球的组合体专题训练

1、立体几何专题:球的组合体一、棱锥的内切、外接球问题 例1.正四面体的棱长为，则其外接球和内切球的半径是多少？ 例2设棱锥的底面是正方形，且，如果的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.图2 练习：一个正四面体内切球的表面积为，求正四面体的棱长。 二、球与棱柱的组合体问题图3图4图51.正方体的内切球：球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。设正方体的棱长为，球半径为。如图3，截面图为正方形的内切圆，得； 2.与正方体各棱相切的球：球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，如图4作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。 3.正方体的外接球：正方体的八个顶点都在球面

2、上，如图5，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。例3.在球面上有四个点、.如果、两两互相垂直，且,那么这个球的表面积是_.练习：一棱长为的框架型正方体，内放一能充气吹胀的气球，求当球与正方体棱适好接触但又不至于变形时的球的体积。4构造直三角形，巧解正棱柱与球的组合问题正棱柱的外接球，其球心定在上下底面中心连线的中点处，由球心、底面中心及底面一顶点构成的直角三角形便可得球半径。例4.已知正三棱柱的六个顶点在球上，又知球与此正三棱柱的5个面都相切，求球与球的体积之比与表面积之比。图6练习：正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，求正四棱柱的侧面积的最大值。（答案为：）【点评】“内切”和“外接”

3、等有关问题，首先要弄清几何体之间的相互关系，主要是指特殊的点、线、面之间关系，然后把相关的元素放到这些关系中解决问题，作出合适的截面图来确定有关元素间的数量关系，是解决这类问题的最佳途径。练习题：1、 已知三棱锥的四个顶点均在半径为1的球面上，且满足、两两垂直，当取最大值时，三棱锥（为球心）的高为_。2、 在平行四边形中，若将沿折成直二面角，则三棱锥外接球的表面积是_。3、 在四面体中，则此四面体外接球的表面积为_。4、 如果长方体的顶点都在半径为9的球的球面上，那么长方体的表面积的最大值是_。5、 已知为球的直径，、为该球面上的两点，若棱锥的体积为，则球的体积为_。6、 已知、四点均在半径为

4、的球面上，且， ，则三棱锥的体积为_。7、 在三棱锥中，的中点为，的余弦值为，若、在同一个球面上，则该球的表面积为_。8、 已知三棱锥的各个顶点均在一个半径为的球面上，球心在上，面，则三棱锥的体积与球的体积之比为_。9、 已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大时，其高为_。10、已知三棱锥所有的顶点都在球的球面上，面，则球的表面积为_。11、已知三边长分别为4、5、6的的外接圆恰好是球的一个大圆，为球面上一点，若点到的三个顶点的距离相等，则三棱锥的体积为_。12、已知三棱锥中，面，其中， ，、四点均在球的球面上，则球的表面积为_。13、已知三棱锥的四个顶点均在半

5、径为3的球面上，且、两两垂直，则三棱锥的侧面积的最大值为_。14、在矩形中，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体外接球的体积为_。15、设三棱柱的侧棱垂直于底面， ，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为_。16、在三棱柱中，已知面， ，且三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则球的体积为_。17、在平面四边形中，将其沿对角线折成四面体，使面面，若四面体的顶点在同一球面上，则该球的体积为_。18、已知三棱锥，侧棱、两两垂直，、 的面积分别为1、3，则此三棱锥外接球的表面积为_。19、球的球面上有四点、，其中、四点共面， 是边长为2的正三角形，平面平面，则棱锥的 体积的最大值为_。20、四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，记该球为球，底面 是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积最大时， 其表面积等于，则球的体积为_。21、如下图所示，一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，则该三棱锥的外接球的表面积为_。 22、如