章平面向量中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？生既有大小又有方向的量叫向量向量的表示方法有：用有

2、向线段表示；用字母a、b等表示；用有向线段的起点与终点字母：师数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下生长度相等且方向相同的向量叫相等向量.师学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算：向量的加法：向量的减法：实数与向量的积：实数与向量a的积是一个向量，记作a，其长度和方向规定如下：(1)|a|a|(2)当0时，a与a同向； 当0时，a与a反向； 当0时，a0.师关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？生向量加法和数乘向量满足以下运算律加法交换律：abba加法结合

3、律：(ab)ca（bc）数乘分配律：(ab)ab师今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用请同学们阅读课本P26P27.新课讲授师如同平面向量的概念，我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量例如空间的一个平移就是一个向量那么我们怎样表示空间向量呢？相等的向量又是怎样表示的呢？生与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量师由以上知识可知，向量在空间中是可以平移的空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示因此我们说空间任

4、意两个向量是共面的师空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢？生空间向量的加法、减法、数乘向量的定义与平面向量的运算一样：=a+b，（指向被减向量），a 师空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢？请大家验证这些运算律生空间向量加法与数乘向量有如下运算律：加法交换律：a + b = b + a；加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；（课件验证）数乘分配律：(a + b) =a +b师空间向量加法的运算律要注意以下几点：首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量首尾相接的若干

5、向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量即：两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立因此，求始点相同的两个向量之和时，可以考虑用平行四边形法则例已知平行六面体（如图），化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量：说明：平行四边形ABCD平移向量 a 到ABCD的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体记作ABCDABCD平行六面体的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱解：（见课本P27）说明：由第2小题可知，始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量，这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.课堂练习课本P92

6、练习.课时小结平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移，它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”，空间的平移包含平面的平移关于向量算式的化简，要注意解题格式、步骤和方法.课后作业课本P106 1、2、预习课本P92P96，预习提纲： 怎样的向量叫做共线向量？两个向量共线的充要条件是什么？空间中点在直线上的充要条件是什么？什么叫做空间直线的向量参数表示式？怎样的向量叫做共面向量？向量p与不共线向量a、b共面的充要条件是什么？空间一点P在平面MAB内的充要条件是什么？板书设计：3.1 空间向量及其运算（一）一、 平面向量复习 二、空间向量

7、 三、例1定义及表示方法 定义及表示加减与数乘运算 加减与数乘向量 小结运算律 运算律教学后记：空间向量及其运算一、课题：空间向量及其运算（2） 二、教学目标：1理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论；2掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公三、教学重、难点：共线、共面定理及其应用四、教学过程：（一）复习：1空间向量的概念及表示；（二）新课讲解：1共线（平行）向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。读作：平行于，记作：2共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数，使（唯一）推论：如果为经过已知点，且平行于已知向量

8、的直线，那么对任一点，点在直线上的充要条件是存在实数，满足等式，其中向量叫做直线的方向向量。在上取，则式可化为或当时，点是线段的中点，此时和都叫空间直线的向量参数方程，是线段的中点公式3向量与平面平行：已知平面和向量，作，如果直线平行于或在内，那么我们说向量平行于平面，记作：通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量说明：空间任意的两向量都是共面的4共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的充要条件是存在实数使推论：空间一点位于平面内的充分必要条件是存在有序实数对，使或对空间任一点，有上面式叫做平面的向量表达式（三）例题分析：例1已知三点不共线，对平面外任一点，满足条件，试判断：点与是否

9、一定共面？解：由题意：，即，所以，点与共面说明：在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候，首先要选择恰当的充要条件形式，然后对照形式将已知条件进行转化运算【练习】：对空间任一点和不共线的三点，问满足向量式 （其中）的四点是否共面？解：，点与点共面例2已知，从平面外一点引向量，（1）求证：四点共面；（2）平面平面解：（1）四边形是平行四边形，共面；（2），又，所以，平面平面五、课堂练习：课本第96页练习第1、2、3题六、课堂小结：1共线向量定理和共面向量定理及其推论；2空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式七、作业：1已知两个非零向量不共线，如果，求证：共面2已知，若，求

10、实数的值。3如图，分别为正方体的棱的中点，求证：（1）四点共面；（2）平面平面4已知分别是空间四边形边的中点，（1）用向量法证明：四点共面；（2）用向量法证明：平面从三个方面谈空间向量立体几何引入空间向量使得几何问题代数化，很多复杂的几何问题得以迎刃而解但不少学生对空间向量的学习把握不准确，不知道要掌握到什么程度，拓宽到什么程度本文从“转、基、法”三方面谈空间向量必须掌握之处，供参阅一、“转”“转”即转化，即向量之间的相互表示；难点在于怎样有效地用已知向量来表示未知向量正如三角函数求值中角的相互“转化”，怎样用已知角来代换未知角难点突破：寻找已知向量来表示所要求的向量往往立竿见影或者利用分析法

11、，根据所要求证的向量来表示要转化的向量例1如图1，在空间四边形ABCD中，如果，求证：证明：由，得，即，取CD的中点E，连结AE和BE，则上式化为，得，即所以评注：要得到，需从条件中构造，解答中的移项使得构造得以实现二、“基”“基”即基底，由空间向量基本定理，可知空间任一向量可由不共面的三个向量来表示用基底的眼光看问题会使得空间向量的表示简洁明朗化例2已知正四面体，、分别为、的中点，求与所成角的余弦值解：设正四面体的棱长为1，如图2设，则，OE与BF所成的角的余弦值为评注：基底的取法还有很多，以，三向量为基底来表示其它向量，可使问题轻松获解三、“法”法向量求法：设，找平面内两相交向量a、b，再

12、作，得两方程，三个未知量两个方程，一般通过取定z的值来定法向量，方向朝上，方向朝下法向量的应用：（一）利用平面法向量求线面角方法：如图3，AB为平面的斜线，n为平面的法向量如果与n之间所成的角为锐角，则斜线AB与平面之间所成的角为；若为钝角（当n方向朝另一面时，即与图3的n反向时），则故欲求斜线AB与平面所成的角，只需求出向量与平面的法向量n之间的夹角即可总之例3在长方体中，求直线和平面所成角的正弦值解：如图4，以D为原点，以方向分别作为x轴、y轴、z轴的正方向，则，设平面的法向量，则，即故是其中一组解，即为其中一个法向量，所以故所求角的正弦值为（二）利用平面法向量求二面角的平面角方法：如图5，平面的法向量所成的角即为二面角的平面角（或其补角）例4在正方体中，、分别是的中点，求平面和底面所成锐二面角的余弦值解：建立空间直角坐标系，如图6所示由例3的方法，容易求得平面的法向量，底面的法向量，所以，即为所求角的余弦值（三）利用平面法向量求点到平面的距离方法：如图7，求点P到平面的距离d，可以在平面上任意取一点，则（n为平面的法向量，方向如图）若不知n与夹角为锐角或钝角时，例5如图8，四面体中，、分别是BD、BC的中点，（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离（1）证明：连结OC，在中，由已知可得，而，即