章圆柱坐标系下的分离变量法071228

1、5圆柱坐标系下的分离变量法51极坐标系下的拉普拉斯方程考虑半径为的一个薄圆盘，已知圆盘内部无热源，边界温度给定，且温度分布随时间演化已趋于稳定，试求此时的温度分布。上述定解问题可表述为 （5.1.1a） (b)其中，表示圆盘的边界，即，表示围成的内域。对于二维平面场问题，即物理量的空间分布与无关，当物体边界为矩形时，采用直角坐标系比较方便。因为边界方程可方便地用直角坐标表示出来，如，但当物体边界为圆形时采用极坐标系可大为简化边界方程，从而给问题的求解带来方便。而在极坐标系下，拉普拉斯方程表示为 （）从而（）定解问题可改写成 (5.1.3a) (b)注意到定解问题（）中的边界条件属于第类，通常称

2、之为狄里克莱问题，也称第边值问题。若（）中的边界条件是第类的，则称相应的定解问题为牛曼问题，也称第边值条件。若（）中的边界条件是第类的，则称相应的定解问题为罗宾问题。此外，本题研究内域中的温度，通常称为内问题。实际应用中，可能遇到求圆形孔洞外围的温度场或电势场分布问题，通常称为外问题。现在回到求解形如（）的定解问题上来。我们沿用在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题的思想，设 （）代入（）得两边同除以（为非零解）得由于等式左边是关于的函数，右边是关于的函数，从而只能有 左边=右边=常数设这个常数为，则得到两个常微分方程 （）和 （5.1.6a）或者 （b）如同在直角坐标系下求解偏微分方程定解问题

3、一样，我们将首先构造与定解问题相应的特征值问题，通过求解特征值问题得到平方可积函数空间中的一组完备正交函数系，再将解按完备正交函数系展开，最终得到级数形式的解表达式。为此，首先考虑方程（b）附加特定边界条件构成特征值问题的可能性。方程（b）为2阶欧拉方程，定解条件需要2个，但(5.1.3)中仅提供1个。考虑到温度在内处应为有限值，补充定解条件如下 ()从而可分离出 ()但从处的边界条件中无法分离出关于的边界条件。从而无法由方程（b）构造特征值问题。现在转而考虑由方程（）构造特征值问题。方程（）是2阶常微分方程，其定解问题也需要2个，但（5.1.3）中并没有提供关于的任何信息，但深入考虑本问题的

4、特点后，应该有 （5.1.9a）（b）因为和表示同一点。形如（）的条件称为周期性条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（）在原定解问题（5.1.3）中都没有被明确提出。但原定解问题（5.1.3）是关于和的2阶偏微分方程定解问题，其定解条件应该有4个。除处的边界条件外，还应该有3个定解条件。有界性条件（5.1.7）和周期性条件（）正好是在原定解问题中没有被明确提出的3个定解条件，他们或者由问题的物理性质决定，或者由区域的几何性质决定。像这样由问题的物理性质决定，或者由区域的几何性质决定，而无需在定解问题中明确提出的边界条件，通常称为自然边界条件。自然边界条件是隐含在定解问题本身之中的边界条件

5、。由周期性条件（）可进一步分离出 (5.1.10a) (b)它们与方程()一起构成特征值问题。方程()的通解为 () 注意到()中的周期为，故即特征值 ()相应的非平凡解为 ()由于和是线性无关的，所以特征值是2重简并的（除外），即每一个特征值对应有2个线性无关的特征函数和。所有正交函数组成函数空间完备正交函数系。现在将代入（b），求解欧拉方程（）（1） 当时， （）（2）当时， 令 则原欧拉方程（）化成从而 （）综合式（）和（5.1.17）得欧拉方程（5.1.15）通解 （）将和代入（）得（）由于给定方程（）是线性齐次方程，满足叠加原理，故定解问题的解可表示为 （）其中，待定系数,，由边界条

6、件确定。由处的有界性条件知 （）（）再由处的边界条件知 （）上式可看成是关于完备正交函数系的广义傅立叶展开式从而对于温度场分布的狄里克莱外问题 （5.1.24a） (b)其求解过程与狄里克莱内问题类似。首先补充自然边界条件1） 同期性条件(5.1.25a)(b)2） 有界性条件，对于外问题，除边界外，另一边界是。一般应根据具体物理问题，对物理量在处提出适当的边界条件，对于恒定温度分布问题。由于温度不可能无限升高，故可提有界性条件如下， （）其次求解特征值问题 （）得特征值和特征函数再次，求解欧拉方程 （）得然后，利用线性叠加原理得到定解问题的级数形式解最后，利用边界条件确定待定系数,，。由处的

7、边界条件（）知由处的边界条件知 对于狄里克莱问题，不论是内问题还是外问题，在有界性条件，即或限制下，定解问题的解总是存在的，且是唯一的。但对于牛曼问题，解不一定存在，即使存在也不唯一。下面不加证明地给出牛曼问题的存在唯一性定理定理 对于牛曼问题，设则有1） 解存在的充分必要条件是2） 解在相差一个任意常数条件下可认为是唯一的。对于稳态温度场问题，解存在的充分必要条件表示：只有当从边界流入的净热量为零时，所研究的区域内才能存在稳定的温度场。这个条件是显然的，试想如果有热量不断从边界流入或流出，则所研究的区域内的温度场不可能是恒定的。此外，当从边界流入的净热量为零时，温度场演化终了的温度还与演化初

8、始条件有关，因而温度场可以相差一个任意常熟。5.2 柱坐标系下的亥姆霍斯方程在圆柱坐标系下 ()从而亥姆霍斯方程 ()可表示成 ()下面讨论亥姆霍斯方程的求解，为此，设 ()代入（）得 ()由于所求解为非平凡解，故可在方程两边同除以得(5.2.6)等式左边第1项和第2项为关于和的函数，第3项为关于的函数，它们之和要等于常数，第三项必为常数。因此，可设 ()即 ()将（）代入（5.2.6）得（）两边同乘以得（）上式第一项与第三项之和为关于的函数，第二项为关于的函数，它们之和为常数，第二项必为常数。从而可设（）即（）将（）代入（5.2.10）得即（）综合上述分离变量的结果得到三个分别关于，和的常微

9、分方程（5.2.14a）（b）（5.2.14c）（5.2.14a）和（5.2.14b）是我们比较熟悉的亥姆霍斯方程。方程（5.2.14c）称为m阶贝塞尔（Bessel）方程，它是一个二阶变系数常微分方程。作变量代换（5.2.15a）（b）则贝塞尔方程可改写成如下几种常用形式（5.2.16a）（b）（5.2.16c）（d）类似上述关于亥姆霍斯方程的变量分离过程，我们可以对拉普拉斯方程（）进行变量分离，即设，分离变量后得到（5.2.18a）（b）（5.2.18c）注意到在本题中（5.2.14c）中的（因为对于拉普拉斯方程）。称（5.2.18c）为虚变量的贝塞尔方程。作变量代换（5.2.19a）（b

10、）则虚变量的贝塞尔方程可改写成（）5.3贝塞尔方程的求解考虑如下形式的贝塞尔方程（）方程（）是变系数的二阶常微分方程，一般应考虑用级数解法。由于分别是的一阶极点，是的二阶极点。故解在的邻域内应为关于的罗朗级数，即（）将（）代入（5.3.1）得化简后得（）比较上式两边对应项的系数1），的系数为因为，故只能（）从而可解的（）称（）为指标方程。一般地，由（5.3.2）可得到两个线性无关解和从而得方程的通解（）一般地，对2阶变系数微分方程，若从指标方程可得2个解，就称奇点是方程的正则奇点。对于贝塞尔方程，显见是正则奇点。2)，的系数为（）因为，所以，只能3），的系数为由此，可得系数的递推关系式（）当为

11、奇数时，由于，可得当为偶数时，所有的都依赖于。为使的表达式尽量简单，通常取（）当分别取和时，得到方程的两个解（）（）称为阶第一类贝塞尔函数；为阶的第一类贝塞尔函数。当（整数）时，和是线性无关的。因为如果和线性相关，则对任一点x，它们应该有相似的渐进性质，但当时，从级数的第一项看因此，和不是线性相关的。当（整数）时，（）（）可见和是线性相关的。上式令是考虑到，当时，（）由于当（整数）时，和是线性无关的，所以贝塞尔方程的通解可一般表示为（）但当（整数）时，由于和是线性相关的，我们还必须寻找一个与线性无关的特解。可以证明，按如下形式定义的函数（）不论是否为整数，都是与线性无关的，且是满足贝塞尔方程的

12、特解。通常称这个特解为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数。利用第二类贝塞尔函数可以将贝塞方程的通解表示为 ()这里v可以是整数，也可以不是整数。如果将第类和第类贝塞尔函数按下列进行组合，即 (5.3.18a) (b)则可得贝塞方程的复数形式特解，通常称为第类贝塞尔函数。又称汉克尔（Hamkel）函数。由于汉克尔函数和第类以及第类贝塞尔函数都是线性无关的，和也是线性无关的，所以贝塞方程的通解可以写成 (5.3.19a)或 (b) (5.3.19c)第类贝塞尔函数具有明确的物理意义，这可以从远场渐进表达式进行分析(5.3.20a) (b)两边同乘以时间简谐因子得， (5.3.21a) (b)可见表示由

13、线源向外以速度扩散传播的行波；而表示以速度向中心会聚的行波。向外传播的行波振幅以的速度衰减；而向中心会聚的行波振幅以的速度增加。而第类贝塞尔函数与时间简谐因子组合后表示具有固定“波节”的驻波。对于圆柱坐标系下的贝塞方程 ()考虑到() 是通过变量代换由(5.2.14c2)的通解可以表示为 () 对于虚变量的贝塞方程 ()可作类似讨论并可得两个实数解 () ()通常称为v阶的第类虚变量贝塞尔函数。虚变量的贝塞尔函数与贝塞尔函数具有类似的性质，即当（整数）时， ()所以二者是线性相关的，为此需要一个与线性无关的特解。可以证明，按如下形式定义的函数 ()与线性无关，并且满足虚变量的贝塞尔方程，从而虚

14、变量贝塞尔方程的通解（实数解）可以表示为 ()对于圆柱坐标系下的虚变量贝塞方程 ()其通解（实数解）可以表示为 ()5.4贝塞尔函数的性质在上节关于贝塞尔函数的级数表达式中出现了函数，这里对函数作一个简单的介绍。伽玛函数定义为考虑到所以伽玛函数满足递推关系式令得令得此外，伽玛函数与三角函数之间存在下列关系式或者令得从贝塞尔函数的级数表达式不难得到这说明偶数阶的贝塞尔函数是偶函数；奇数阶的贝塞尔函数是奇函数。贝塞尔函数的许多性质都可以从它的级数表达式推出，但由于贝塞尔函数不是初等函数，许多性质的推导过程是非常繁琐的。这里我们重点在于总结贝塞尔函数各方面的性质，大多数情况下略去证明过程。贝塞尔函数

15、的零点贝塞尔函数在上的变化如图和5.4.2所示。m=3m=2m=1m=01.0图n=1n=0图使的值称为的零点。从图和图可见，在内有无数个零点。不妨记的第i个零点为。关于的零点及其分布的以下结论：1) 对任意给定的实数，有无穷多个零点；且当时，的零点都是实数。2) 当时，；当时，。3) 除外，的零点都是1阶零点；当时，是的阶零点。4) 若，则；即零点是以点为中心关于轴对称分布的。5) 在的两个正零点之间，分别有且只有1个和的零点；即的零点与或的零点是相互间插的。6) 对各阶贝塞尔函数的第1零点，存在关系式：至于贝塞尔函数零点的具体数值可查有关特殊函数的函数表。但当时，可利用渐进公式求出零点的近

16、似值。 当时故零点由下式决定即 （k为整数）从而，且有。贝塞尔函数的渐进性质的渐进性质：1) 在点处的渐进性质2) 在处的渐进性质上式表明，当时，是振幅按速度衰减的近似周期振荡函数。的渐进性质1) 在点处的渐进性质2) 在时的渐进性质可见函数在时，也是衰减振荡函数。和的渐进性质1) 在的渐进性质；2) 在时的渐进性质对虚变量的贝塞尔函数有1) 当时的渐进性质2) 在时的渐进性质 图 图贝塞尔函数的递推关系式不同阶的贝赛尔函数之间存在相互联系，这种联系表现为存在于它们之间的递推关系。1）的递推关系式（为任意实数） （1） （2）递推关系式（1）和（2）是基本的，从这两式还可推得关系式 （3） （

17、4） （5） （6）特殊情况： a）时。 从而 b) 时。 从而2）的递推关系式特殊情况 a）时。 b) 时。例1 用的递推关系式，证明与的零点是相互间插的。证： 设 由罗尔定理知，使即又 ，所以 证毕由于第类贝赛尔函数是有第类和第类贝赛尔函数组合得到的，故第类贝赛尔函数和也满足与第类和第类函数完全相同的递推关系式。通常称满足递推关系（1）和（2）式或者等价地（3）和（4）的函数为柱函数。并可一般地用表示。柱函数可以是，和之一，也可以是由它们组合得到的任何函数，例如事实上，由于彼此线性无关，其中任意两个的线性组合都是柱函数。可以证明，柱函数均满足贝赛尔方程。证明：由递推关系式 (1) (2)消

18、去得： （3）对（3）式两边关于求导得 （4）再由（1）和（2）消去得 （5）用代替得 （6）将（3）代入（6）得 （7）再将（7）代入（4）得 证毕5.4.4贝赛尔函数的正交性设为的正零点，则当时，贝赛尔函数系在区间上关于权函数正交即称函数按展开的级数为函数的傅立叶贝赛尔级数。其中展开系数5.4.5半奇数阶的贝赛尔函数半奇数阶的贝塞尔方程是在球坐标系下对波动方程采用变量分离法时导出的。其解为半奇数阶的贝塞尔函数。半奇数阶的贝塞尔函数的一个重要特点是它可以用初等函数表达。（证明略）。更一般的，由递推关系式（5）和（6）可以得5.4.6 整数阶的贝赛尔函数当（整数）时有 对于整数阶的贝塞尔函数还

19、有重要公式 （1）通常称上式左端为整数阶的贝塞尔函数的生成函数。从式（1）可以推出从而可作如下结论从（1）还可以推出下列两个重要的形式1）平面波的驻波展开式（2）其中，。2）加法公式 （3）令代入（1）得=利用公式 (令并按n集项)可得：此即式（3）。进一步还有加法公式其中，是平面上任意两点和之间的距离，和分别表示由原点到和的距离，是和之间的夹角。如图所示。图加法公式是研究圆柱体多重散射问题的基本公式。在多重散射问题研究中具有十分重要的地位。在（1）式中令，并利用得 =。引入记号：就得到展开式（2）。展开式（2）两边同乘以时间简谐因子，并令得。上式左边表示沿与x轴正向成角的方向传播的平面波；右

20、边表示不同阶数的柱面驻波。该式表明平面波可以用不同阶的驻波叠加得到。它在研究圆柱体对声波，弹性波，电磁波等散射问题时具有重要的地位。 对于整数阶的贝塞尔函数，还有如下积分表达式泊松表达式贝塞尔表达式关于的不等式有5.5 贝赛尔方程的特征值问题贝赛尔方程的特征值问题可一般地表述为 （5.5.1a） （b） （5.5.1c）贝赛尔方程（5.5.1a）的通解为考虑到当时，所以要满足有界性条件（b），就必须由（5.5.1c）表示的边界条件可以是三类边界条件中的任意一种，下面分别讨论。（1） 第类边界条件，即，此时，有考虑到，故只能设是函数的根，即的零点。由贝赛尔函数的性质知，有无穷多个。一般可通过查阅

21、专门的贝赛尔函数数表确定各阶零点。当没有数表可查时，也可通过下面的公式对贝赛尔函数的零点作近似计算。其中，知道贝赛尔函数的零点后，即可求得特征值和特征函数（2）第类边界条件，即，此时有考虑到（非平凡解要求）和，从而只能有方程的零点，一般不能从关于贝赛尔函数的数表中获得。因为大多数贝赛尔函数的数表只提供的零点。当时，考虑到故的零点可由的零点获得。当时，可按下面的公式对的零点作近似计算。其中从而在第类边界条件下，特征值及相应的特征函数为注意，当时，是零点，且，故是特征值。当时，故不是问题的特征值。（3）第类边界条件。 此时，和均不为0，边界条件成为即从上式求根一般需采用数值方法。根在几何上看是曲线

22、与的交点，这样的交点在上有无穷多个。设这些交点为，则特征值和特征函数可表示为考虑：当所研究的区域由改成环域或外域时，相应的特征值问题应如何求解？在上述三类边界条件下求得的特征函数构成平方可积函数空间的完备正交函数基。因此，对的任一函数均可按进行级数展开。在求展开系数时，需要计算。下面讨论其计算方法由于特征函数满足方程（5.5.1a），故有两边同乘，并在区间上积分得所以（1） 对于第类边界条件，由于，从而，故（2） 对于第类边界条件由于，从而，故（3） 对第类边界条件，但即从而5.6 综合应用例1求半径为R的无限长圆柱的轴对称自由振动问题。 （1a） （1b） （1c） （1d） （1e）解：设

23、质点的振动位移为。在轴对称振动的情况下，质点位移与坐标和无关。用分离变量法求解，设 （2）将（2）代入（1a），并注意到在圆柱坐标系下，有得两边同除以，并引入分离常数后得 （3） （4）方程（4）是阶的贝塞尔方程。其通解为 （5）由有界条件（1b）知， (6)由边界条件（1c）（第类边界条件）得，贝塞尔方程的特征值和特征函数 （7） （8）其中，是的零点。即满足 （9）方程（3）的解为 （10）根据线性叠加原理，原定解问题（1）的通解可表示为 （11）其中系数和由初始条件确定。由初始条件（1d）得从而再由初始条件（1e）得从而代入（11）得 （12）例2. 求无限长圆柱体（半径为a）体内的温度

24、演化场问题。 （1a） （1b） （1c） （1d）解：由于初始温度分布为常数，且热传导系数是各向同性的，因而温度场分布是轴对称的。可设.代入（1a）得即 （2） （3）式（3）为是阶的贝塞尔方程。其通解为 （4）由有界条件（1b）知， (5)再由边界条件（1c）（第类边界条件）得，贝塞尔方程的特征值和特征函数 （6） （7）其中，是的零点.（其中）将（6）代入（2）得 （8）根据线性叠加原理，原定解问题的解可表示为 （9）其中待定系数由初始条件确定。由初始条件（1d）得 （10）从而 （11）代入（9）得例3. 半径为，高为的圆柱体侧面绝热，上下底面温度分布保持为和，求圆柱体内稳定的温度分布

25、。 解：根据题意，定解问题可表示为 （1a） (1b) (1c) (1d)由于圆柱体是轴对称的，上下底面温度分布和与无关，故在本题中温度分布具有轴对称特点。因此，可设代入（1a）得 进一步引入分离常数得两个常微分方程1) 或者2）解法: 方程（4b）是零阶贝赛尔方程，其通解为 (6)由于在处温度不能为，即存在有界性条件 （7）从而（6）中系数即 （8）再由边界条件（1b）(第II类边界)得 （9） （10）其中是或的零点。方程（4a）的通解为 （11）根据线性叠加原理，定解问题的解可表示为 （12）其中待定系数，和，由上下底面的边界条件确定，即 （13a） (13b)利用的正交性，可得进一步可解得：，。解法方程（5b）是虚变量的贝赛尔方程，其通解为注意到函数的渐进性质考虑到有界性条件， 只能齐次边界条件（1b）要求但由的性质知，上式无解。因此，当圆柱侧面具有齐次边界条件时，应避免出现虚变量的贝赛尔方程。例4. 求解下列圆柱体的稳态温度场问题 (1a) (1b) (1c) （1d）解， 由于在圆柱体侧面的边界温度是的函数，故本题不是轴对称问题。一般可设 (2)代入方程（1a），注意到在柱坐标系下 (3)经分离变量后得到下列三个微分方程 (4a) （4b） (4c) 或者 (5a) (5b) (5c)考虑到本题中，上下底面是齐次边界，圆柱侧面是非齐次边界。方程（5c）与非齐次