极限的解法与技巧汇总

1、精品极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。1.运用极限的定义例：用极限定义证明：2.xlim 3x 2 1x 2证：由3x2感谢下载载则当0时，就有x23x2x2由函数极限定义有:x23x2limx2x22.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列an收敛，则a为有界数列，即存在正数M ,使得对一切正整数n,有an此方法的解题程序为:1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列an单调有界;2、设an的极限存在，记为limanA代入给定的表达式中，则该n式变为A的代数方程，解之即得该数列的极限。例：若序列an的项满足a1a(a0)且am-,(n1,2,),

2、an试证an有极限并求此极限。解由a1石1a2a12aa12a1aa1ai用数学归纳法证明ak需注意akakaak2akakakanananaan2ana2anan为单调减函数且有下界。令其极限为由anan更有:anlimannanana2(A0)从而limnan3.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系:x0,sinxx,arctanxn1x1tanxx,arcsinxX,1一X,nexX,lOga(1x)xlnaax1xlna,1,1x12X，(1x)1x,in(ix)x,等价无穷小代换法设，都是同一极限过程中的无穷小量，且有：，lim-r存在，则lim也存在，且有lim=lim例:求极限

3、21cosxlim1222x0xsinx解：sinx2-x2,/221cosx2222(*)1 cosx21lim-%=%丁2 222x0xsinxxx2注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时阶数”可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后,往往改变了它的无穷小量之比的4.利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：lim g(x) A Bx 5若limf(x)Alimg(x)Bxxoxxo(I) limf(x)g(x)limf(x)xx)xxo(II) limf(x)g(x)limf(x)limg(x)ABxxoxxxo(III)若Bo贝U:l3XX。

4、g(x)limf(x)xxolimXx0g(x)(IV)limcf(x)xx)上述性质对于x,x总的说来,差、积、商例：求解:limf(x)xxo就是函数的和、差、2x3x5limx2x4x23x5limx2x42232cA（C为常数）时也同样成立积、商的极限等于函数极限的和、5、利用两个重要的极限（Y11x(B)lim(1-)xxx但我们经常使用的是它们的变形:(A)limsin(x)(x)1,(x)0)(B)lim(1(x)e,(x)例：求下列函数极限ax1啊丁lncosax(2)、limx0lncosbx解：（1）令axu,则x1n(1u)于是lnaulnaln(1u)又当x故有：lim

5、o训,uax1x0.ulnalimu0ln(1u).lnalimu0ln(1u)ulimlnau0ln(1u)(2)、原式lim1n(1(cosax1)x0ln1(cosbx1)limln(1(cosax1)cosbx1x0cosax1cosax1ln1(cosbx1)cosbx1cosbx1lim0cosax12sin2xlim2x02sin2bx22asin-x2_a2b2(-x)2(-x)2lim2x02b,a2sin-x(-x)22b2(x)2b2-2a6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这

6、种方法灵活，有相当的技巧性。例:limnn1n11-nsin-.nnlimnn1.1sin一n=limn.1sinn=limnn1sinQ1=limn.1sinn1例：求极限limxa1sinx.sina解limxasinsin=limxasinxsinasina=limxaxa.x2cossin22sina1sinacosaxacosasina=limxa2cosasin-a2sinasinacosa(xa)cosasina=limxaxa2cosasin2sinasinacosa(xa)ctga=ectgasin7、利用无穷小量与无穷大量的关系。(I)若：limf(x)则limf(x)(I

7、I)若：limf(x)0且f(x)R则lim，f(x)例：求下列极限lim-lim-xx5x1x11解：由lim(x5)故limxxx51由lim(x1)0故lim=x1x1x18.变量替换例求极限分析当时,分子、分母都趋,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式=（令精品感谢下载载引进新的变量,将原来的关于的极限转化为.)精品感谢下载载型,最高次幂在分母上)9.分段函数的极限例设讨论在点处的极限是否存在精品分析所给函数是分段函数是分段点,要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.感谢下载载解因为所以不存在.精品注1因为从的左边趋于,故注2因为从的右边趋于感谢下载载精品，故10、利用

8、函数的连续性(适用于求函数在连续点处的极限)0)若(*)在*0处连续,则limf(x)f(x0)xX0小)若(x)是复合函数，又lim(x)a且xx0f(u)在ua处连续,则limf(x)flim(x)f(a)xx0xx0例：求下列函数的极限感谢下载载晒_xecosx5x2ln(1x)(2)ln(1x)一ax、cuV二解：由于x0属于初等函数f(x)e25的定义域之内1xln(1x)故由函数的连续性定义有：-X.ecosx5lim2f(0)6x01xln(1x)1(2)、由ln1一x)ln(1x),x1令x(1x)x故有：1x)x) Ine 11limJnjx)1而m(1x)xln(lim(1

9、x0xx0x011、洛必达法则(适用于未定式极限)定理：若(i)limf(x)0,limg(x)0x%x%(ii)f与g在x0的某空心邻域u0(x0)内可导，且g(x)0(iii)limL(x)A(A可为实数，也可为或)，则xx0g(x).f(x).f(x)八limlim,Axx0g(x)xx0g(x)此定理是对0型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、 要注意条件，也就是说，在没有化为-,-时不可求导。02、 应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、 要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式

10、，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当Ma需不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在,此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限limex(12x)ln(1x2)lnxlima-(axx0,x0)解:令f(x)=有:(x)ex(x)ex由于f(0)(1(1但f(0)2,g2x)(1122x)12,g(x)=ln(1g(x)2x)32,g(x)(0)0,g(0)g(0)2x2)2x1x22(1x2)(1(0)从而运用洛必达法则两次后得到limx0limxlxm022x)ex(12x)12ln(1x2)由limlnxxlnxaxlimxx.elimx01xa1ax

11、2sinx2-x一22sinxcosx-xlimx12(12x)22x2x1aaxx.elimx0(12x)322(1x2)22(1x)故此例属于一型,0(a0,x0)注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。由洛必达法则解法二:21cosxlim2x0xsinx=lim22x2sin一22_2xsinxlxmo2xsin22x2sinx2-x2xsin万1x2222注：此解法利用三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。解法三:d2.1cosxlim2limx0xsinxx0/2C21cosx2xsinx-z-klim-zxxx04xlim22xsinx1x04x注:此解法利用了两个重要极

12、限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则解法四:d21cosxlim-2x0xsinxd21cosxlim4x0x42x2sinx/22(x)2x2sinx注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。解法五:21cosxlim222x0xsinxlim22sin222,2xsinx2吟)2lim_2-x0x(x)14xlimn-21-x0x4注:此解法利用三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。解法六:令ux221cosxlim-2-x0xsinx1cosulimu0usinusinulimu0sinuucosulimcosuu0cosucosuusinu注：此解法利用变量代换法配合使

13、用洛必达法则。21 COSX liml 2 X 0 x sin x_ _2sin xlim -22x 0 x cosx sin x解法七:11lim钎-x0x221X2tgx注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。12、利用函数极限的存在性定理(夹逼准则)定理:设在X0的某空心邻域内恒有g(x)1,n0)k虫4+1于是当n0时有:n XX an XX a(k1)nkakn1-k一aa时,klimk1)ka(klimk(k1)k1alimkknk1alimk0-0alimx=013、用左右极限与极限关系（适用于分段函数求分段点处的极限，以及用定义求极限等情形）定理：函数极限吨存在且等于A

14、的充分必要条件是左极限limf(x)及右极限limf(x)都存在且都等于A。即有：xx0xx0limf(x)Alimf(x)=limf(x)=Axx0xx0xx012ex,x0例：设f(x)=x,0x1求limf(x)及limf(x)xx0x12x,x1解：limf(x)lim(12ex)1x0x0lim f (x)x 0x x lim ()x 0 xlim (. x 1) x 0由 lim f (x) lim f (x)1x 0x 0lim f (x)1x 0又 lim f (x) lim -x=lim (& 1) 0x 1x 1、xx 1lim f (x) lim x2 1 x 1x 1由

15、 f(1 0) f (1 0)lim f(x)不存在x 114、约去零因式（此法适用于x x0时，0型）例:3 求 xlim2,24_x 16x 202 一 _7x 16x 12解:原式=limx 23x2 10x (2x2 6x 20)5x2 6x (2x2 10x 12)7m2(x 2)(x2 3x 10)(x 2)(x2 5x 6)xim22(x2 3x 10) =(x2 5x 6)17x 3lim (x 5)(x 2)x 2(x 2)(x 3)15、利用化简来求极限（分子有理化、分母有理化、分解、恒等变形）比如求1xm，4V此题要用到两个知识点将分子有理化分母分解因式(K 2V 2)

16、=(x 1)(x 2)(. x 3 2)(x 2)(、x 3 2)12通分法（适用于型）16、利用泰勒公式对于求某些不定式的极限来说，应用泰勒公式比使用洛必达法则更为方便，下列为常用的展开式:2、sin x3、cosx4、ln(1x)5、(1 x)2 x2!3 x3!2 x2!5 x5!4 x4!2!n xn!/ n o(x)(1)n1(2n 1)!/ 2n、 o(x )2nn x2 2n 1(1) O(x )(2n)!(1)n1 xno(x ) n(1)( n 1)xn O(xn)n!6、o(xn)上述展开式中的符号o(xn)都有:lxm0o(xn)例:求limx 0a 2x a x:(a0

17、)解:利用泰勒公式，当x x 1x1- o(x)2iia 2x a x=limx 01 2x a1 2x.a 1(一) o(x) 12 ax一o(x) ax1,一 a o(x) 2a2x a=lim limx 0xx 0x o(x)12 .a17、利用拉格朗日中值定理定理:若函数f满足如下条件:(I) f在闭区间上连续(II)f在(a内可导则在(a ,b)内至少存在一点f( ) f(b) f(a)b a，使得此式变形可为：皿丁 f(a (b b aa)(01)1)即sin x ex sin xf (sin x(x sin x)(01)xsinx例:求limee-x0xsinx解:令f(x)ex

18、对它应用中值定理得exesinxf(x)f(sinx)(xsinx)f(sinx(xsinx)(0f(x)ex连续limf(sinx(xsinx)f(0)1xsinx从而有:lim-1x0xsinx18.利用定积分和积分中值定理求极限比如设xn=J(n1)(n2)L(n或(n1,2,L),求limxnnn1ni解因为lnxnln(1)ni1n1 ni1所以limxnlimln(1)=ln(1x)dx2ln21nnni1n019、求代数函数的极限方法(1)有理式的情况，即若R(x)P(x)Q(x)ma0xaxb0xnbixn1ambn(a00,b00)当x时,lim%xQ(x)mm1a0xaxl

19、imnn-1xb0xtxambna0b00(II)当x0时有:若Q(xo)lim*x0Q(x)P(x。)Q(x。)若Q(xo)P(xo)0则M0QS若Q(xo)0,P(x。)0,则分别考虑若x为P(x)0的S重根,即：P(x)(xx0)sPi(x)也为Q(x)0的r重根，即:Q(x)(xx)rQi(x)可得结论如下:l心 limx x0 Q(x)X M(x x0)s rF1(x)Qi(x)0 , Pi(x。) Qi(x。),s,sx3 3x 2x4 4x 3例：求下列函数的极限lim(2xa/3；2)30x(2x1)解：分子，分母的最高次方相同，故2030-20-30-(2x3)(3x2)_23330lim50=50()x(2x1)22P(x)x33x2,P(1)0一4一一一Q(x)x4x3,Q(1)0P(x),Q(x)必含有(x-1)之因子，即有1的重根故有：x33x2(x1)2(x2)x21limlim；lim；-x1x44x3x1(x1)2(x22x3)x1x22x32(2)无理式的情况。虽然无理式情况不同于有理式，但求极限方法完全类同，这里就不再一一详述.在这里我主要举例说明有理化的方法求极限。JlJ例：求Jim(,x.