空间向量的直角坐标运算

1、空间向量的直角坐标运算一、目标与策略明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！学习目标：l 掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。l 能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。l 理解直线的方向向量与平面的法向量，会求平面的法向量。重点难点：l 重点：掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直。l 难点：向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用。学习策略：l 空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积之和

2、。l 对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明。二、学习与应用“凡事预则立，不预则废”。科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。知识回顾复习学习新知识之前，看看你的知识贮备过关了吗？详细内容请参看网校资源ID：#tbjx7#281331空间向量的基本定理（一）共线向量定理：空间任意两个向量、()，/的充要条件是 （二）共面向量定理（平面向量的基本定理）：两个向量、不共线，向量与向量、共面的充要条件是 *推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：对空间任意一点O，有 （三）空

3、间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在 的有序实数组，使 。若三个向量、不共面，我们把叫做空间的一个 ，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个 。知识要点预习和课堂学习认真阅读、理解教材，尝试把下列知识要点内容补充完整，带着自己预习的疑惑认真听课学习。课堂笔记或者其它补充填在右栏。预习和课堂学习更多知识点解析请学习网校资源ID: #tbjx6#281331知识点一：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示（一）单位正交基底若空间的一个基底的三个基向量 ，且长为 ，这个基底叫单位正交基底，常用表示。（二）空间直角坐标系在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点

4、，分别以的方向为正方向建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫坐标轴我们称建立了一个空间直角坐标系，点叫原点，向量都叫坐标向量。通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面。xyzO（三）空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，以为单位正交基底，对空间任一点，对应向量，存在唯一的有序实数组，使，则在空间直角坐标系中，点的坐标为 ，记作 ，其中叫点的 坐标，叫点的 坐标，叫点的 坐标向量 。零向量记作 注意：空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位正交基底 ()按右手系排列)建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性，原点O的选择要便于解决问题

5、，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。知识点二：空间向量的直角坐标运算（一）空间两点的距离公式若，则（1） 即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于 。（2） ，或 。注意：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。（二）向量加减法、数乘的坐标运算若，则（1） ；（2） ；（3） ；（三）向量数量积的坐标运算若，则 ；即：空间两个向量的数量积等于 。（四）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则（1） ； （2） 注意：（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是 （2）（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角

6、度与的关系（相等，互余，互补）。（五）空间向量平行和垂直的条件若，则（1） （2） 规定： 与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直。知识点三：空间向量的简单应用（一）直线的方向向量与直线的向量方程（1）直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个 ；与平行的任意非零向量也是直线的 。（2）直线的向量方程：A、B在直线上，P为直线上任意点，则 ；（二）平面的法向量：如果直线垂直于平面,那么直线的方向向量就叫做平面的 。设平面的法向量为，A、P为平面内任意两点，则 ；经典例题自主学习认真分析、解答下列例题，尝试总结提升各类型题目的规律和技巧，然后完成举一反三。课堂笔记

7、或者其它补充填在右栏。更多精彩内容请学习网校资源ID: #jdlt0#281331类型一：空间向量的直角坐标运算例1已知=(2,1,2)，=(0,1,4)，求+，3+2，·。解： 总结升华： 举一反三：【变式1】已知向量=(3,5,-1)，=(2,2,3)，=(4,-1,-3)，则下列向量的坐标是：（1）= ；（2） ；（3） ；（4） _。【变式2】已知=(1,0,1)，=(1,2,2)，=(2,3,1)，那么向量等于（ ）A(0,1,2)B(4,5,5)C(4,8,3)D(2,5,4)例2已知，（1）求,；（2）求；（3）若，求。解：举一反三：【变式1】已知向量=( 4,2,4)

8、，=( 6,3,2)，求：（1）·；（2）|，|；（3）( 2+3)·( 2)。【变式2】，（1）求，；（2）求；（3）若，求。例3已知空间三点A( 2,0,2），B( 1,1,2)，C( 3,0,4)。设（1）求（2）若向量与互相垂直，求k的值。解：总结升华： 举一反三：【变式1】已知向量，且与互相垂直，则k值是（ ）A1BCD【变式2】已知，（1）若，求实数k的值；（2）若，求实数k的值；（3）若取得最小值，求实数k的值。解：【变式3】已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B( 2,5,1)，C( 3,7,)，且，则的值为（ ）A28B28C14D14例4已知

9、ABC的顶点A(1,1,1)，B(2,2,2)，C(3,2,4)，求ABC的面积。解：总结升华： 举一反三：【变式1】已知ABC中，A(2,-5,3)，求其余顶点、向量的坐标及A的大小。解：【变式2】已知空间三点A( 0,2,3)，B( 2,1,6)C( 1,1,5)。（1）求以，为边的平行四边形的面积；（2）若，且分别与，垂直，求向量的坐标。解：【变式3】已知点A( 1,2,11)，B( 4,2,3)，C( 6,1,4)，则ABC的形状是（ ）A等腰三角形 B等边三角形 C直角三角形 D等腰直角三角形解：例5已知ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出

10、A、B、C、D、A1、B1、C1、D1各点的坐标，并写出、及的坐标表示。解：举一反三：【变式1】已知ABCDA1B1C1D1是棱长为2的正方体，E、F分别为BB1和DC的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。【变式2】在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为（1,2,1)，点B的坐标为( 1,3,4)，则（ ）ABCD类型二：空间向量基本定理的应用例6已知，求证：A、B、C三点共线.证明：总结升华： 【变式】若空间三点A( 1,5,2)，B( 2,4,1)，C( p,3,q+2)共线，则p=_，q=_。解：例7已知，证明：向量共面。证明：总结升华： 举一反三【变式】

11、已知，若三向量共面，则实数等于（ ）A B C D例8求证A( 3,0,5)，B( 2,3,0)，C( 0,5,0)，D( 1,2,5)四点共面.证明：举一反三：【变式】证明：四点A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17) 在同一平面内.证明：类型三：求平面的法向量例9已知点,，求平面的一个法向量。解：总结升华： 举一反三：【变式1】已知：不共线三点，求平面的一个法向量.【变式2】如图，正三棱柱的所有棱长都为，、分别为、的中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系求平面的法向量。三、总结与测评要想学习成绩好，总结测评少不了！课后复习是学习不可或

12、缺的环节，它可以帮助我们巩固学习效果，弥补知识缺漏，提高学习能力。总结规律和方法强化所学相关内容请参看网校资源ID：#tbjx25#281331请重点学习网校资源ID：# #（一）如何用坐标表示空间向量？（二）空间任一点P的坐标确定的方法（三）如何求一个向量在另一个向量上的投影？（四）怎样用向量的坐标运算证明平行问题？（五）平面的法向量的求法：成果测评现在来检测一下学习的成果吧！请到网校测评系统和模拟考试系统进行相关知识点的测试。知识点：空间向量的直角坐标运算测评系统分数： 模拟考试系统分数： 如果你的分数在80分以下，请进入网校资源ID：#cgcp0#281331 做基础达标部分#cgcp1#281331的练习，如果你的分数在80分以上，你可以进行能力提升题目#cgcp2#281331的测试。自我反馈学完本节知识，你有哪些新收获？总结本节的有关习题，将其中的好题及错题分类整理。如有问题，请到北京四中网校的“名师答疑”或“互帮互学”交流。我的收获习题整理题目或题目出处所属类型或知识点分析及注意问题好题错题注：本表格为建议样式，请同学们单独建立错题本，或者使用四中网校错题本进行记录。知识导学：空间向量的直角坐标运算（#281331）视听课堂：空间向量的坐标运算（#25558） 若想知道北京四中的同学们在学什么，请去“四中同步