【高考冲刺】最新全国普通高等学校高考数学模拟试卷(理科)及答案

1、全国普通高等学校高考数学模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（5 分） 已知集合 A=x| - x2+4x0 ,丁 一 ： .-，C=（x|x=2n, n81N，贝U（AUB）nC=（ ）A.2，4 B.0，2C.0，2，4 D.x|x=2n,nN2.（5 分）设 i 是虚数单位，若：，-i .，x，y R,则复数 x+yi 的共轭复数2i是（ ）A. 2 - i B.- 2 - i C. 2+i D.- 2+i3.（5 分）已知等差数列an的前 n 项和是 Sn，且 au+a5+a6+a7=1

2、8，贝U下列命题正确的是（ ）A. a5是常数B. S5是常数C. a10是常数D.So是常数4.（5 分）七巧板是我们祖先的一项创造，被誉为 东方魔板”它是由五块等腰 直角三角形（两块全等的小三角形、一块中三角形和两块全等的大三角形） 、- 块正方形和一块平行四边形组成的.如图是一个用七巧板拼成的正方形中任取一D.2 2-1 （a0，b0）的右焦点，直线 x=aa b与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A,若 AF 的中点在双曲线上，贝 U 双曲线点，则此点取自黑色部分的概率是A.5. （5 分）已知点 F 为双曲线 C:BCD636448的离心率为（）A.= B. 1 心 C.：二 D.口

3、1 的正六边形，点G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（AB.c.f sinx,K6 -兀，06.（5 分）已知函数-.i则丨飞（）A. 2+nB.三 C. .三 D.-2*24必7.（5 分）执行如图所示的程序框图，则输出的S 的值为（）A.:.B. U；C. = D. Il；-8.（5分）已知函数 5 !：1!_：!：. 0）的相邻两个零点差的绝对值为，则函数 f （ X）的图象（）4A.可由函数 g （x） =cos4x 的图象向左平移.个单位而得24B.可由函数 g （x） =cos4x 的图象向右平移一宁个单位而得C.可由函数 g （x） =cos4x 的图象向右平移个

4、单位而得D.可由函数 g （x） =cos4x 的图象向右平移个单位而得69.（5分）I：Ji 丄门的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A. 73B. 61C. 55 D. 6310. （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长为31兀63644811. （5 分）已知抛物线C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 分别作两条直线 li, I2，直线 li与抛物线 C 交于 A、B 两点，直线 12与抛物线 C 交于 D、E 两点，若 li与 12的斜率的平方和为 1,则|AB|+| DE 的最小值为（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 3212.

5、（5 分）若函数 y=f （x）, x M，对于给定的非零实数 a,总存在非零常数 T, 使得定义域M内的任意实数 x,都有 af （x） =f （x+T）恒成立，此时 T 为 f （x） 的类周期，函数 y=f （x）是M上的 a 级类周期函数.若函数 y=f （x）是定义在区间0 , + %）内的 2 级类周期函数，且 T=2,当 x 0 , 2 ）时， a2 Xr 1-1-函数吕（工）二州右也恤.若？刘 6, 8 , ? X2lx2/X.（0, +x）,使 g （X2）- f （X1）w0 成立，则实数 m 的取值范围是（）、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13

6、 . （ 5 分）已知向量.二、-,：，.,.，且二.二，则A.-=_:0则目标函数为_.15. （5 分）在等比数列an中，a2?a3=2a1,且 a4与 2a?的等差中项为 17,设 bn=a2n-1- a2n, n N*，则数列bn的前 2n 项和为_ .16. （5 分）如图，在直角梯形 ABCD 中，AB 丄 BC, AD/ BC,呻）一，点E 是线段 CD 上异于点 C, D 的动点，EF 丄 AD 于点将厶 DEF 沿 EF 折起到 PEF的位置，并使 PF 丄 AF,则五棱锥 P-ABCEF 勺体积的取值范围为 _.:-一，的最小值14. （5 分）已知三、解答题(本大题共 5

7、 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.)17.(12 分)已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边 a, b, c 分别满足 c=2b=2,2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足石:丄汁(1) 求 a 及角 A 的大小;(2) 求丨二的值.18. (12 分)在四棱柱 ABCD- AiBiCiDi中，底面 ABCD 是正方形，且 一, / AAB=/A1AD=60 .(1) 求证：BD 丄 CC;(2) 若动点 E 在棱 C1D1上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB 所成 角的正弦值为二.1419. (12 分)过大年，吃水饺”

8、是我国不少地方过春节的一大习俗.2018 年春节前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量 指标，(1) 求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 ：(同一组中的 数据pBB用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z服从正态分布N (卩,2),利用该正态分布，求 Z 落在(14.55, 38.45)内的概率；将频率视为概率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于(10，30)内的包数为 X,求 X 的分布列和数 学期望.附：计算得所抽查的这 100 包速冻水

9、饺的质量指标的标准差为- . -: ；若 Z, CT?)，贝 U P(厂oZ p+ o)=0.6826，P(卩2oZ妙 22=0.9544.频斛组距00300.025 - - - -_10.020厂0.015八,0.010 J0 20304050各水收质 量指标20.(12 分)已知椭圆 C:的离心率为二，且以两焦点为直a b2径的圆的内接正方形面积为 2.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 I: y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A，B 两点，在 y 轴上是否存在点 D,使 直线AD 与 BD 的斜率之和 kAD+kBD为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若 不存在，试说明

10、理由.21.(12 分)已知函数 f (x) =ex- 2 (a- 1) x- b，其中 e 为自然对数的底数.(1) 若函数 f (x)在区间0,1上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；(2) 已知函数 g (x) =ex-(a- 1) x2- bx- 1,且 g (1) =0,若函数 g (x)在 区间0,1上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 :坐标系与参数方程22.(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 Ci的参数方程为z(0I. y=-l + asin6为参数，a 是大于 0 的常数

11、).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标 系，圆C2的极坐标方程为一 -；：二 二.(1) 求圆 Ci的极坐标方程和圆 C2的直角坐标方程；(2) 分别记直线 I:一，pR 与圆 G、圆 C2的异于原点的焦点为 A，B,若12圆 Ci与圆 C2外切，试求实数 a 的值及线段 AB 的长.选修 4-5:不等式选讲23.已知函数 f (x) =|2x+1| .(1) 求不等式 f (x) 0 , C=x| x=2n, n81N，贝U(AUB)nC=()A.2，4 B.0，2C.0，2，4 D.x|x=2n,nN【解答】 解：A=x| - X +4x 0 =x| 0 x 4，J 行： Ji

12、=x|3-4v3xv33=x|-4Vxv3，ol则 AUB=x|-4vx0, b0）的右焦点，直线 x=abz与双曲线的渐近线在第一象限的交点为 A,若 AF 的中点在双曲线上，贝 U 双曲线 的A.316B.C.D.BCD离心率为（）A.- B. X：-：C.D. -1.- 口2 2【解答】解：设双曲线 C:，-的右焦点 F （c, 0）,2 1 2a b双曲线的渐近线方程为 y=x,且由 x=a 代入渐近线方程可得 y=b，则 A（a，b），可得 AF 的中点为（空 W,丄 b），2 2代入双曲线的方程可得：川- I =1，拧4可得 4a2- 2ac- c2=0，由 e，可得 e2+2e

13、4=0，且解得 e=二-1 （- 1 -匸舍去），故选：D.6. （5 分）已知函数-则 W ）A.2+nB CD. I ：疋,0乙疋(0, 1I , .!/ = / cOsdt= I :=t 旦 t=arcsim= 一 = ，二 I H :- I 一-二!： - - ：!.f-兀耳x (0,【解答】解：-F+ (- cosx)-故选：D.7. (5 分)执行如图所示的程序框图，则输出的 S 的值为()A.B. UC. = D.Il ；-【解答】解：第 1 次循环后，S 二匚，不满足退出循环的条件，k=2; 第 2 次循环后，S=二，不满足退出循环的条件，k=3;第 3 次循环后，S= =2，

14、不满足退出循环的条件，k=4；第 n 次循环后，S=，不满足退出循环的条件，k=n+1 ； 第 2018 次循环后，S=込二9,不满足退出循环的条件，k=2019第 2019 次循环后，S=*m=2H满足退出循环的条件，故输出的 S 值为 2 ，故选：C-L 2f(x? =sinWxcos* x/3cos 3零点差的绝对值为【，则函数 f(x)的图象()A. 可由函数 g (x) =cos4x 的图象向左平移一一个单位而得24B. 可由函数 g (x) =cos4x 的图象向右平移. 个单位而得24771C.可由函数 g (x) =cos4x 的图象向右平移个单位而得D. 可由函数 g (x)

15、 =cos4x 的图象向右平移一个单位而得【解答】 解：函数 f (x)=sin xcos Xco s 宜+=s in ( 2x)-乙?： ：+-7T兀=sin(2x-) (0)的相邻两个零点差的绝对值为z，2 TV TTTTJT8. (5 分)已知函数(30)的相邻两个=cos (4x7?可厂三，二3=2 f (x) =sin (4x-可)=cos (4x-可)6故把函数 g （x） =cos4x 的图象向右平移个单位，可得 f （x）的图象，24故选：B.9.（5 分）苛丄门的展开式中剔除常数项后的各项系数和为（）A.- 73 B.- 61 C.- 55 D.- 63【解答】解：-:展开式

16、中所有各项系数和为（2- 3） （1+1）6=- 64;x（2x-3）（l+1）S=（2x-3） （1+丄|+），其展开式中的常数项为-3+12=9, 所求展开式中剔除常数项后的各项系数和为-64 - 9=- 73.故选：A.10. （5 分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形 ABCDEF 是边长为AB.【解答】解：如图，可得该几何体是六棱锥 P-ABCDEF 底面是正六边形，有一PAF 侧面垂直底面，且 P 在底面的投影为 AF 中点，过底面中心 N 作底面垂线,G 为 AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（31兀Q 盖1兀3b/五兀C64D. 481 的正六边形，点过侧面

17、 PAF 的外心 M 作面 PAF 的垂线，两垂线的交点即为球心 0,设厶 PAF 的外接圆半径为 r，.|，解得 r=.，.宀| i 二| .，.表面积是则该几何体的外接球的表面积是 ssR=11.（5 分）已知抛物线C:y2=4x 的焦点为 F,过点 F 分别作两条直线 li, I2，直 线 li与抛物线 C 交于 A、B 两点，直线 12与抛物线 C 交于 D、E 两点，若 li与 12的斜率的平方和为 1,则|AB|+| DE 的最小值为（）A. 16 B. 20 C. 24 D. 32【解答】解：抛物线C：y2=4x 的焦点 F (1, 0),设直线 11： y=k1(x- 1),直

18、线12： y=k2(x- 1),由题意可知，贝 U ： |，y=ki （x-1），整理得：则该几何体的外接球的半径R .，联立-k12x2-( 2k12+4) x+k12=0,设 A (X1, y1), B (X2, y2),2ki2+4则 X1+X2=设 D (X3, y3), E (X4, y4),4同理可得：X3+&=2+.,由抛物线ABI=X1+X2+p=4+,故选：C.CDDEI=X3+X4+p当且仅当一时，上式“我立.施1临22 | AB|+| DE 的最小值 24,故选：C.12. (5 分)若函数 y=f (x), x M，对于给定的非零实数 a,总存在非零常数 T,

19、使得定义域M内的任意实数 x,都有 af(x)=f(x+T)恒成立，此时 T 为 f (x) 的类周期，函数y=f(x)是M上的 a 级类周期函数.若函数 y=f(x)是定义在 区间0 , + %)内的 2 级类周期函数，且 T=2,当 x 0, 2 )时，f(X)2函数 g(x)=-21nx+7rx+x+m 若？Xi 6 , 8 , ?x2f(2-x), lx2X.),使 g (X2)- f (Xi)w0 成立，则实数 m 的取值范围是()A. _ B. _ . C. _ . D. - . ：2 2 2 2丄-2/, 0 xl【解答】解：根据题意,对于函数 f(x),当 x 0 , 2)时,

20、f(x)二 2,f(2-x), lx2X.分析可得：当 0Wx 1 时，f (x)二订-2,有最大值 f (0)十,最小值 f (1)2 22，当 1vXV2 时，ffx) =f (2-x),函数 ffx)的图象关于直线 x=1 对称，则此时 有f (x),又由函数 y=f (x)是定义在区间0,+x)内的 2 级类周期函数，且 T=2；则在 6, 8) 上, f (x) =23?f (x-6),则有-12f (x)0,函数 g (x)为增函数，【解答】解：根据题意，对于函数 f(x),当 x 0,2)时，fW 二 21 AB+| DE峠=则函数 g (X)在(0, +X)上，由最小值 f (

21、1) = +m ,2若？为 6,8,? X2(0,+x),使 g(X2)-f(xi)0 成立, 必有 g (X)min f (X)max，即 +m 8,2解可得 mW二，即卩 m 的取值范围为(-x,二；2 2故选：B.二、填空题(每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上)13. (5 分)已知向量.v , -，且，则=5 【解答】解：根据题意，向量.二，-，:1.-:,【解答】解：由约束条件作出可行域如图,若 alb,则 0?b=2sin cosa=0 则有 tana=,2.仃Vs sinCL5仃2V?，又由 sin2a+cosa=1 则有*则=(:匸)或(-:555则| 竺亠5si

22、na=L 或 迈或） ,则0, f (乂)在(0, 1)上单调递增，又 f (0) =0, f (1)=.v1五棱锥 P-ABCEF 的体积的范围是(0, I ).3故答案为：.三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.）17. （12 分）已知 ABC 的内角 A, B, C 的对边 a, b, c 分别满足 c=2b=2.2bcosA+acosC+ccosA=Q 又点 D 满足丄汁二 J(1)求 a 及角 A 的大小;【解答】 解：(1)由 2bcosA+acosC+ccosA=0 及正弦定理得-2sinBcosA=sinAcos&osA

23、sinC， 即2si nBcosA=si n( A+C) =s inB,在厶 ABC 中，sinB 0,所以，.2又 A(0, n),所以.二在厶 ABC 中，c=2b=2,由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA=E+c2+bc=7, 所以.舒，得.L y18. (12 分)在四棱柱 ABCD AiBiCiDi中，底面 ABCD 是正方形，且：丨_ ,/ AAB=/ A1AD=6C.(1) 求证：BD 丄 CG;(2) 若动点 E 在棱 C1D1上，试确定点 E 的位置，使得直线 DE 与平面 BDB 所成 角的正弦值为弃.r* 1 (2)由 i . Al(2)求：|i的值.所以工-一

24、【解答】解：(1)连接 AiB, AiD, AC,因为 AB=AA=AD,/ AiAB=ZAiAD=60,所以 AiAB 和厶 AiAD 均为正三角形，于是 AiB=AiD.设 AC 与 BD 的交点为 0,连接 AiO,则 AiO 丄 BD,又四边形 ABCD 是正方形，所以 AC 丄 BD,而 AiOnAC=O,所以 BD 丄平面 AiAC.又 AAi?平面 AiAC,所以 BD 丄 AAi,又 CG/ AAi,所以 BD 丄 CG.(2)由，及丨二.一，知 AiB 丄 AiD,于是从而 AiO 丄 AO,结合 AiO 丄 BD, AOnAC=O 得 AiO 丄底面 ABCD,所以 OA、

25、OB、OAi两两垂直.如图，以点 O 为坐标原点，的方向为 x 轴的正方向，建立空间直角坐标系 -xyz则 A (i, 0 , 0), B (0 , i , 0), D (0, - i , 0), Ai(0 , 0 , i) , C (- i , 0 , DB=(O?2, 0),画二瓦二(-X 0, 1) , D1_C=DC=(-h 1, 0),由川：“I：1. LL.一：，得 Di(- i , - i , i).设nT-：(疋0 , i),则(XE+1,yE+i,ZE-i)=X(-i,i,0),即 E(-X-i,入-i,i),所以 J -1.-.O0),设平面 BiBD 的一个法向量为-,设

26、直线 DE 与平面 BDB 所成角为 9,贝丄-解得.或（舍去），_所以当 E 为 DiCi的中点时，直线 DE 与平面 BDBi 所成角的正弦值为.19. （ 12 分）过大年，吃水饺”是我国不少地方过春节的一大习俗.2018 年春节 前夕，A 市某质检部门随机抽取了 100 包某种品牌的速冻水饺，检测其某项质量 指标，（1） 求所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 -（同一组中的 数据用该组区间的中点值作代表）；（2） 由直方图可以认为，速冻水饺的该项质量指标值Z 服从正态分布 N （卩,2）,利用该正态分布，求 Z 落在（14.55, 38.45）内的概率；将频率视为概

27、率，若某人从某超市购买了 4 包这种品牌的速冻水饺，记这 4 包速冻水饺中这种质量指标值位于（10，30）内的包数为 X,求 X 的分布列和数 学期望.附：计算得所抽查的这 100 包速冻水饺的质量指标的标准差为 -：-：1f：；若N（卩，CT?）,贝UP（卩eVZwp+ o）=0.6826,P（卩2eVZw（J+2o）=0.9544.n-DB=O得*ivBB二0I 爲令x=1,得&Of【解答】解：(1 )所抽取的 100 包速冻水饺该项质量指标值的样本平均数 匚为(2) Z 服从正态分布 N (仏 向，且 卩=26.5 代 11.95, P(14.55VZV38.45)=P(26.5

28、-11.95VZv26.5+11.95)=0.6826,Z 落在(14.55, 38.45)内的概率是 0.6826.根据题意得 X B(4,二)， - 丄：厂；-：-: -1 1；二 X 的分布列为X01234P11111648416二20.(12 分)已知椭圆 C：y、的离心率为竺二，且以两焦点为直 a2b22径的圆的内接正方形面积为 2.(1) 求椭圆 C 的标准方程；(2) 若直线 I: y=kx+2 与椭圆 C 相交于 A, B 两点，在 y 轴上是否存在点 D,使 直线AD 与 BD 的斜率之和 kAD+kBD为定值？若存在，求出点 D 坐标及该定值，若 不存在，试说明理由.0.0

29、300.0250.020)0 20 304050质量指标2所求椭圆方程为(2x . 2_1(2)由 * 2 丫 一丄得(1+2k2) x2+8kx+6=0,y=ky+2则厶=64k?- 24 (1+2k2) =16k2- 240,解得设 A (xi, yi), B (X2, y2),则人I ,1l+2k21 l+2k2丫1切+丫沪1_0(“ +垃J _2kx1x2+(2-m)(z1+ i2)_龜-4k(2-ID)所以=，一：；-要使 kAD+kBD为定值,只需 6k- 4k (2 - m) =6k- 8k+4mk=2 (2m- 1) , k 与参数k 无关,故 2m -仁 0,解得-厂二,当厂

30、:时，kAD+kBD=0.综上所述，存在点口；丄丄,使得 kAD+kBD为定值,且定值为 0 21.(12 分)已知函数 f (x) =ex- 2 (a- 1) x- b,其中 e 为自然对数的底数.(1) 若函数 f (x)在区间0 , 1上是单调函数，试求实数 a 的取值范围；(2) 已知函数 g (x) =ex-(a- 1) x2- bx- 1,且 g (1) =0 ,若函数 g (x)在 区间0 ,1上恰有 3 个零点，求实数 a 的取值范围.【解答】解：(1)根据题意，函数 f (x) =e2- 2 (a- 1) x- b ,【解答】a-22csin-W2 解得a2=2,=&

31、 ,-口设存在点 D (0, m),则 ky 1 f妙二匚“BD二忑一,其导数为f(x) =ex- 2 (a- 1),当函数 f (x)在区间0 , 1上单调递增时，f(x) =ex- 2 (a- 1)0 在区间0 ,1上恒成立， 2 (a- 1 )( ex)min=1 (其中 x 0,1)，解得且号；当函数 f (X)在区间0, 1单调递减时，f (x)=ex- 2 (a- 1)( ex)max=e (其中 x 0，1)，解得且违+1 综上所述，实数 a 的取值范围是：，|(2)函数 g (x) =ex-( a- 1) x2- bx- 1，则 g (x) =ex- 2 (a- 1) x- b

32、，分析可得 f (x) =g (x).由 g (0) =g (1) =0，知 g (x)在区间(0，1)内恰有一个零点，设该零点为 X。，则 g (x)在区间(0，X。)内不单调，所以 f (x)在区间(0，刈)内存在零点 X1，同理，f (x)在区间(x，1)内存在零点 X2，所以 f (x)在区间(0, 1)内恰有两个零点.由(1 )知，当 W 时，f (x)在区间0，1上单调递增，故 f (x)在区间(0,21)内至多有一个零点，不合题意.当二丁时，f (x)在区间0, 1上单调递减，故 f (乂)在(0, 1)内至多有一个零点，不合题意；所以，二；2 2令f(x) =0,得 x=ln(

33、 2a- 2)( 0, 1),所以函数 f (x)在区间0, In (2a-2)上单调递减，在区间(ln (2a- 2), 1 上单调递增.记 f ( X)的两个零点为 X1, X2(X1 0, f (1) =e- 2a+2- b0.由 g (1) =0,得 a+b=e,所以 I i- ；-.-,又 f （0） =a- e+10, f （1） =2- a 0,所以 e- 1vav2.综上所述，实数 a 的取值范围为（e- 1, 2）.请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.选修 4-4 :坐标系与参数方程22.（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 Ci