电容带电粒子在电场中的运动

1、第三部分 电容、带电粒子在电场中的运动知识要点梳理知识点一电容器、电容知识梳理1电容器两个彼此绝缘又相互靠近的导体就是一个电容器。2电容器的工作状态充电和放电充电就是使电容器带电的过程如图所示。放电就是使充电后的电容器失去电荷的过程，如图所示。电容器的带电荷量是指一个极板所带电荷量的绝对值。3电容电容是描述电容器容纳电荷本领的物理量。电容器所带电荷量与极板间电压的比值叫电容。定义式为，其中C与Q、U无关，仅由电容器自身决定。单位1F=1 C/V=。4平行板电容器的电容C跟电容器的正对面积、介电常数成正比，跟极板间距成反比，即，其中k为静电力常量。一带电平行板电容器两极板间的电场可认为是匀强电场

2、，。如图所示。5探究影响平行板电容器电容的因素（1）如图所示，保持Q和d不变，S越小，电势差越大，表示电容C越小。（2）如图所示，保持Q和S不变，d越大，电势差U越大，表示电容C越小。（3）如图所示，保持Q、S不变，插入电介质后，电势差U越小，电容C越大。6常见的电容器常见的电容器有：聚苯乙烯电容器、纸质电容器、电解电容器、可变电容器、平行板电容器。电解电容器连接时应注意其“”“一”极。7平行板电容器的两类典型问题（1）平行板电容器充电后，继续保持电容器两极板与电池两极相连接，电容器的变化，将引起电容器的的变化。由于电容器始终连接在电源上，因此两板间的电压U保持不变，可根据下列几式讨论的变化情

3、况：。（2）平行板电容器充电后，切断与电源的连接，电容器的变化，将引起电容器的的变化。这类问题由于电容器充电后切断与电源的连接，使电容器的电荷量Q保持不变，可根据下列几式讨论的变化清况：。疑难导析1、对平行板电容器有关的物理量的讨论（1）当电容器两极板间的电势差不变时（例如把电容器的两极板分别接到直流电源的两个极上，且不断开），若电容器的结构发生变化（如距离、正对面积、介电常数等），则C变，Q亦变，且。对应E的变化也有两种情况：若d不变，S变，则不变；若S不变，仅d变，则E变化。（2）若电容器所带的电荷量Q不变（如电容器与电源相接后断开），则当电容器的结构发生变化时，将引起C变，同时U亦变，且

4、。E的变化也有两种情况：若d不变，S变，则E变；若S不变，仅d变，则E不变（因为）。2、对与电容器有关的几个公式的理解（1）公式是电容的定义式，对任何电容器都适用，对一个确定的电容器，其电容已确定，不会随其带电荷量的改变而改变。C与Q、U无关，仅是采用了比值定义法来定义电容，电容C的大小由电容器本身决定，是表示电容器容纳电荷本领大小的物理量。（2）公式是平行板电容器的决定式，由公式可知电容器的电容C与两板的正对面积S成正比，与介质的介电常数成正比，与两板间距成反比。此公式适用于平行板电容器。（3）公式是由电容的定义式和决定式推导出的，由公式可知两板间场强E与电容器所带电荷量成正比，与介质介电常

5、数和两板正对面积成反比，与两板间距离d无关。1：一平行板电容器充电后，把电源断开，再用绝缘工具将两板距离拉开一些时（ ）A电容器中电量增加 B电容增加C电容器电压增加 D两极间电场强度增大答案：C解析：由平行板电容器电容，可知d增大，C减小，由可知，在Q不变时，C减小，U增大，由，可知场强E不变，注意电容器充电后再和电源断开，电容器的电量Q不变。知识点二带电粒子在匀强电场中的加速和偏转知识梳理1、带电粒子的加速（1）带电粒子在电场中运动时，重力一般远小于静电力，因此重力可以忽略。（2）带电粒子在静电力的作用下，由静止开始加速时，由动能定理可知，。 若带电粒子沿与电场线平行的初速度进入匀强电场，

6、则。2、带电粒子的偏转（1）带电粒子以垂直于电场线方向的初速度进入匀强电场时，粒子做类平抛运动。（2）偏转问题的处理方法，类似于平抛运动的研究方法，粒子沿初速度方向做匀速直线运动可以确定通过电场的时间。粒子沿电场线方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度，穿过电场的位移侧移量，穿过电场的速度偏转角。3、示波管的构造和原理（1）示波管的构造：示波器的核心部件是示波管，示波管的构造简图如图所示，也可将示波管的结构大致分为三部分，即电子枪、偏转电极和荧光屏。 （2）示波管的原理a、偏转电极不加电压时，从电子枪射出的电子将沿直线运动，射到荧光屏的中心点形成一个亮斑。b、在（或）加电压时，则电子被加速，

7、偏转后射到（或）所在直线上某一点，形成一个亮斑（不在中心），如图所示。 在图中，设加速电压为，电子电荷量为e，质量为m，由得 在电场中的侧移 其中d为两板的间距。 水平方向 又 由式得荧光屏上的侧移 c、示波管实际工作时，竖直偏转板和水平偏转板都加上电压一般加在竖直偏转板上的电压是要研究的信号电压，加在水平偏转板上的是扫描电压，若两者周期相同，在荧光屏上就会显示出信号电压随时间变化的波形图。疑难导析1对粒子偏转角的讨论在图中，设带电粒子质量为m、电荷量为q，以速度垂直于电场线射入匀强偏转电场，偏转电压为，若粒子飞出电场时偏转角为。则，式中代入得（1）若不同的带电粒子是从静止经过同一加速电压加速

8、后进入偏转电场的，则由动能定理有 由以上两式得由此式可知，粒子的偏转角与粒子的q、m无关，仅决定于加速电场和偏转电场，即不同的带电粒子从静止经过同一电场加速后进入同一偏转电场后，它们在电场中的偏转角度总是相同的。（2）带电粒子从偏转电场中射出时的偏转位移，做粒子速度的反向延长线，设交于O点，O点与电场边缘的距离为x，则由此可知，粒子从偏转电场中射出时，就好像是从极板间的处沿直线射出似的。2运用动力学观点处理带电粒子在电场中的运动在对带电粒子进行受力分析时，要注意两点：（1）要掌握电场力的特点，如电场力的大小和方向不仅跟场强的大小和方向有关，还与带电粒子的电量和电性有关；在匀强电场中，同一带电粒

9、子所受的电场力处处是恒力；在非匀强电场中，同一带电粒子在不同位置所受的电场力的大小和方向都可能不同。（2）是否考虑重力要依据具体情况而定。若所讨论的问题中，带电粒子受到的重力远远小于电场力，即，则可忽略重力的影响，譬如：一电子在电场强度为4V/m的电场中，它所受的电场力N，它所受的重力N，。可见，重力在此问题上的影响微不足道，完全应该略去不计，但是，忽略粒子的重力并不是忽略粒子的质量。反之，若带电粒子所受的重力跟电场力可以比拟，譬如，在密立根油滴实验中，带电油滴在电场中平衡，显然这时就必须考虑重力了。若再忽略重力，油滴平衡的依据就不存在了。总之，是否考虑带电粒子的重力要根据具体情况而定。一般说

10、来：基本粒子：如电子、质子、粒子、离子等除有说明或明确的暗示以外，一般都不考虑重力（但并不忽略质量）。带电颗粒：如液滴、油滴、尘埃、小球等，除有说明或明确的暗示以外，一般都不能忽略重力。3解决带电粒子在电场中的运动问题的基本思路（1）带电粒子在电场中的直线运动过程是其他形式的能与动能的相互转化过程（大多数情况下），解决此类问题，可用动能定理，也可用能量守恒来解决。（2）对于带电粒子在电场中的类平抛运动，可用力学中处理平抛运动问题的方法，即运用运动的合成与分解的方法。在垂直电场方向上粒子做匀速直线运动：；在平行电场方向上，粒子做初速度为零的匀加速直线运动：，其中，粒子射出电场时的偏转角为。4经一

11、定电压加速后的带电粒子，垂直于场强方向射入确定的平行板偏转电场中，粒子偏离入射方向的偏距只跟加在偏转电极上的电压有关。经一定电压（）加速后的带电粒子，垂直于场强方向射入确定的平行板偏转电场中，粒子偏离入射方向的偏距，它只跟加在偏转电极上的电压有关。当偏转电压的大小、极性发生变化时，粒子的偏距也随之变化，如果偏转电压的变化周期远大于粒子穿越电场的时间（），则在粒子穿越电场的过程中，仍可当作匀强电场处理。因此，当偏转电压为正弦波或锯齿波时，连续射入的带电粒子将以入射方向为中心上下偏移，随时间而展开的波形与偏转电压波形相似。2：如图，电子在电势差为的加速电场中由静止开始运动，然后射入电势差为的两块平

12、行板间的电场中，入射方向跟极板平行。整个装置处在真空中，重力可忽略。在电子能射出平行板区的条件下，下述四种情况中，一定能使电子的偏转角变大的是（ ）A变大，变大B变小，变大C变大，变小D变小，变小答案：B解析：设电子质量为m，电荷量为e，经电势差为的电场加速时，由动能定理得 经平行板射出时，其水平速度和竖直速度分别为 由此得或 当l、d一定时，增大或减小都能使偏角增大。典型例题透析题型一平行板电容器的动态分析分析有关平行板电容器的Q、E、U和C的关系时，主要有两种情况：一是保持两板与电源相连，则电容器两极电压U不变。二是充电后断开电源，则带电量Q不变。运用电容的定义式和决定式解决电容器问题的思

13、路是：（1）确定不变量。C与电源相连时，电压不变；电容器先充电后与电源脱离时，所带电量不变。（2）用决定式分析平行板电容器电容的变化。（3）用定义式分析电容器所带电量或两极板间电压的变化。（3）用分析电容器极板间场强的变化。3、水平放置的平行板电容器与一电池相连。在电容器的两板间有一带正电的质点处于静止平衡状态。现将电容器两板间的距离增大，则（ ） A电容变大，质点向上运动 B电容变大，质点向下运动C电容变小，质点保持静止 D电容变小，质点向下运动解析：由平行板电容器电容公式知，将两板间的距离增大，电容必变小；水平放置的平行板电容器与一电池相连，则U不变，由可知，E必变小，则电场力小于重力，质

14、点向下运动。答案：D总结升华：在分析平行板电容器的电容及其他参量的动态变化时，有两个技巧：（1）紧抓“不变量”即“控制变量法”；（2）选择合适的公式分析。举一反三【变式】电容式话筒的原理示意图如右图所示，E为电源，R为电阻，薄片P和Q为两金属极板对着话筒说话时，P振动而Q可视为不动在P、Q间距增大过程中()AP、Q构成的电容器的电容增大BP上电荷量保持不变CM点的电势比N点的低DM点的电势比N点的高答案D 题型二带电粒子在电场中的加速问题带电粒子在匀强电场中加速可以有三种分析方法，即运用牛顿第二定律结合运动学公式、运用动能定理和能量守恒；带电粒子在非匀强电场中加速可以采用动能定理和能量守恒这两

15、种处理方法。如果选用动能定理，则要分清有哪些力做功，做的是正功还是负功，是恒力做功还是变力做功。若电场力是变力，则电场力的功必须写成的形式，不能写成W=qEd的形式。还要确定初、末状态的动能变化情况。如果选用能量守恒，则要分清有哪几种形式的能量在变化，怎样变化（是增加还是减少），然后再选用合适的表达形式列方程求解。4、如图所示，虚线MN下方存在竖直向上的匀强电场，场强E2×103V/m ，电场区域上方有一竖直放置长为l0.5m的轻质绝缘细杆，细杆的上下两端分别固定一个带电小球A、B，它们的质量均为m0.01kg，A带正电，电荷量为q12.5×104C；B带负电，电荷量q25

16、×105C，B到MN的距离h0.05m.现将轻杆由静止释放(g取10m/s2)，求：(1)B刚进入匀强电场后的加速度大小；(2)从开始运动到A刚要进入匀强电场过程的时间；(3)B向下运动离MN的最大距离解析(1)B刚进入电场时，以A、B及轻杆为一整 体，做加速度为a的匀加速运动，由牛顿第二定律得：2mgq2E2ma解得ag15m/s2(2)B进入电场之前，A、B及轻杆整体做自由落体运动，时间为t1hgt12得：t10.1sB进入电场瞬间速度：v1gt11m/s从B进入电场到A刚要进入电场过程，A、B及轻杆整体做匀加速运动，时间为t2lv1t2 at22解方程得：t20.2s从开始运动

17、到A刚要进入匀强电场过程中的时间tt1t20.3s(3)设B向下运动离MN的最大距离为s，A、B及轻杆整体从开始运动到到达最低点过程，由动能定理得2mg(hs)q2Esq1E(sl)0得：s1.3m举一反三【变式】质量为m、带电荷量为q的微粒在O点以初速度v0与水平方向成角射出，如图所示，微粒在运动过程中所受阻力大小恒为f.(1)如果在某方向上加上一定大小的匀强电场后，能保证微粒仍沿v0方向做直线运动，试求所加匀强电场的最小值(2)若加上大小一定、方向向左的匀强电场，仍保证微粒沿v0方向做直线运动，并且经过一段时间后微粒又回到O点，求微粒回到O点时的速率解析(1)对微粒进行受力分析如图所示，要

18、保证微粒仍沿v0方向做直线运动，必须使微粒在垂直v0的y方向所受合力为零，则所加电场方向沿y轴正向时，电场强度E最小，并且qEmgcos(2)当加上水平向左的匀强电场后，微粒受力分析如图所示，仍保证微粒沿v0方向做直线运动，则有：qEsinmgcos设微粒沿v0方向的最大位移为s，由动能定理得：(mgsinqEcosf)s0mv02粒子从O点射出到回到O点的过程中，由动能定理得：f·2smv2mv02以上三式联立解得：vv0.题型三带电粒子在电场中的偏转问题带电粒子在电场中的偏转是一种复杂的曲线运动，解决问题的基本策略是运用运动的分解，把复杂的曲线运动转化为两个简单的直线运动，此时注

19、意结合运动的独立性、等时性（力学分析规律），从中寻找解决问题的突破口。关于带电粒子垂直进入匀强电场后的偏转，和重物在重力场中的平抛运动很相似，可以用类比的方法来学习电场中的类平抛运动，对运动情况的分析很有裨益但是两者也有不同之处，重物在重力场中的加速度g是恒定的，其大小与重物本身无关；而带电粒子在电场中的加速度与本身的电荷量、电性、质量都有关，而且电荷量相同的粒子可能质量又不同，所以它们的加速度可能不相同。5、图1中B为电源，电动势，内阻不计。固定电阻，为光敏电阻。C为平行板电容器，虚线到两极板距离相等，极板长，两极板的间距。S为屏，与极板垂直，到极板的距离。P为一圆盘，由形状相同、透光率不同

20、的三个扇形a、b和c构成，它可绕轴转动。当细光束通过扇形a、b、c照射光敏电阻时，的阻值分别为1000、2000、4500。有一细电子束沿图中虚线以速度连续不断地射入C。已知电子电量，电子，电子质量。忽略细光束的宽度、电容器的充电放电时间及电子所受的重力。假设照在上的光强发生变化时阻值立即有相应的改变。（1）设圆盘不转动，细光束通过b照射到上，求电子到达屏S上时，它离O点的距离y。（计算结果保留二位有效数字）。（2）设转盘按图1中箭头方向匀速转动，每3秒转一圈。取光束照在a、b分界处时t=0，试在图2给出的坐标纸上，画出电子到达屏S上时，它离O点的距离y随时间t的变化图线（06s间）。要求在y

21、轴上标出图线最高点与最低点的值。（不要求写出计算过程，只按画出的图线评分。）解析：（1）设电容器C两板间的电压为U，电场强度大小为E，电子在极板间穿行时y方向上的加速度大小为a , 穿过C的时间为，穿出时电子偏转的距离为, ，eE=ma，由以上各式得= ()代人数据得 =4.8m由此可见d，电子可通过C。设电子从C穿出时，沿y方向的速度为，穿出后到达屏S所经历的时间为，在此时间内电子在y 方向移动的距离为，由以上有关各式得= ()代人数据得 =1.92m由题意 y = =2.4m 。（2）如图所示。举一反三【变式】如图所示，水平放置的平行板电容器，原来两板不带电，上极板接地，它的极板长L= 0

22、.1m，两板间距离 d = 0.4 cm，有一束相同微粒组成的带电粒子流从两板中央平行极板射入，由于重力作用微粒能落到下板上，已知微粒质量为 m = 2kg，电量q = 1C，电容器电容为C =F。求（1）为使第一粒子能落点范围在下板中点到紧靠边缘的B点之内，则微粒入射速度应为多少？（2）以上述速度入射的带电粒子，最多能有多少落到下极板上？解析：（1）若第1个粒子落到O点，由得2.5 m/s。若落到B点， 由得5 m/s，故2.5 m/s5 m/s。（2）由，得t4s，得a2.5，有， 得Q6C，所以600个。题型四带电粒子在交变电场中的运动（1）带电粒子在交变电场中的直线运动，带电粒子沿电场

23、线方向进入电场，在交变电场力的作用下做加速、减速交替的直线运动，通常用动力学知识解决。（2）带电粒子在交变电场中的偏转，带电粒子进入电场时速度方向与电场方向垂直，带电粒子在交变电场力的作用下做类平抛运动，一般根据交变电场的特点进行分段研究。6、如图（a）所示，长为L，相距为d的两平行金属板与一电压变化规律如图（b）所示的电源相连（图中未画出电源）。有一质量为m、带电荷量为q的粒子以初速度从板中央水平射入电场，从飞入时刻算起，A、B两板间的电压变化规律如图（b）所示，为使带电粒子离开电场时速度方向平行于金属板，问：（1）交变电压周期需满足什么条件？（2）偏转电压的取值范围是什么？思路点拨：先分析

24、带电粒子在水平方向和竖直方向上的运动特点，再寻找“平行于两板飞出”的条件，以及飞出时在垂直板方向上的限制条件。解析：（1）带电粒子穿过电场所需时间因粒子离开电场时速度方向平行金属板，则。所以（2）带电粒子在竖直方向上一个周期内的位移其中，所以。所以带电粒子在n个周期内的位移为。依题意，即，得。将代入得。【点评】正确分析带电粒子在竖直方向上的运动，是快速解题的前提。竖直方向上的图象如图所示。举一反三【变式】如图(a)所示，两个平行金属板P、Q竖直放置，两板间加上如图(b)所示的电压t0时，Q板比P板电势高5V，此时在两板的正中央M点有一个电子，速度为零，电子在电场力作用下运动，使得电子的位置和速

25、度随时间变化假设电子始终未与两板相碰在0<t<8×1010s的时间内，这个电子处于M点的右侧，速度方向向左且大小逐渐减小的时间是() A0<t<2×1010sB2×1010s<t<4×1010sC4×1010s<t<6×1010sD6×1010s<t<8×1010s答案D 解析t0时，Q板比P板电势高，电子先向右做匀加速直线运动，其速度时间图象如图所示，符合题意的是选项D.题型五带电粒子在加速电场，偏转电场中的综合问题（1）对粒子进行加速的电场可以是匀强电

26、场，也可以是非匀强电场。带电粒子在电场中的加速，一般可应用动能定理，也可应用牛顿第二定律。应用动能定理时，对非匀强电场同样适用。（2）对带电粒子垂直电场线进入电场后做类平抛运动，利用运动的合成与分解，分解成沿初速度方向的匀速直线运动和沿电场方向的匀加速直线运动，分别利用相应公式解决。7、如图甲所示，真空中的电极K连续不断地发出电子（电子的初速度可忽略不计），经电压为U的电场加速，加速电压U随时间t变化的图象如图乙所示。每个电子通过加速电场的过程时间极短，可认为加速电压不变电子被加速后由小孔S穿出，沿两个彼此靠近且正对的水平金属板A、B间中轴线从左边缘射入A、B两板间的偏转电场，A、B两板长均为

27、L = 0. 20 m，两板之间距离d=0.050 m，A板的电势比B板的电势高。A、B板右侧边缘到竖直放置的荧光屏P（面积足够大）之间的距离b=0. 10 m，荧光屏的中心点O与A、B板的中心轴线在同一水平直线上。不计电子之间的相互作用力及其所受重力，求：（1）要使电子都打不到荧光屏上，则A、B两板间所加电压U应满足什么条件？（2）当A、B板间所加电压=50 V时，电子打在荧光屏上距离中心点O多远的范围内？思路点拨：先分析在加速电场中符合的规律，再分析在偏转电场中运动特征和研究方法，结合要求寻找条件。解析：（1）设电子的质量为m、电荷量为q，电子通过加速电场后的速度为v，由动能定理有， 电子

28、通过偏转电场的时间，此过程中电子的侧向位移， 联立上述两式解得 要使电子都打不到屏上，应满足U取最大值800 V时仍有 代入数据可得，为使电子都打不到屏上，至少为100 V（2）当电子恰好从A板右边缘射出偏转电场时，其侧移量最大2.5 cm. 电子飞出偏转电场时，其速度的反向延长线通过偏转电场的中心， 设电子打在屏上距中心点的最大距离为，则由几何关系可知 解得5.0 cm 由第（1）问中的可知，在其他条件不变的情况下，U越大，y越小， 所以当U=800 V时，电子通过偏转电场的侧移量最小。 其最小侧移量， 同理，电子打在屏上距中心点的最小距离， 所以电子打在屏上距中心点O在2.5 cm5. 0

29、 cm的范围内。总结升华：（1）从中央垂直于电场方向射入（即沿x轴射入）的带电粒子在射出电场时速度的反向延长线交x轴上的一点，该点与射入点间的距离为带电粒子在x方向上位移的一半（带电粒子就好像是从“中点”射出似的）。（2）静止的带电粒子经同一电场加速，再垂直射入同一偏转电场，射出粒子的偏转角度和侧移与粒子的q、m无关。举一反三【变式】如图所示的装置，是加速电压，紧靠其右侧的是两块彼此平行的水平金属板。板长为L，两板间距离为d，一个质量为m、带电量为q的粒子，经加速电压加速后沿金属板中心线水平射人两板中，若两水平金属板间加一电压，当上板为正时，带电粒子恰好能沿两板中心线射出；当下板为正时，带电粒

30、子则射到下板上距板的左端处，求：（1）为多少?（2）为使带电粒子经加速后，沿中心线射入两金属板，并能够从两板之间射出，两水平金属板所加电压应满足什么条件？ 解析：（1）设粒子被加速后的速度为v，当两板间加上电压U 如上板为正时，mg，U 如下板为正时，a2g，·2g（） 得 qUmv U 则（2）当上板加最大电压U时，粒子斜向上偏转刚好穿出：t U 若上板加上最小正电压时，粒子向下偏转恰穿出 ·（） 若下板加上正电压时，粒子只能向下偏转 可见下板不能加正电压 。题型六带电粒子在复合场中的运动处理带电粒子在复合场中运动的关键是要弄清粒子所在区域存在几个场，分别是什么性质的场（电场、磁场、重力场），几个场是简单的排列，还是叠加，粒子受力情况如何。处理方法主要有以下两种：1正交分解法：将复杂的运动分解为两个互相正交的简单的直线运动。2等效“重力场”法，将重力与电场力进行合成如图所示，则等效于“重力”，等效于“重力加速度”，的方向等效于“重力的方向”。 8、在如图所示的xOy平面内（y轴的正方向竖直向上）存在着水平向右的匀强电场，有一带正电的小球自坐标原点O沿y轴正方向竖直向上抛出，它的初动能为5J，不计空气阻力，当它上升到最高点M时，它的