第11章一阶动态电路分析

1、第11章 一阶动态电路分析教学提示：在前面的章节里，讨论了含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称稳态。实际上，这样的响应只是电路全部响应中的一部分，而不是响应的全部。当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化，这个变化过程是暂时的，称为瞬态或过渡过程。产生过渡过程的原因是由于电路中存在电感或电容动态元件，由于动态元件的VCR是对时间变量t的微分或积分关系，因此，对动态电路分析需要用微分方程来描述，即在时间t中分析动态电路，故也称为时域分析法。本章就是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间的函数关系，主要是分

2、析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一阶动态电路分析。主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路的三要素公式。教学要求：在本章中应充分理解：零输入响应，零状态响应，暂态响应和稳态响应、时间常数、固有频率的含义；熟练地掌握他们的计算方法。掌握换路的初始值计算。重点能熟练运用三要素法求得输入为直流时，一阶电路中任意变量的响应。会计算阶跃响应。11.1 换路定律和初始条件的计算本节讲述的是当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，各元件上的电量（电压和电流）初始值的确定问题。主要讲述电感电流和电容电压在换路时不能发生跃变，即换路定律。换路动态电路的结构或元件参数发生变化时

3、，电路将改变原来的稳定状态。含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（DC steady state）。电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等等，统称为换路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。一般情况下，换路的瞬间记为计时起点，即该时刻的，并把换路前的最后一瞬间记作、换路后的最初一瞬间记作，与、与之间的时间间隔则都趋近于零。换路定律由电容元件的电压电流关系 可以得到+若电容元件在时的电压为

4、，则时的电压为+如果在换路前后，电容电流的值是有限的，则有0所以 由电感元件的电压电流关系 可以得到+若电感元件在时的电流为，则时的电流为+如果在换路前后，电感电压的值是有限的，则有0所以： 总之：在换路瞬间，电容元件的电流值为有限时，其电压不能跃变；电感元件电压值为有限时，其电流不能跃变。这一结论称为换路定律。其表达式为：在实际电路中，若电容电压发生跃变，根据，功率为无限大；同理，若电感电流发生跃变，根据，功率也为无限大。从以上两个等式可以看到，电容电压和电感电流不可以发生跃变。除了电容电压及与之相关联的电荷量（q=Cu）、电感电流及与之相关联的磁链（=Li）不能发生跃变外，电路中其余的各个

5、电量均可发生跃变，例如：电容电流、电感电压、电阻的电压和电流、电流源的电压、电压源的电流等。初始值及其计算对于一阶电路，所谓的初始值（initial value ），就是在电路换路后的第一个瞬间，即时的电路中各电量的数值，初始值组成求解动态电路的初始条件。由于在分析动态电路的换路过程中，通常都要用到微分方程来求解，而微分方程的解中含有一个待定系数C，需要某一个时刻的给定值来确定，通常选择初始值来求待定系数C。电路中电压和电流的初始值分为两类：对于电容电压和电感电流的初始值，由于是在时刻求出、之后，根据换路定律、来确定，因此称为独立的初始条件。另外，根据独立电源的特点，电压源的、电流源的 也是独

6、立的初始条件。另一类初始值是可以跃变的量，如电容电流、电感电压、电阻电流及电阻电压，即、及等统称为非独立初始条件，它们要根据独立初始条件及电路的基本定律来求解。简单电路的初始条件的求解，可以直接在原电路中进行，而对于含有多个动态元件电路初始条件的求解，若在原电路中求解则比较麻烦。通常的做法是，在求得、之后，将电路中的电容元件代以电压为的电压源、电感元件代以电流为的电流源，这样替代后，称为电路在的等效电路，它是一个纯电阻电路，可以按照线性电阻电路的解题方法进行求解。例11.1在图11.1(a)所示的电路中，已知时已稳定。在t=0时刻开关S合上，假设开关合上前电容电压为零。试求换路后各元件电流、电

7、压的初始值。解 根据题意，开关合上前电容电压为零，即，根据换路定律，作的等效电路图，如图11.1（b）所示图11.1 例11.1图例11.2在图11.2(a)所示的电路中，已知，电路原已稳定。在时合上开关S，试求、图11.2 例11.2图解开关合上前，电路原已稳定，电感相当于短路、电容相当于开路，t=0-等效电路图如图11.2（b），可得根据换路定律可得作的等效电路图，如图11.2（c）所示，将电感和电容分别看作电流源和电压源由得思考与练习11.1-1 在电容电流为有限值时，电容电压是不能跃变的。那么，当电容电压为有限值时，电容电流是否也不能跃变？为什么？11.1-2 当电感电压为有限值时，电

8、感电流是不能跃变的。那么，当电感电流为有限值时，电感电压是否也不能跃变？为什么？11.1-3 题11.1-3图所示电路中，直流电压源电压，电路原先已达稳定，在时打开开关S，试求电容电压及电阻上电流的初始值。题11.1-3图 题11.1-4图11.1-4 题11.1-4图所示电路中，已知、，电路原已稳定。在时合上开关S，试求电感电流及电阻电压的初始值。11.1-5题11.1-5图所示电路中，已知、。电路原已稳定。在时合上开关S，试求各元件的电压、电流的初始值。题11.1-5图11.2 一阶动态电路的零输入响应本节讲述的是在没有外加激励的情况下，一阶RC和RL电路在初始储能的作用下所产生的响应，对

9、RC电路来讲相当于电容释放电场能，对RL电路来讲相当于电感释放磁场能。零输入响应含有一个动态元件的电路称为一阶电路（first-order circuit），如果在换路瞬间动态元件原来就储存有能量，根据换路定律可知，即使电路中并无外施电源存在，换路后电路中仍将有电流、电压。这是因为动态元件的原始储能要通过电路中的电阻释放能量。动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入响应(zero-input response)。RC电路的零输入响应如图11.3所示电路，设开关S合上之前电容C已充电到电压为。根据换路定律，开关合上之后，列换路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为关联一致

10、参考方向，由KVL得把电阻、电容元件VCR关系 代入上式得:图11.3 RC电路的零输入响应这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量等式两边积分式中待定系数A可由电路的初始条件确定，令，得电容的零输入响应电压为：(11.2)根据，可得：(11.3)(11.4)式中的负号说明的方向与所选参考方向相反。-U0/ R图uC、iu ccU9OOOOOOOOt0图11.4RC电路的零输入响应的uC和i关系将的变化曲线用图11.4表示，可以看出均随时间逐渐减小、最终衰减为零，说明RC电路的零输入响应实质上就是已充电的电容对电阻放电电路的响应。刚开始放电时电流最大，为，电容电压在衰减的过程中，其储存的电

11、场能通过电阻转换为热能而消耗完毕。令=RC，其中R为由电容两端看过去的戴维南等效电阻，由下式可知的单位为秒，因此将称为R、C串联电路的时间常数，时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入后，电容电压和电流可分别表示为（11.5） (11.6)的大小反映了放电持续时间的长短。开始放电时的，经过一个时间常数的时间后，衰减为因此时间常数可以理解为一个按照指数规律衰减的量，衰减到它初始值的时所需的时间。同样还可以计算出经过时的，如表11.1所示。表11.10123450从表11.1及式（11.5）还可以看出，从理论上来讲， t=时，才衰减为零，即放电要经过无限长时间才能结束。实际上，经过5

12、的时间，已衰减为0.007U0 ，即为初始值的0.7% ，因此工程实际上认为经过（35），放电过程即已结束。所以，电路的时间常数决定了放电的持续时间，时间常数越大，放电时间越长。图11.5（b）作出了不同值下的 曲线，表明越大，放电持续时间越长。 图11.5 时间常数的意义 RC电路的时间常数与电路的R和C都成正比。当电容的初始储能一定时，电阻越大，电路放电电流越小，放电所需时间越长，所以与R成正比。同样的情况下，C越大，初始储能越多，放电时间越长，因此又与C成正比。在实际电路中，适当选择R或C，就可控制放电的快慢。例11.3如图11.6（a）所示电路原已处于稳态。在时刻开关S由位置1接至位置

13、2，电容C通过电阻放电。已知。试求：（1）换路后的；（2）放电到0.05S时的电容电压。图11.6 例11.3图 解换路前RC电路处于稳态，根据电容在直流电路中相当于开路的特点可知，电容上的电压与电源电压相同，如图11.6（b）所示根据换路定律，电容电压不能跃变，即换路之后的电路如图11.6（c）,电路的时间常数为S根据式（11.5）和式（11.6）可知 （t>0） （t>0）放电到0.05S时,电容的电压为RL电路的零输入响应如图11.7（a）所示电路中开关S原来闭合，电路已处于稳定状态，电感中流过的电流为。当t=0时，开关S断开，如图11.7（b）所示。这时电感L将通过电阻R释

14、放换路前储存的能量，在电路中将产生电流和电压。该电路中产生的响应是由电感L的初始储能产生的，因此也是零输入响应。图11.7 RL电路的零输入响应取各元件电流和电压为关联一致参考方向，根据KVL，列写换路后的电路方程，得把电感、电阻元件的VCR关系代入上式，得这是一个一阶常系数线性齐次微分方程，分离变量两边同时积分，得式中待定系数A可由电路的初始条件确定，令，得电感的零输入响应电流为： (11.7)根据，可得：(11.8)(11.9)式中的负号说明的方向与所选参考方向相反。 将的变化曲线用图11.8表示，可以看出均随时间逐渐减小、最终衰减为零。说明RL电路的零输入响应实质上就是具有磁场储能的电感

15、对电阻释放储能的响应。刚开始释放储能时电阻（电感）电压最大，其大小为，电感电流在衰减的过程中，其储存磁场能通过电阻转换为热能 图11.8 RL电路的零输入响应波形 而消耗完毕。令=，其中R为由电感两端看过去的戴维南等效电阻，可以导出的单位为秒，因此将称为R、L串联电路的时间常数。时间常数只决定于电路的参数，与电路的初始情况无关。引入后，电感电流和电感电压可分别表示为(11.10)(11.11)RL电路的时间常数与电路的L成正比、R成反比。电感的初始储能为，同样的情况下，L越大，初始储能越多，放电时间越长，因此与L成正比。同样及L情况下，电阻越大，消耗能量越快，所以与R成反比。例11.4 图11

16、.9所示为某汽轮发电机的励磁回路。已知励磁绕阻的电阻，电感，直流电压源电压。电压表的量程为，内阻为，电路原已稳定。在t=0时，开关S断开，试求：（1）换路后电路的时间常数；（2）；（3）开关断开瞬间，电压表处的电压。解（1）电路的时间常数为（2）开关断开前，电路原已稳定，电感相当于短路，此时电感上的电流为图11.9例11.4图 根据换路定律，可得代入（11.10）、（11.11）可得（3）开关断开瞬间，电压表处的电压为由此可见，开关刚断开时电压表要承受很高的电压，超过电压表额定值很多倍，可能会损坏电压表。电压表处之所以出现这么高的电压，是由于电感电流不能跃变，电压表内电阻又远大于励磁绕阻的电阻

17、，所以开关打开瞬间，电压表的电压将远大于直流电源的电压。另外，励磁绕阻的绝缘也将被击穿。所以，在切断大电感支路时，必须考虑磁场能量的释放，通常将电感和一个小电阻并联，这个小电阻又称为续流电阻。续流电阻又不宜过小，否则会造成增大，过渡过程持续时间较长。思考与练习11.2-1 一组的电容器从高压电路断开，断开时电容器的电压。断开后，电容器通过其本身的漏电阻放电，假设电容器的漏电阻为。试问断开后经过多长时间，电容器的电压衰减为。11.2-2 一个的电容经过某电阻放电，经过10s时电容的电荷量，试求该电阻阻值。11.2-3 题11.2-3图所示电路，已知、，电路原已稳定。在t=0时打开开关S，试求换路

18、后的。11.2-4 题11.2-4图所示电路，已知，电路原已稳定。在t=0时打开开关S，试求换路后的电压。题11.2-3图 题11.2-4图11.3 一阶动态电路的零状态响应 本节讲述的是在有外加激励并且在电容和电感的初始储能为零的情况下，一阶RC和RL电路的响应过程，即向电容和电感充电的过程。零状态响应动态电路中所有动态元件的均为零的情况，称零状态。零状态的动态电路在外施激励作用下的响应，称为零状态响应(zero-state response)。RC电路的零状态响应 如图11.10所示电路，设开关S合上之前电容C电压为。根据换路定律，开关合上之后，列换路之后的电路方程，取各元件的电压、电流为

19、关联参考方向，由KVL得把电阻、电容元件VCR图11.10 RC电路的零状态响应 代入上式得这是一个关于的一阶常系数线性非齐次微分方程，此方程的解由下式解得，其中为方程的一个特解，与外加激励有关，称为强制分量，由方程可以看出，为该方程的一个特解，因此取。为与该方程对应的齐次方程所求得的通解相同，与外加激励无关，因此又称为自由分量。由前一节所学内容可知其中的求法与零输入响应相同，为待定系数，由电路的初始条件求得 代入初始条件得最后解得电容上的电压为(11.12)由、可得(11.13)(11.14)的波形如图11.11所示图11.11 RC电路的零状态响应由式11.1211.14及图11

20、.11可知，在电容充电过程中，电容电压由零按照指数规律逐渐增加，最终趋近于外加电源电压US。电路中的电流则开始充电时最大，为US/R，然后逐渐减小，最终减小到零，电阻上的电压则与变化规律相反。电容充电结束后，电路达到新的稳态，相当于直流电路中的电容元件，即，电容储存的磁场能为。与RC电路的零输入响应相似，从理论上来讲，当 t为时，电容充电才能结束。但实际上，当t=5时， 电容已充电至0.997U0，可以认为充电已经完成。例11.5 如图11.10所示电路中，已知，电容的初始电压为零。当t=0时合上开关S，试求：（1）电路的时间常数；（2）电容上电压和电流；（3）开关合上后时的电压和电流值。解

21、（1）电路的时间常数为（2）电容上的电压和电流分别为（3）将分别代入电容电压、电流表达式中，得例11.6 电路如图11.10所示，设，电容初始电压为零。外加电源如图11.12（a）所示。试求换路后电容上的电压和电流。图11.12 例11.6图解因为外施激励是一个矩形脉冲，t在02s时，电容相当于从零开始被充电（并未充电到10V）；t>2s时，此时外施激励为零，而电容却储存有电能，相当于RC电路的零输入响应。电路的时间常数 当时，根据RC电路的零状态响应公式得 因为当t>2s时，电容开始放电，需计算出t=2s时电容的电压，即求出当t>2s时，根据RC电路的零输入响应公式得负号说

22、明电流方向与参考方向相反,电容上电压、电流变化曲线分别见图11.12（b）、11.12（c）。 RL电路的零状态响应如图11.13所示的R、L串联电路，设外施激励为直流电压源，电感。当时合上开关S，该电路实质上就是电感从电源吸收能量转换为磁场能储存起来的响应过程。分析图11.13，各元件电流电压参考方向如图所示，换路后，由KVL得把电阻、电感元件VCR关系代入上式得：这是一个关于的一阶常系数线性非齐次微分方程，此方程的解由下式解得 图11.13 RL电路的零状态响应 其中为方程的一个特解，与外加激励有关，与RC电路零状态响应相似，也称为强制分量，由方程可以看出，为该方程的一个特解，因此取。为与

23、该方程对应的齐次方程所求得的通解相同，与外加激励无关，也称为自由分量。其中的求法与RL电路零输入响应相同，为待定系数，得代入初始条件最后解得电感上的电流为 (11.15)由、可得 (11.16)(11.17)的波形如图11.14所示。图11.14 RL电路的零状态响应波形电感电流由零按照指数规律逐渐增大，最终接近于稳定值。电感电压开始时最大，为电源电压，然后逐渐减小，最终衰减到零，电阻电压变化则与电感电压变化规律相反。电路达到新的稳态后，电感相当于短路，其储存的能量为。思考与练习11.3-1 题11.3-1图所示电路中，直流电压源电压，电路原先已达稳定，在时开关S由1接至2，试求换路后电容的电

24、压和电流。11.3-2 的RC串联电路接到的直流电压源。试求：（1）充电电流的最大值；（2）经过0.015s时电容的电压和电流。11.3-3 的RC串联电路接到的直流电压源，若接通后10s时电容的电压为32V，试求电阻R的阻值。11.3-4 题11.3-4图所示电路中，直流电压源电压，电路原先已达稳定，在时开关S合上。试求换路后电感的电流和电压。题11.3-1图 题11.3-4图11.4 一阶电路的全响应及其分解本节讲述的是在既有外加激励而且电容和电感的初始储能都不为零的情况下的一阶RC和RL电路的响应过程. 全响应初始值为非零状态的电路在独立源作用下的响应称全响应(complete resp

25、onse)。第二节和第三节介绍的零输入响应和零状态响应都是全响应的特例。1RC电路的全响应下面分析RC电路的全响应。在图11.10所示电路中，假设电容，其余条件不变，试求换路后的 由KVL定律，换路后其解仍为式中与RC电路零状态响应中的含义相同，把初始条件代如上式，得最后得到电容上电压的全响应为(11.18)电阻电压、电容电流的全响应为 (11.19) (11.20)2RL电路的全响应按照相同的方法来分析RL电路的全响应，在图11.13所示电路中，设电感，其余条件不变，试求换路后的电感上的电流为把初始条件代入，得最后得电感上的电流为 (11.21)电感上电压、电阻上电压分别为 (11.22)

26、(11.23)图11.15作出了RC电路中各 响应的变化曲线。 图11.15情况下RC电路的全响应波形 全响应的两种分解通过对RC、RL电路全响应的进一步分析可知，这两种电路的全响应都可以按照一定规律进行分解，并可推广到任意线性动态电路，下面介绍全响应的两种分解。 1.全响应分解为稳态响应与暂态响应之和全响应=稳态响应+暂态响应或 全响应=强制分量+自由分量在前述RC、RL电路的零状态及全响应的求解过程，均是利用经典法解微分方程，将结果分为两部分，即强制分量和自由分量。如果外加电源是直流量、正弦量，则强制分量是直流量和同频率的正弦量，将长期存在。而自由分量总是最终衰减为零的，只是暂时存在的。当

27、自由分量消失，电路进入新的稳态，而强制分量就是新的稳态中的响应。所以，在外加电源为直流量、正弦量的电路中，强制分量又称为稳态分量或稳态响应，自由分量又称为暂态分量或暂态响应，电路存在暂态响应的时期，称为电路的暂态，也叫作电路的过渡过程。在换路前后，电容电压或电感电流的初始值与稳态值不同（在正弦交流电路中是与稳态响应的初始值不同），电路中除了稳态响应外，还将经历暂态过程。当暂态响应消失后，电路进入新的稳态。过渡过程经历的时间理论上为无限大，在很多实际电路中，过渡过程经历的时间是很短的，一般在几秒到几十秒之间，有的在百分之几秒或千分之几秒内便结束了。所以，分析电路的稳态有着重要意义。但是，电路在时

28、间很短的过渡过程中，会出现稳态中所没有的情况，有的可以利用，有的则要严加防范（如高电压或大电流），所以分析电路的过渡过程同样有着重要意义。2.全响应分解为零输入响应和零状态响应全响应=零输入响应+零状态响应把电容的全响应 （见式11.18）稍作变化可得比较RC电路的零输入、零状态响应，可以发现，式中第一项便是时的零输入响应，第二项是时的零状态响应。在图11.16中，作出了这两种分解后的波形。图11.16 全响应的两种分解上述两种分解都是人为地为了分析方便而进行的。第一种分解，即分解为稳态响应与暂态响应之和或强制分量与自由分量之和，能较明显的反映电路的工作状态，便于分析过渡过程的特点。第二种分解

29、，即分解为零输入响应和零状态响应之和，则明显反映了响应与激励在能量方面的因果关系，并且便于分析计算。虽然分法不同，电路的真正的响应是全响应。在一阶电路中，电路最终观察到的往往是稳态分量。思考与练习11.4-1 试分别将RC电路在直流激励下的全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。11.4-2 试分别将RL电路在直流电压源激励下的全响应分解为零输入响应和零状态响应之和。11.4-3 暂态响应和零输入响应满足的方程是相同的，它们有什么不同？11.5 一阶电路的三要素法通过以上几节的分析，求解一阶电路的全响应时可以归纳出以下几点：一阶电路的全响应 等于稳态响应和暂态响应之和，且暂态响应总为，即一阶电

30、路的全响应同一个一阶电路中各响应的时间常数都是相同的。含电阻和电容的电路，时间常数；含电阻和电感的电路，时间常数，其中是换路后从C或L看过去的等效电阻。暂态分量的初始值A等于其中为全响应的初始值，为稳态响应的初始值。 综上所述，一阶电路的响应的一般表达式为(11.24)在直流电路中，与是相等的，设，式（11.24）可以写成 (11.25)上式中：稳态响应，全响应的初始值及时间常数三者统称为一阶电路全响应的三要素，这三者确定了，全响应就确定了。三要素法是按照全响应等于稳态响应与暂态响应之和的观点归纳出的，但也可用于计算零输入响应和零状态响应。表11.2为各种响应的三要素法求解表。表11.2 时域

31、分析法与三要素法求解一阶电路比较表名 称微分方程之解三要素表示法RC电路的零输入响应 （）RL电路的零输入响应 ()直流激励下RC电路的零状态响应直流激励下RL电路的零状态响应一阶RC电路的全响应例11.7 图11.17（a）所示电路，时开关S闭合，闭合前电路已处于稳态。求时的电容电压和电阻中的电流。解 （1）求全响应的初始值、开关闭合前电路已处于稳态，电容相当于开路，根据换路定律不能由求得，而需通过作出如图11.17（b）所示时的等效电路图来求，在的等效电路中，电容相当于一个的电压源，根据欧姆定律 图11.17 例11.7图（2）求稳态响应、当的等效电路如图11.17（c）所示，此时电容相当

32、于开路，其两端的电压就是电阻两端的电压，即电流的稳态值为（3）求时间常数换路后从电容C看过去的戴维南等效电阻如图11.17（d）所示，即所以时间常数 （4）根据三要素公式求和 （t>0） （t>0）和的变化曲线如图11.18所示 25 5 5 1图11.18 uc（t）和i2（t）的变化曲线例11.8 电路如图11.19（a）所示，已知直流电压源的电压，电流源，。电路原已稳定，试求换路后电感电流和电阻上的电压。图11.19 例11.8用图解 （1）求电路原已稳定，电感相当于短路，所以需在换路后最初一瞬间来求，作时的等效电路图，在图11.19（b）所示的等效电路图中，电感相当于电流源

33、（其中并联组合已变换为与的串联组合）。根据弥尔曼定律根据可知（2）求稳态响应、在稳态电路中，电感相当于短路，如图11.19（c）所示，很显然 （3）求时间常数 从L两端看过去的戴维南等效电阻如图11.19（d）所示，将电压源看成短路、电流源看成开路，相当于串联后再和并联，即=（4）根据三要素公式求和思考与练习11.5-1 试求图11.5-1所示各图所示电路的时间常数。题11。5-1图11.5-2 如题11.5-2图所示电路，已知直流电压源电压、，电路原已稳定。当t=0时合上开关，试用三要素法求换路后的。题11.5-2图题11.5-3图11.5-3 如题11.5-3图所示电路，已知直流电压源电压

34、、,电路原已稳定。当t=0时合上开关，试用三要素法求换路后的。11.5-4 如题11.5-4图所示电路，已知直流电压源电压,电路原已稳定。当t=0时打开开关，试用三要素法求换路后的。题11.5-4图11.6 一阶电路的阶跃响应本节我们将讲述当外加激励为阶跃函数加在一阶电路时所产生的响应. 阶跃函数1. 单位阶跃函数单位阶跃函数( unit step function)是一种奇异函数(如图11.20a),其定义为1V+u(t)_t=0RC即它在(0_,0+)时域内发生了单位阶跃, 单位阶跃函数可以描述图11.20b所示电路的开关动作,它表示在t=0时把电路接到单位直流电压时u(t)的值。01u(

35、t)t(a) (b)图11.20 单位阶跃函数2. 延迟的单位阶跃函数若单位阶跃函数的起始时刻不是t=0而是t=t0,即(t-t0)可看成是把(t)在时间轴上移动了t0后的结果,因此,称之为延迟的单位阶跃函数(如图11.21所示).1(t-t0)0t0t图11.21 延迟的单位阶跃函数 阶跃响应我们把电路对于单位阶跃输入的零状态响应称为电路的阶跃响应(step response)。它是由外加单位阶跃激励所引起的，由于在t0-时，外加激励恒为零，因而在t=0-时电路中储能元件所储存的能量全为零，所以阶跃响应是零状态响应。其计算方法与前述零状态响应的计算方法完全相同，不过为表示此响应仅适用于t0+

36、,可在所得结果的后面乘以单位阶跃函数(t)。例11.9电路如图11.22所示,已知：iS(t)作用于电路，uC(0)=0，求：uC(t) t0。图11.22 例11.9用图解 首先把iS(t)分成两项：即其中为阶跃输入信号，为延迟阶跃输入信号。作用时，作用时，由叠加定理可得电路响应波形如图11.23所示 图11.23实际上，只要知道了电路的单位阶跃响应，就能求出任意直流激励作用下的零状态响应，其响应为单位阶跃响应乘以该直流激励的大小。思考与练习11.6-1 试写出题11.6-1图所示波形的函数表达式。0u(t)11223t题11.6-1图11.6-2 如果单位阶跃激励引起的电容电压为，则延迟单

37、位阶跃激励引起的电容电压为，为什么？11.7一阶动态电路分析的应用本节我们从微分电路和积分电路着手,运用上面几节所讲述的一阶动态电路的分析方法来分析微分电路和积分电路中的输出电压波形和输入电压波形之间的特定(微分或积分)关系.微分电路 如图 11.24所示 的RC电路（uC(0-)=0）。输入的是矩形脉冲电压u1(如图11.25所示)，在电阻R两端输出的电压为u2，则u2= uR 。输出电压u2 的波形同电路的时间常数 和脉冲宽tp 的大小有关。当tp一定时，改变 的值，电容元件充放电的快慢就不同，而且 和tp的比值发生了改变则输出电压u2 的波形也就不同.图11.25矩形脉冲电压 图11.2

38、4 微分电路在图 11.24中，设输入矩形脉冲u1的幅度为U =6伏。当 =10 tp和 t=t1=tp时，由于>>tp ，电容充电很慢，在经过一个脉冲宽度（t=tp）时，电容器上只充到（6-5.43）=0.57V，而剩下的5.43 V加在电阻两端。这时，输出电压u2 和输入电压u1的波形很相近，电路就成为一般的阻容耦合电路(即电容相当于短路).随着 和tp的比值的减小，在电阻两端逐步形成正、负尖脉冲输出如图11.26所示。例11.10在图11.24的电路中，R=20k ，C=100pF.输入信号u1为一矩形脉冲如图11.26，其幅值U=6V,脉冲宽度tp=50. 试分析和作出输出

39、电压u2的波形，设电容元件原先未储能。解是输入电压宽度的二十五分之一，<<tp。在t=0时, u1从零突然上升到6 V，即u1=U=6V ，开始对电容进行充电。由于电容两端的电压不能跃变，在这瞬间它相当于短路（uc =0）,所以u2=U=6V。因为<<tp,对于tp而言，充电很快，uc很快增长到 U值，与此同时，u2很快衰减到零值。这样，在电阻两端就输出一个正尖脉冲（图11.26）。 u2的表达式为在t=t1 时，u1突然下降到零（这时输入端不是开路，而是短路），也由于uc不能跃变，所以在这瞬间，u2 =- uc = -U=-6V,极性与以前相反。而后电容元件经电阻很快

40、放电，u2很快衰减到零。这样就输出一个负尖脉冲。u2的表达式为图11.26 u1和u2的波形 图11.27周期性矩形脉冲输入输出的波形比较上例中u1 和u2的波形，可见在u1的上升跃变部分（从零跃变到6V），u2 =U =6V，此时正值最大；在u1 的平直部分，u2 0；在u1 的下降跃变部分（从6 V跃变到零）, u2= -U=-6V，此时负值最大。所以输出电压u2与输入电压u1近似于微分关系。这种输出尖脉冲反映了输入矩形脉冲的跃变部分，是对矩形脉冲微分的结果。因此这种电路称为微分电路(differentiating circuit)。如果输入的是周期性矩形脉冲，则输出的是周期性正负尖脉冲如

41、图11.27。总之,RC微分电路具有两个条件：（1）<< tp (一般<0.2tp）；（2）输出信号从电阻端输出。在脉冲电路中，常应用微分电路把矩形脉冲变换为尖脉冲，作为触发信号。 积分电路 微分和积分是两个矛盾的方面，同样，微分电路(differentiating circuit)×和积分电路(integrating circuit)也是矛盾的两个方面。虽然它们都是RC串联电路，但是，当条件不同时，所得的结果也就相反。如上面所述，微分电路必须具有（1）<<tp和（2）输出信号从电阻端输出两个条件。如果条件变为：（1）>>tp；（2）输出信号

42、从电容两端输出。这样，电路就转化为积分电路了，如图11.28（a）。图11.28（a）积分电路 图11.28（b）输入电压和输出电压波形图11.28（b）是积分电路的输入电压u1和输出电压u2的波形。由于>>tp，电容缓慢充电，其上的电压在整个脉冲持续时间内缓慢增长，当还未增长到趋近稳定值时，脉冲已告终止（t=t1）。以后电容经电阻缓慢放电，电容上的电压也缓慢衰减，在输出端输出一个锯齿波电压，时间常数越大，充放电越缓慢，所以锯齿波电压的线性也就越好。从图11.28（b）的波形来看，u2是对u1积分的结果。从数学上看，当输入的是单个矩形脉冲（如图11.25）时，由于>>t

43、p ，充放电很缓慢，就是uc增长和衰减很缓慢，充电时u2= uc << uR ，因此u1=uR + u2uR =Ri或：所以输出电压为 输出电压u2与输入电压u1 近于成积分关系。因此这种电路成为积分电路。 在脉冲电路中，可应用积分电路把矩形脉冲变换为锯齿波电压，作扫描等用。11.8 小 结1换路定律在换路瞬间，电容电流为有限值时，其电压不能跃变；电感电压为有限值时，其电流不能跃变，即2初始值响应及响应的各阶导数在换路后的第一个瞬间，即时的值，称为响应的初始值，初始值组成求解动态电路的初始条件。3零输入响应和零状态响应动态电路在没有独立源作用的情况下，由初始储能产生的响应称为零输入

44、响应。动态电路中所有动态元件的均为零的情况，称零状态。零状态的动态电路在外施激励作用下的响应，称为零状态响应。4全响应及其分解非零状态的电路在独立源作用下的响应称全响应。当外加电源为直流量时，线性动态电路的全响应可以分解为稳态响应和暂态响应之和。暂态响应存在期间，为电路的过渡过程。暂态响应消失，电路进入新的稳态。线性动态电路的全响应还可以分解为零输入响应与零状态响应之和。5直流输入一阶电路的响应的三要素公式其中：稳态响应，全响应的初始值及时间常数三者统称为一阶电路全响应的三要素。动态元件为电容时，；动态元件为电感时，其中是换路后从C或L看过去的等效电阻。11.9 习 题11.9-1、我们通常讲的：电容在直流电路中相当于断路，电感在直流电路中相当于短路。这句话是针对电路的来讲的。A、暂态 B、过渡过程 C、稳态11.9-2、下列哪些电量在换路的瞬间是可以发生跃变的，哪些是不能发生跃变的。A、电感电压 B、电阻电流 C、电阻电压 D、电容