电子声子相互作用2

1、第五章 电子声子相互作用§1 互作用过程一、有效质量近似和带边能量带底附近能带电子能量 （）带边能量与原子间距有关。例如：电子在周期场中的势能函数为 其中，为整数，为常量用近自由电子近似，求出晶体电子的第一个和第二个带隙宽度解：对于，其中计算得到二、形变势模型LA声子伴随晶格常数和体积的局域变化。带边能量发生移动 （）电声相互作用的形变势模型。三、形变势模型的电声相互作用哈密顿（2.5.31）二次量子化表示（5.1.4）给出电声相互作用的两个基本过程。图5.1 电子吸收、发射声子图5.2 电子空穴对以上是的一级过程。二级过程由基本过程组成：图5.3§2 电子与声频支声子的相

2、互作用晶格模型简单晶格只有声频支振动。电阻效应。N过程、U过程。一、晶格模型中电声互作用哈密顿量离子处于格点不动时，电子与离子的互作用 （5.2.1）离子位移，电子与离子的互作用 （5.2.2）能带电子与晶格振动的相互作用 （5.2.3）其中电声相互作用的一个电子的单体势 （5.2.4）电声相互作用的二次量子化哈密顿对和作傅氏变换， （5.2.6）其中是Bloch函数。得到 （5.2.8）用简正坐标、声子算符表示 （5.2.9）其中格波偏振指标 。得到（5.2.10）用平面波代替布洛赫函数，利用 （5.2.19）晶格模型中电声互作用哈密顿量（5.2.21）二、N过程和U过程（i）N过程（正常过

3、程）TA声子，只有LA声子的贡献：（5.2.22）（ii）U过程（倒逆过程）LA声子和TA声子对于互作用都有贡献。倒逆过程是大角度散射过程。三、准动量守恒、实过程讨论电声互作用系统由初态到终态的跃迁概率。记电子的初态和终态。使含时，令由含时微扰理论，电声系统由初态到终态的跃迁概率 （5.2.27）其中用到公式 。跃迁能量守恒 （5.2.28）即 （5.2.30）虚过程：电子携带着晶格畸变运动；没有真的发射声子。§3 声子的自能修正计算LA声子由于电声互作用的自能修正。N个离子浸没在均匀电子气体中，未微扰的LA声子长波频率 （5.3.1）LA声子的哈密顿量 （5.3.2）金属的总哈密顿

4、量 （5.3.3）其中电声互作用为 （5.2.24）由海森伯方程，得到运动方程 （5.3.4）其中 （5.2.24）下面通过讨论离子密度起伏与的关系、与的关系，建立与的关系，代入（5.3.4），讨论电子对于晶格振动能量和运动的影响；将得到（i）离子密度起伏晶格振动产生极化 公式 （束缚电荷）傅里叶展开系数 （5.3.9）（ii）与的关系公式 ， 离子运动比电子慢得多，有， 进行傅里叶展开，利用，得到 （5.3.13）（iii）与的关系代入运动方程 （5.3.4）得到有电子屏蔽作用的LA声子运动方程 （5.3.15）结果： （5.3.16）长波近似下采用Thomas-Fermi介电函数 （5.3

5、.18）即 （5.3.19）其中LA格波速度（5.3.20）这是Bohm-Staver声速公式。讨论：（1）LA格波速度与费米速度线性相关。（2）费米速度很大，金属电子的定向运动速度很小。（3）晶体中声子的速度 >> 电子的平均运动速度。§4 电子与光频声子的相互作用电子与LO声子的相互作用更强。极化子（电子+极化），电子自能修正。LO振动：一方面，产生极化电场，使；有LST关系 （）另一方面，LO振动的极化电场对于离子晶体中电子有重要作用。本节讨论LO声子对于离子晶体中电子的影响。首先在长波近似下建立LO振动极化电场与电子互作用的哈密顿： （2.6.1） （5.4.2）

6、 （5.4.7）得到LO振动极化电场中电子的电势能互作用哈密顿 由于 （5.4.1）对于N过程 （5.4.11）其中 （5.4.5）极化子概念：极化子（polaron）电子极化极化范围与晶格常数相比：大极化子，小极化子大极化子可采用连续模型；Frohlich的微扰处理：对于慢电子 （5.4.12）零级近似波函数（T=0K）（5.4.13）（作业16：计算一阶能量修正。）计算一级近似波函数、二阶能量修正 （5.4.15）该式表示电子自能修正过程（图5.3a）: （5.4.11）= -1所以 （5.4.15）计算取和（只考虑慢电子），得到 （）其中 （）（作业17：由（5.4.15）推导（）电子与

7、LO声子相互作用的结果讨论：（1）使导带的带边能量降低了（2）电子有效质量增大为 （）称为极化子有效质量。在电子周围激发的平均声子数对于慢电子，令，得到积分，求得 （）两点讨论：（1）电子自能过程中的声子是虚声子；虚声子过程中的声子是晶格中允许（可以有）的任何频率的声子，但是，不是晶格中热平衡的真实声子；（2）微扰理论要求耦合参数，适用于少数族和族化合物半导体。非微扰理论在第九章学习。§5 有效电子电子相互作用电子电子有效相互作用的物理图像。图5.6哈密顿量 （5.5.1）1电子电子有效互作用的微扰估计Frohlich按照可能的两种虚声子过程进行的二级微扰估计。图5.7电子通过交换声

8、子的互作用矩阵元其中初态与终态为声子真空态，具体为互作用矩阵元为（5.5.2）Frohlich猜测的电电有效互作用哈密顿量 （5.5.5）电电有效互作用的吸引与排斥，取决于是负与正。当时，即费米面附近宽度范围内电子间的有效互作用是吸引的。费米面附近相反动量及自旋的一对电子，通过声子吸引机制形成的束缚电子对，称为库柏对。束缚电子对的形成，电子系统能量降低，导致费米球改组，产生新的电子系统基态。2正则变换方法中岛（Nakajima）变换 （） （）对于，作正则变换， （）满足，ev相同。其中S待定。量子力学公式（5.5.9）：假设待定的S是与H同阶的一阶项。去除高阶项确定S：令一阶项为零，这就是Nakajima变换的S。即 （）Nakajima变换的哈密顿 （1）包括了电声互作用的全部二级过程。假设 （2）由，确定待定系数。中包括了电声互作用的全部二级过程，对声子真空态平均，得到电子之间的有效互作用：结果与Frohlich猜测的电电有效互作用哈密顿相同。中岛变换方法是凝聚态理论中寻找有效互作用的一种传统方法。声子吸引机制的物理原因：当时，为负；即费米面附近宽度范