Hermite 型插值的混淆误差的估计

1、Hermite型插值的混淆误差的估计李跃武1 苏艳华2 王建华3(1.呼伦贝尔学院数学系 内蒙古 0210082 2.沈阳大学理学院 3.呼伦贝尔学院)摘 要：我们证明了如果且在R上任何有限区间上Riemann可积，则.其中是通过由其样本和在中的指数型整函数空间中的Hermite型的插值算子,为函数的阶光滑模.关键词：有限带函数; 样本序列; 插值算子; 混淆误差 1、引言在实践过程中，我们经常要研究一些连续信息，然而连续信息是不能整体记录的，它是通过离散的信息记录（解码）表示的，但单纯的离散信息记录不能准确表示原始信息全貌，因此我们需要对离散的信息记录处理（编码）后将其还原为连续信息。而样本

2、定理的作用恰好在离散信息和连续信息之间架起了一座桥梁，它表明：在一定条件下，抽样序列完全可以表示一个连续信息。设表示经典可测的P次幂Lebesgue可积函数空间， 赋以通常的范数,.以,表示中在R上阶导数局部绝对连续,并且使得有限的函数全体。设,表示函数的k阶差分，我们用k阶光滑模来刻画函数的光滑程度. 定义1 设g为整函数,如果对任何, 存在常数使得 作者简介：李跃武 (1965-)男，毕业于内蒙古民族大学数学系, 副教授, 硕士, 从事函数逼近论研究。则称g为指数型的整函数，记指数型的整函数的全体为,将中在R上有界函数的全体记为.令, .如果一个R上局部可积函数的Fourier变换有有限支

3、集，我们则称是有限带函数。 自从Shannon(1948)首次把有限带函数引进通信工程，经典的 Whittaker-Shannon-Kolenikov样本定理就在纯数学和应用领域都发挥着重要作用， 它是插值和样本理论中的基本定理。该定理表明每个带有限信号函数可由其可列个等距分布的结点上的样本值来恢复, 即如果，则, (1)其中; 1,.级数通常称为Whittaker cardinal级数，该级数在R的紧子集上绝对且一致收敛。由于样本定理在通讯理论中的重要作用，在过去的几十年里，人们一直致力于在基础数学和电子工程等不同领域及各方向拓广Whittaker 样本定理。 例如， 考虑非有限带函数用有限

4、带函数插值逼近的收敛性及误差估计。这种误差在电子工程术语中通常称为函数的混淆误差。 Jagerman和Forgel(1956)首先考虑了用二重样本序列和替代样本序列构造了Hermite型插值算子对有限带函数重构，特别他们证明了，如果，则 (2)最近，房艮孙和李冱岸5证明了如果 ,(2) 仍成立,还给出了混淆误差的估计。设且, 则存在仅与有关的正常数使得 其中称为函数的混淆误差, 以上结果在具有较好的光滑性条件下给出了函数用Hermite型插值算子逼近时, 函数在阶的意义下混淆误差的精确估计，定理1启发我们考虑以下问题，当时，Hermite型插值级数在R上表示某些非有限带函数的混淆误差的阶是多少

5、? 本文将研究这个问题，我们的结果在某种意义上填补了以上结果的一个空白。 2、主要结果定义2 记,如果可测函数满足条件： ,. (3)令则有。我们以表示在上每个有限区间可积函数的全体。设我们的主要结果如下定理1 设，则.（以下须注意特别是公式）为证明定理我们需引入如下相关引理，在下面的引理、定理及证明中，等分别表示只与等有关的正常数，在不同的地方它们可能是彼此不同的。设，其中由定义，则. 令，则，且.下述引理在定理1的证明中起着关键作用。引理18 设，则.根据8，对一切，存在型插值算子,满足插值条件.设，是定义在上赋以通常范数构成的空间，其中.引理25 设，则对一切，有.引理34 设，则引理4

6、7 设，则对，有,且如果，则引理53 设，若，则. 定理1的证明：由的定义知，再由引理1根据引理5，有因此，存在常数，对充分大的使利用引理2，3，4有定理得证。参考文献：1Approximation of Function of several variables and Imbedding TheoremsM.Berlin/Heidberg, NewYork:Springer-Verlag, 1975.2 1985,(12):49-893 4 G.Fang,Whittaker-Kotelnikov-Shannon sampling theorem and aliasing errorJ.5 李冱岸, 房艮孙, Hermite型导数样本定理和Sobolev类上混淆误差J.北京师范大学学报(自然科学版), 2004 ,(3):123-130.6 (27