计算流体力学基本原理及其发展现状之我见

1、计算流体力学基本原理及其发展现状之我见 一、计算流体力学基本原理计算流体力学或计算流体动力学，英文Computational Fluid Dynamics，简称CFD，是用电子计算机和离散化的数值方法对流体力学问题进行数值模拟和分析的一个分支。计算流体力学是目前国际上一个强有力的研究领域，是进行传热、传质、动量传递及燃烧、多相流和化学反应研究的核心和重要技术，广泛应用于航天设计、汽车设计、生物医学工业、化工处理工业、涡轮机设计、半导体设计、HAVC&R 等诸多工程领域，板翅式换热器设计是CFD 技术应用的重要领域之一。为了说明计算流体力学主要方法，需先了解流体力学运动的基本方程的性质和

2、分类。流体力学的基本方程是在19 世纪上半叶由C.-L.-M.-H.纳维和G.G.斯托克斯等人建立的，称为纳维斯托克斯方程，简称N-S方程。1、非定常可压缩NavierStokes方程不计质量力的情况下，在直角坐标系中，守恒型NS方程可以写为下列向量形式：， 其中 ， ，。如果忽略NS方程中的粘性和热传导，得到的简化方程为Euler方程：。 方程、称为向量守恒型方程。其重要特点是：连续、动量和能量方程被写为统一形式。其中，均为列向量，是方程的解向量，称为守恒变量；称为通量（flux），具体说为无粘通量，为粘性通量。所谓守恒型方程，是空间导数项为散度的形式的方程。（3）式所示的向量型守恒方程，实

3、际上仍然是散度形式。显然，（3）式的另一种等价形式为：， 其中，或，通量张量，为直角坐标系三个坐标轴方向的单位基矢量。把式在任意固定的控制体上积分，并利用Gauss公式，有。 这就是守恒积分型方程。可见，守恒的微分、积分型方程之间有直接的联系。式是我们以后将要讲到的有限体积方法的出发方程，而、或是则是有限差分方法的出发方程。2、流体力学方程的简化形式根据具体流动状态，NS方程可以进行各种简化。简化的形式及其适用条件是理论流体力学的重要研究内容之一。这里我们对于各种简化方程作一归纳，见下图：图1.NS方程的简化形式3、曲线坐标系中的基本方程当求解域的形状比较复杂时，计算流体力学方法通常在曲线坐标

4、系中实施。因此，有必要得到曲线坐标系中流体力学基本方程的形式。在曲线坐标中，矢量可以采用在直角坐标中的分量形式，也可以采用协变或逆变分量，基本方程也将因此呈现出不同的形式。最简单，应用也最普遍的形式是矢量分量为直角坐标系中的分量。下面，我们讨论这种情况下的流体力学基本方程。直角坐标到曲线坐标的变换及其逆变换关系为： （1）、导数的变换 对于一阶偏导数，根据链式求导法则，有 。 同理可得。 对于二阶偏导数，有。同理可得，。把导数的变换关系代入微分方程，就可以得到微分方程在计算平面中的形式。以直角坐标系中的Laplace方程为例，把上述二阶导数的变换关系代入上述Laplace方程，得。 （2）、度

5、量系数及其计算方法 在导数的坐标变换公式中涉及到下列坐标变换系数：。这些系数称为坐标变换公式对应的度量系数（metrics）。我们看到，为了求解计算平面中的偏微分方程，如式，必须确定度量系数（有时还包括等）的离散值。那么，这些度量系数如何计算呢？由于一般情况下，我们只知道坐标变换关系、的离散表达式，度量系数一般也要通过有限差分方法近似计算。但是，直接构造的差分近似是不容易的。以为例，根据偏导数的意义，为保持不变时随的变化，如图2所示，网格点处的的计算公式应为：图2 的计算。由于一般不是网格点，因此是未知的，只能通过插值方法确定。 另一方面，我们可以定义逆变换式的度量系数。在贴体坐标系中，这些度

6、量系数的有限差分离散非常简单。如果采用中心差分离散，有 。 这就提示我们，如果能够找到和之间的关系，我们就可以得到等的计算方法。下面，我们推导二者之间的关系。 由变换关系式，有，写成矩阵形式 。 由逆变换式，有。 式中的矩阵称为正变换和逆变换的Jacobi矩阵。易知， 即， 其中 为坐标变换的Jacobi行列式（jacobian）。因此，。 根据（15）（16）式，可以得到的差分离散形式。 如何计算呢？考虑。 根据式，我们同样可以得到。现在，把式分别对求导：，上面四个关系中，只有三个是独立的，写成矩阵形式，有：。 所以， 。同理。对、式的右端进行有限差分离散，就可以算出。4、任意曲线坐标系中流

7、体力学方程组的守恒形式 考虑直角坐标系中的二维守恒型NavierStokes方程：。 利用一阶导数的变换公式，有。式称为平面上NavierStokes方程的弱守恒形式。在式两侧乘以Jacobian ，有。上面的方程中的各项可以进一步整理：得。注意到，所以，式可化简为。 式称为平面上NavierStokes方程的强守恒形式，一般记为：， 其中。 二、计算流体力学发展现状20世纪30年代，由于飞机工业的需要，要求用流体力学理论来了解和指导飞机设计，当时，由于飞行速度很低，可以忽略粘性和旋涡，因此流动的模型为Lap lace方程，研究工作的重点是椭圆型方程的数值解。利用复变函数理论和解的迭加方法来求

8、解析解。随着飞机外形设计越来越复杂，出现了求解奇异边界积分方程的方法。以后，为了考虑粘性效应，有了边界层方程的数值计算方法，并发展成以位势方程为外流方程，与内流边界层方程相结合，通过迭代求解粘性干扰流场的计算方法。同一时期，许多数学家研究了偏微分方程的数学理论，Hadamard Courant Friedrichs等人研究了偏微分方程的基本特性、数学提法的适定性、物理波的传播特性等问题，发展了双曲型偏微分方程理论。以后，Courant Friedrichs，Lewy等人发表了经典论文，证明了连续的椭圆型、抛物型和双曲型方程组解的存在性和唯一性定理，且针对线性方程的初值问题，首先将偏微分方程离散

9、化，然后证明了离散系统收敛到连续系统，最后利用代数方法确定了差分解的存在性; 他们还给出了著名的稳定性判别条件：CFL条件。这些工作是差分方法的数学理论基础。20世纪40年代，Von Neumann，Richtmyer，Hopf Lax和其他一些学者建立了非线性双曲型方程守恒定律的数值方法理论, 为含有激波的气体流动数值模拟打下了理论基础。在20世纪50年代，仅采用当时流体力学的方法，研究较复杂的非线性流动现象是不够的，特别是不能满足高速发展起来的宇航飞行器绕流流场特性研究的需要。针对这种情况，一些学者开始将基于双曲型方程数学理论基础的时间相关方法用于求解宇航飞行器的气体定常绕流流场问题，这种

10、方法虽然要求花费更多的计算机时，但因数学提法适定，又有较好的理论基础，且能模拟流体运动的非定常过程，所以在60年代这是应用范围较广的一般方法。以后由Lax、Kreiss和其他著者给出的非定常偏微分方程差分逼近的稳定性理论, 进一步促进了时间相关方法。当时还出现了一些针对具体问题发展起来的特殊算法。值得一提的是，我国在20世纪50年代也开始了计算流体力学方面的研究。我国早期的工作是研究钝头体超声速无粘绕流流场的数值解方法，研究钝头体绕流数值解的反方法和正方法。以后，随着我国宇航事业的发展，超声速、高超声速绕流数值计算方法的研究工作发展很快。对定常欧拉方程数值解的计算方法进行研究, 并给出了钝体超

11、声速三维无粘绕流流场的计算结果。20世纪70年代，在计算流体力学中取得较大成功的是飞行器跨音速绕流数值计算方法的研究。首先是Murman和Cole用松弛方法求解位势流小扰动方程, 数值模拟带激波的跨声速绕流场, 解决了跨声速绕流中的混合问题。在他们的工作中第一次将迎风格式应用于空气动力学问题的模拟。不久以后Jam eson提出了旋转格式, 将穆尔曼- 科勒方法推广于求解三维跨声速绕流的全位势流方程, 获得成功。同一时期, 我国开展了采用时间相关方法求解非定常欧拉方程、可压缩N - S 方程和简化N - S 方程的计算方法研究。在差分格式的构造方面, 提出了求解欧拉方程的特征符号分裂法和三层格式

12、等。在可压缩N - S 方程的求解中, 计算方法有了很大进展, 先后提出了开关函数法、调解因子方法、紧致迎风格式、推进迭代法、无波动无自由参数的耗散格式、界值为限格式和耗散比拟方法等。这些研究工作进一步改进了计算方法精度, 提高了求解效率, 且对流场激波的数值模拟有较高的分辨能力。而且这些研究成果使得我们在计算流体力学的差分方法研究工作中初步形成了自己的特点。进入20世纪80年代以后，计算机硬件技术有了突飞猛进的发展，千万次机、亿次机逐渐进入人们的实践活动范围。随着计算方法的不断改进和数值分析理论的发展高精度数值模拟已不再是天方夜谭。同时随着人类生产实践活动的不断发展，科学技术的日新月异，一大

13、批高新技术产业对计算流体力学提出了新的要求，同时也为计算流体力学的发展提供了新的机遇。实践与理论的不断互动，形成计算流体力学的新热点、新动力，从而推动计算流体力学不断向前发展。首先，在计算模型方面，又提出了一些新的模型，如新的大涡模拟模型、考虑壁面曲率等效应的新的湍流模式、新的多相流模式、新的飞行器气动分析与热结构的一体化模型等。这就使得计算流体力学的计算模型由最初的Euler和N - S 方程，扩展到包括湍流、两相流、化学非平衡、太阳风等问题研究模型在内的多个模型。其中以考虑更多流动机制，如各向异性的非线性(应力/应变关系)湍流研究为重点。研究结果再次证明，万能的湍流模型还不存在，重要的是如

14、何在模型精度和计算量上较好地取得折中，也有学者从更高层次研究湍流模型问题, 由湍流流动中速度不可微，怀疑N - S 方程的有效性，进而提出以积分方程为基础的数学模型。其次，在计算方法方面，又提出了一些新的计算方法，如新的遗传算法、无网格算法、新型高精度紧致格式、气动计算的新变分原理、结构/非结构混合网格新技术、新型动网格技术等等。目前计算方法的研究集中在高精度格式方法, 即追求三阶精度以上，其中又以解决真正实际问题。除此之外, 计算方法研究还涉及带限制器的高阶插值、谱方法、拉格朗日方法，时-空守恒元方法等等。将其它方法引进传统的计算流体力学也是现阶段的重要成果之一，其中特别值得一提的是将基因算

15、法与传统计算流体力学结合在一起,在域分裂和最优化设计等许多方面显示出了良好的应用前景。在算法分析上，除传统的精度、稳定性、收敛性等方面的分析，还有更深层次的数值动力学分析，即将数值方法看成是动力系统来进行分析，揭示了许多奇异的数值现象。再次，在研究成果方面, 英国M1A1Lesdhziaer关于湍流模型、美国H1C1Yee关于计算不确定性、日本学者的玻耳兹曼方程解流动问题、德国的E. von Lavant关于使用并行计算机进行发动机气缸流场涡和激波的非定常流动模拟等等，都有较新的学术思想，较高的学术水平。目前，计算流体力学研究的热点是：研究计算方法，包括并行算法和各种新型算法；研究涡运动和湍流

16、，包括可压和不可压湍流的直接数值模拟、大涡模拟和湍流机理；研究网格生成技术及计算机优化设计；研究计算流体力学用于解决实际流动问题，包括计算生物力学、计算声学、微型机械流动、多相流及涡轮机械流动的数值模拟等。计算流体力学的应用已经从最初的航空航天领域不断地扩展到船舶、海洋、化学、铸造、制冷、工业设计、城市规划设计、建筑消防设计、汽车等多个领域。近几年来计算流体力学在全机流场计算、旋翼计算、航空发动机内流计算、导弹投放、飞机外挂物、水下流体力学、汽车等方面获得广泛应用。这表明计算流体力学在解决工程实际问题方面具有重要的应用价值。下面仅以在汽车领域的应用为例, 介绍计算流体力学应用于工程实际中的速度

17、和深度。20世纪80年代初期才开始有计算流体力学应用于汽车领域的论文发表，经过短短的二十余年，其应用已涉及到汽车车身设计、汽车内部空间的空调与通风、发动机内部的气体流动以及冷却系、汽车液力变矩器、废气涡轮增压器中的压气机和涡轮的叶轮与蜗壳等中的流动现象的研究与计算，同时进一步发展到研究汽车与发动机中传热、燃烧以及预测噪声强度与模具设计等相关的问题。当着手研究一项计算流体力学课题时，首先需要建立模型，即根据相关专业知识将问题用数学方法表达出来；然后就是如何利用计算流体力学软件，对问题进行求解、分析。整个计算流体力学处理过程大致包括三个部分：前处理，包括几何模型的选取和网格划分；求解器，包括确定计

18、算流体力学方法的控制方程，选择离散方法进行离散，选用数值计算方法，输入相关参数；后处理, 包括速度场、压力场、温度场及其它参数的计算机可视化及动画处理等。由此和计算流体力学在工程实际中的应用可以将计算流体力学应用的优点大致归纳如下：可以更细致地分析、研究流体的流动、物质和能量的传递等过程；可以容易地改变实验条件、参数, 以获取大量在传统实验中很难得到的信息资料；整个研究、设计所花的时间大大减少；可以方便地用于那些无法实现具体测量的场合，如高温、危险的环境；根据模拟数据，可以全方位的控制过程和优化设计。随着计算流体力学在工程技术应用中的迅速推广，计算流体力学也逐渐软件化。CFX、FLUENT、PH