二次函数、二次方程(教案)

1、1一元二次方程、二次函数、一元二次不等式专题复习讲义学习目标：1. 理解三个“二次”的关系，掌握函数、方程及不等式的思想和方法；2. 通过学生的主体活动，提高学生分析问题的能力，强化数形结合、分类讨论的思想方法;学习过程：活动一：三个“二次”的基本关系也=b2-4acA 0A = 0i 0)的图像uy(VOX方程ax2+bx + c =0的根甘-b士号 JAC2abx(=x2=2a无实根次 不等 式的 解集2ax +bx+c0(a0)的解集x I X C 为或 X A X2X|XWR,X一b) l2aJRax +bx+c0)的解集x | 为 X V X200小结：三个“二次”的基本关系：一 元

2、 二 次 方 程 是 寻 找 二 次 函 数 图 像 上 的 点 ； 一 元 二 次 不 等 式 是 截 取 二 次 函 数 图 像 上 的 一 段活动二：解含参二次不等式问题例 1.1.解关于x的不等式：ax2（aT）xT 0（a R）解：原不等式等价于（ax-1）（x 1） 01当a =0时，得x：-1，112当a 0时，不等式可化为（x ）（x 1）0,解得x：T 或x ，aa123当a 0时，不等式可化为（x ）（x，1）：0,a卄11右1,即 一1：a : 0，贝U x：-1,aa1若1，即a = -1，则不等式解集为空集，a11右1，即a：-1，贝V -1 x.aa1综上所述，当a

3、 0时，不等式的解集为x|x1或x -；a当a = 0时，不等式的解集为x| x：-1；1当-1：a：0，不等式的解集为x| x：-1；a当a二1，不等式解集为空集；1当a：-1，不等式解集为x | -1：x：.a21变式：若关于x的不等式ax (a-1)x-1的解集为x|x：-1或x ，求实数a的值.解：由一元二次不等式与二次方程的关系，借助根与系数的关系可得：*1(1) = 1解得a= 2.2aa -1a小结：解含参数的一兀二次不等式的步骤:(1)(1) 二次项系数若含有参数应讨论二次项是等于o o，小于 0 0,还是大于 0 0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式注意：二次项系数中含

4、有参数时，参数的符号影响着不等号的方向.(2)(2) 判断方程的根的个数，讨论判别式厶与 0 0 的关系.(3)(3) 确定无根或有一根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集.活动三：二次函数在给定区间上的最值问题例 2 2求函数f (x) =x2-2ax,x0,4的最小值与最大值解：f (x)的对称轴为x=a.3当aO时，f(X)min=f(0) =0；当0 0:a a：4时，f (x)min =f(a)ra2；当a4时，f (x)min= f(4) =16-8a.24利用二次函数的图像，注意分对称轴在区间的左、中、右三种情况进行讨论活动四：一元二次不等式恒

5、成立问题例 3 3已知不等式mx2-2x -m 1：0.(1) 若对所有的实数 x 不等式恒成立，求 m 的取值范围；(2) 设不等式对于满足|m|w2 的一切 m 的值都成立，求 x 的取值范围. 解：不等式 mx2-2x -m 1：0 恒成立，即函数f x二mx2-2x-m 1的图象全部在x轴下方.注意讨论m =0时的情况.0,a乞0I2二f (x)min =a,0 ca 4.16 -8a, a K4f (x)max= max f (0), f (4)0, a_216 - 8a,a：变式 1 :已知函数 f (x) - -X28x，求 f (x)在区间|_t,t -1 上的最大值 h(t)

6、.解：f(x)的对称轴为x=4.当 t+1 辽 4 即t3 时，h(t)二 f(t 1)；当 t.-. 4 t+1 即 3 t：:4 时，h(t)二 f (4)；当 t_4 时，h(t)二 f(t), 2-t6t 7, t乞3，” h(t) =16,3 ct 42-t +8t, t 34变式 2：已知函数 y二-x2 1 ax -在区间0，1上的最大值为 2,求实数 a 的值.42解：令f (x) = -x2ax- 旦4ymax-，函数的对称轴为x-，2 21310rf (1)a= =2解得a2,:：当01即0： ： ：a； ： ：2时,ymax=f(a-1a -a- = 2，无解244 2a

7、当0即a乞0时,2ymax-f (0 - -1= =2解得a = -6 CO 1.42小结：求解二次函数y2二ax-bx c(a = 0)在给定区间上的最值问题:351当m =0时，1 -2x : 0,即当x 时，不等式恒成立；当m = 0时，函数f x二mx2- 2x - m 1为二次函数，需满足开口向下且方程mx2-2x-m= 0无解， 即!m*则m无解. ：=4 - 4m(1 -m)：0综上可知不存在这样的m(2)从形式上看，这是一个关于x的一元二次不等式，可以换个角度，把它看成关于m的一元一次不等式, 并且已知它的解集为1-2,2 1,求参数x的范围.设f m j：X2_1 m 1 _

8、 2x,则其为一个以m为自变量的一次函数， 其图象是直线，由题意知该直线当 一2岂m乞2时线段在x轴下方,f(-2)：0f(2) 0 时，f(x)是减函数，如果当X，0,1时不等式f (1 -2x2 4a2) f (4ax -3) 0恒成立,求 a 的范围.解：由题：f (x)是奇函数，所以f(1-2x2，4a2)_ f(3-4ax),又丁在 f (x) R 上是减函数1-2x2 4a2_3-4ax.22即x -2ax 1-2a - 0对 x 0,1恒成立.下面转化为二次函数在给定区间上的最值问题：令g(x)二x2-2ax 1 -2a2，对称轴为x二a2V2 x的取值范围为36当a辽0时，g(

9、x)min二g(0)-2a2-0,得- 80；当0:a:1,g(x)min=g(a) =1 -3a2- 0,得0：a岂号；2当a _1,g(x)min=g(1) =2-2a-2a _0，:a_1,无解.综上，斗子冷.小结：一元二次不等式恒成立问题的方法总结：解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，就选谁做主元，求谁的范围，谁就是参数.对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x x 轴上方，恒小于 0 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x x 轴下方.1.1.一元二次不等式在R上恒成立：(用厶法)2la 02

10、工 a：0ax bx c 0(a = 0),ax bx c：0(a = 0).i0A f(x)f(x)恒成立？a a f(x)maxf(x)max; a a f(x)f(x)恒成立？a a f(x)min.f(x)min.活动五：巩固练习1. 不等式-x2，3x-2 0的解集为 _ .(1,2)2. 若函数f(xx22(a -1)x 2在-：,4上是减函数，贝 U U 实数a的范围是.a乞-33. 不等式mx2+2mx-4 c2x2+4x对任意R均成立，则实数m的取值范围是 _.(-2,24. 已知二次不等式ax2bx 0的解集为1- 2,31，则不等式cx2bx a 0的解集为1 1(_冷，一1)-(二，：)235. 设函数f(x)=x2-1，对任意xS|3,畑f上|4m2f (x)乞f (x T )+4f(m )恒成立，则实数m12丿im丿的取值范围是_ . (务 1申，+R)由题意得：(勻2 14m(x2 1) (x 1)2 1+4(m 1)恒成立，1IQQ7即(二4m 1)x+ 2x+ 30恒成立，m12一 2x一 3即 p 4m K2恒成立，mx8123故当且仅当m2 4m Kg(2)即可.解得 me #或诈-/，即m的取值范围是(一a, 23U _23,+ ).6.如果 y =1-sin2x-mcosx 的最小值为-4,贝 U m 的值为二57. 已知函数f