江苏高考圆锥曲线专题

1、第10讲 圆锥曲线历年高考分析：回顾20092013年的高考题，在填空题中主要考查了椭圆的离心率和定义的运用，在解答题中2010、2011、2012年连续三年考查了直线与椭圆的综合问题，难度较高在近四年的圆锥曲线的考查中抛物线和双曲线的考查较少且难度很小，这与考试说明中A级要求相符合预测在2014年的高考题中：(1)填空题依然是以考查圆锥曲线的几何性质为主，三种圆锥曲线都有可能涉及(2)在解答题中可能会出现圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程的求解题型分类： (1)圆锥曲线的几何性质，如a，b，c，p的几何性质以及离心率的值或范围的求解； (2)解答题中简单的直线与椭

2、圆位置关系问题； (3)以椭圆为背景考查直线方程、圆的方程以及直线和圆的几何特征的综合问题； (4)综合出现多字母等式的化简，这类问题难度较高例1：若椭圆1的离心率e，则m的值是_解析：当m>5时，解得m；当m<5时，解得m3. 答案：3或例2：若抛物线y22x上的一点M到坐标原点O的距离为，则M到该抛物线焦点的距离为_解析：设M的坐标为(x，±)(x>0)，则x22x3，解得x1，所求距离为1.例3：双曲线2x2y260上一个点P到一个焦点的距离为4，则它到另一个焦点的距离为_解析：双曲线方程化为1.设P到另一焦点的距离为d，则由|4d|2得d42，或d42(舍去

3、)例4：(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线1的离心率为，则m的值为_解析：由题意得m0，a，b，c，由e得5，解得m2.例5：已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4，则椭圆的方程为 例6：在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为、，其中也是抛物线的焦点，点为和在第一象限的交点，且,则的方程为 例7：(2011·重庆)设双曲线的左准线与两条渐近线交于A，B两点，左焦点在以AB为直径的圆内，则该双曲线的离心率的取值范围为_例8：(2013南京二模)在平面直角坐标系中，已知双曲线C：设过点M(0,1)的直线与双曲线C交于A、B两点，若，则

4、直线的斜率为_例9：已知椭圆G：1(a>b>0)的离心率为，右焦点为(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(3,2)(1)求椭圆G的方程；(2)求PAB的面积解：(1) 由已知得c2，.解得a2，又b2a2c24.所以椭圆G的方程为1.(2) 设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A、B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1<x2)，AB中点为E(x0，y0)，则x0，y0x0m；因为AB是等腰PAB的底边，所以PEAB.所以PE的斜率k1.解得m2.此时方程为4x212x0.解得x13，x20.所以

5、y11，y22.所以|AB|3.此时，点P(3,2)到直线AB：xy20的距离d，所以PAB的面积S|AB|·d.例10：(2011南京一模)直角坐标系xOy中，中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C上的点(2，1)到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的右焦点F作直线l与椭圆C分别交于A、B两点，其中点A在x轴下方，且3.求过O、A、B三点的圆的方程解：(1) 由题意，设椭圆C：1(ab0)，则2a4，a2.因为点(2，1)在椭圆1上，所以1，解得b，故所求椭圆方程为1.(2) 如图设A(x1，y1)，B(x2，y2)(y10，y20)点F的坐标为F(3,0)由3

6、，得即 又A、B在椭圆C上，所以解得所以B，代入得A点坐标为(2，)因为·0，所以OAAB.所以过O、A、B三点的圆就是以OB为直径的圆，其方程为x2y2xy0.典例1：(1)在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点为，过双曲线的右焦点作与实轴垂直的直线交双曲线于，两点， 若为直角三角形，则双曲线的离心率为 (2)已知椭圆1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得e，则该椭圆离心率e的取值范围是_解析：(1)2 (2)e，PF1ePF2e(2aPF1)，PF1.又acPF1ac，acac，a(1e)a(1e)，1e1e，解得e1.又0<

7、;e<1，1e1. 答案：1,1)演练1：设分别为椭圆的左、右焦点，过的直线与椭圆 相交于、两点，直线的倾斜角为，到直线的距离为.如果,则椭圆的方程为 典例2：(1)(2012·四川高考)椭圆1的左焦点为F，直线xm与椭圆相交于点A、B.当FAB的周长最大时，FAB的面积是_(2)(2011·福建高考)设圆锥曲线的两个焦点分别为F1，F2.若曲线上存在点P满足|PF1|F1F2|PF2|432，则曲线的离心率等于_解析(1)法一：依题意得知，点F(1,0)，不妨设点A(2cos ，sin )(sin >0)，则有B(2cos ，sin )，|FA|FB|2cos

8、 ，|AB|2sin ，|FA|FB|AB|42cos 2sin 44sin，当2k，kZ，即2k，kZ，2cos 1，sin 时，FAB的周长最大，此时FAB的面积等于×(11)×33.法二：椭圆右焦点为F(1,0)由椭圆定义|AF|AF|BF|BF|2a.则FAB的周长l|AF|BF|AB|4a(|FA|FB|)|AB|4a|FA|FB|AB|4a.所以FAB周长最大时，直线xm经过F(1,0)，这时|AB|3，此时SFAB×2×33.(2)由题意可设：|PF1|4m，|F1F2|3m，|PF2|2m，当圆锥曲线是椭圆时，长轴长为2a|PF1|PF2

9、|4m2m6m，焦距为2c|F1F2|3m，离心率e；当圆锥曲线是双曲线时，实轴长为2a|PF1|PF2|4m2m2m，焦距为2c|F1F2|3m，离心率e.答案(1)3(2)或解决圆锥曲线上的点与焦点的距离问题，一般考虑用定义，在椭圆和双曲线的方程中要注意a，b，c之间关系的区别演练2：(1)已知双曲线1的一个焦点坐标为(，0)，则其渐近线方程为_；(2)已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：(1)由a23，可得a1，双曲线方程为x21，其渐近线方程为x±0，即y±x.(2)由y24x可知l2：

10、x1是抛物线的准线，所以P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值即为点F(1,0)到直线l1：4x3y60的距离d2.答案：(1)y±x(2)2典例3：(2012·北京高考)已知椭圆C：1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为.直线yk(x1)与椭圆C交于不同的两点M，N.(1)求椭圆C的方程；(2)当AMN的面积为时，求k的值解(1)由题意得解得b，所以椭圆C的方程为1.(2)由得 (12k2)x24k2x2k240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1k(x11)，y2

11、k(x21)，x1x2，x1x2，所以MN .又因为点A(2,0)到直线yk(x1)的距离d，所以AMN的面积为SMN·d.由，化简得7k42k250，解得k±1.本题主要考查椭圆的标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系解决直线与圆锥曲线的位置关系的相关问题，一般是联立方程消元后转化为二次方程的问题演练3：已知过抛物线y22px(p>0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且AB9.求该抛物线的方程解：直线AB的方程是y2，与y22px联立，从而有4x25pxp20，所以x1x2.由抛物线定义得ABx1x2p9

12、，所以p4，从而抛物线方程是y28x.典例4：已知点P(4,4)，圆C：(xm)2y25(m<3)与椭圆E：1(a>b>0)有一个公共点A(3,1)，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，直线PF1与圆C相切(1) 求m的值与椭圆E的方程；(2) 设Q为椭圆E上的一个动点，求·的取值范围解：(1) 点A坐标代入圆C方程，得(3m)215. m3， m1.圆C：(x1)2y25.设直线PF1的斜率为k，则PF1：yk(x4)4，即kxy4k40. 直线PF1与圆C相切， .解得k或k. 当k时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去当k时，直线PF1与x轴的交点横

13、坐标为4， c4，F1(4,0)，F2(4,0). 2aAF1AF256，a3，a218，b22.椭圆E的方程为：1.(2) (1,3)，设Q(x，y)，(x3，y1)，·(x3)3(y1)x3y6. 1，即x2(3y)218，而x2(3y)22|x|·|3y|， 3xy3.则(x3y)2x2(3y)26xy186xy的取值范围是0,36. x3y的取值范围是6,6 ·x3y6的取值范围是12,0. (注：本题第二问若使用椭圆的参数方程或线性规划等知识也可解决)典例5：(2012·南师大信息卷)已知双曲线x21，椭圆与该双曲线共焦点，且经过点(2,3)(

14、1)求椭圆方程；(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，右焦点为F，直线l为椭圆的右准线，N为l上的一动点，且在x轴上方，直线AN与椭圆交于点M.若AMMN，求AMB的余弦值；设过A，F，N三点的圆与y轴交于P，Q两点，当线段PQ的中点为(0,9)时，求这个圆的方程解(1)双曲线焦点为(±2,0)，设椭圆方程为1(ab0)则解得a216，b212.故椭圆方程为1.(2)由已知，A(4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直线l的方程为x8.设N(8，t)(t>0)AMMN，M.由点M在椭圆上，得t6.故点M的坐标为M(2,3)所以(6，3)，(2，3)，·1293.cos

15、 AMB.设圆的方程为x2y2DxEyF0，将A，F，N三点坐标代入，得得圆的方程为x2y22xy80，令x0，得y2y80.设P(0，y1)，Q(0，y2)，由线段PQ的中点为(0,9)，得y1y2t18.此时，所求圆的方程为x2y22x18y80.本题是直线、双曲线、椭圆、圆的综合问题，主要考查待定系数法求曲线方程演练5：如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy20相切(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(0,1)，Q(0,2)设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T求证：点

16、T在椭圆C上解：(1)由题意知椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，即b.因为离心率e，所以 ，解得a2.所以椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意可设M，N的坐标分别为(x0，y0)，(x0，y0)，则直线PM的方程为yx1，直线QN的方程为yx2. 设T点的坐标为(x，y)联立解得x0，y0.因为1，所以221.整理得(2y3)2，所以12y84y212y9，即1.所以点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上典例6：已知抛物线D的顶点是椭圆C：1的中心，焦点与该椭圆的右焦点重合(1)求抛物线D的方程；(2)过椭圆C右顶点A的直线l交抛物线D于M、N两点若直线l的斜率为1，求MN的长；是否存

17、在垂直于x轴的直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长为定值？如果存在，求出m的方程；如果不存在，说明理由解(1)由题意，可设抛物线方程为y22px(p>0)由a2b216151，得c1.抛物线的焦点为(1,0)，p2.抛物线D的方程为y24x.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)直线l的方程为：yx4，联立整理得x212x160，则x1x212，x1x216，所以MN 4.设存在直线m：xa满足题意，则圆心E，过E作直线xa的垂线，垂足为H，设直线m与圆E的一个交点为G.可得GH2EG2EH2，即GH2EA2EH22ya(x14)a2x14x1a(x14)a2(a3)x14aa2.

18、当a3时，GH23，此时直线m被以MA为直径的圆E所截得的弦长恒为定值2.因此存在直线m：x3满足题意 以探究“是否存在”为目标的开放性问题，是高考的一个热点，解决此类问题的方法类似于反证法，即先假设存在并设出参数建立方程，若有符合题意的解，则说明存在，否则说明不存在演练6：已知椭圆C的离心率e，一条准线方程为x4，P为准线上一动点，直线PF1、PF2分别与以原点为圆心、椭圆的焦距F1F2为直径的圆O交于点M、N.(1)求椭圆的标准方程；(2)探究是否存在一定点恒在直线MN上？若存在，求出该点坐标；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得，4，解得c2，a2，则b2a2c24，所以椭圆的标准方程

19、为1.(2)由(1)易知F1F24，所以圆O的方程为x2y24.设P(4，t)，则直线PF1方程为y(x2)，由得(t236)x24t2x4(t236)0，解得x12，x2，所以M，同理可得N.若MNx轴，则，解得t212，此时点M，N的横坐标都为1，故直线MN过定点(1,0)；若MN与x轴不垂直，即t212，此时kMN，所以直线MN的方程为y，即y(x1)，所以直线MN过定点(1,0)综上，直线MN过定点(1,0)专题技法归纳：(1)求圆锥曲线方程常用的方法有定义法、待定系数法、轨迹方程法而对于双曲线和椭圆在不明确焦点坐标的情况下可以统一设成mx2ny21(mn0)，这样可以避免对参数的讨论

20、(2)求椭圆、双曲线的离心率，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求的值(3)在双曲线中由于e21，故双曲线的渐近线与离心率密切相关课后练习(十)1已知方程1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是_；若该方程表示双曲线，则m的取值范围是_解析：若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则解得1<m<；若方程表示双曲线，则(m1)(2m)<0，解得m<1或m>2.答案：(，1)(2，)2点P为椭圆1(a>b>0)上一点，F1，F2为椭圆的焦点，如果PF1F275°，PF2F115°，则椭圆的离心率为_解析：由题意得

21、F1PF290°，PF12c cos 75°，PF22c sin 75°，所以2c(sin 75°cos 75°)2a，e.3已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_解析：直线AB的方程为yx，即xy，代入y22px得，y22pyp20.则yAyB2p4，p2，准线方程为x1.4(2011·天津高考)已知双曲线1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是yx，它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为_解析：由题设可得

22、双曲线方程满足3x2y2(>0)，即1.于是c2.又抛物线y224x的准线方程为x6，因为双曲线的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则c236，于是27.所以双曲线的方程1.5已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且2，则C的离心率为_解析：不妨设椭圆C的焦点在x轴上，中心在原点，B点为椭圆的上顶点，F(c,0)(c0)为右焦点，则由2，得D点到右准线的距离是B点到右准线距离的一半，则D点横坐标xD，由2 知，c2，得3c2a2，e.6(2011·江西高考)若椭圆1的焦点在x轴上，过点作圆x2y21的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过

23、椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是_ _解析：由题可设斜率存在的切线的方程为yk(x1)(k为切线的斜率)，即2kx2y2k10，由1，解得k，所以圆x2y21的一条切线方程为3x4y50，求得切点A，易知另一切点B(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.令y0得右焦点为(1,0)，令x0得上顶点为(0,2)a2b2c25，故得所求椭圆方程为1.7已知双曲线1(a>0，b>0)和椭圆1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为_ _解析：由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c，e，故a2，b2c2a23，故所求双曲线的方程是

24、1.8已知双曲线C:的右顶点、右焦点分别为A、F,它的左准线与轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为 .9设P点在圆x2(y2)21上移动，点Q在椭圆y21上移动，则PQ的最大值是_解析：圆心C(0,2)，PQPCCQ1CQ，于是只要求CQ的最大值设Q(x，y)，CQ ，1y1，当y时，CQmax ，PQmax1.10(2012·辽宁高考)已知双曲线x2y21，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1PF2，则|PF1|PF2|的值为_解析：不妨设点P在双曲线的右支上，因为PF1PF2，所以(2)2|PF1|2|PF2|2，又因为|PF1|PF2|2，所以(|PF1|PF2|)24，可得2|PF1|·|PF2|4，则(|PF1|PF2|)2|PF1|2|PF2|22|PF1|·|PF2|12，所以|PF1|PF2|2.11(2011·四川高考)过点C(0,1)的椭