湖水污染分析模型

1、摘要在两种情况下分析湖水中的污染物，分别建立模型即理论模型和实际模型。理论模型是根据伊利湖和安大略湖各自的污染物流入流出的关系建立污染物量关于时间的差分方程：伊利湖的污染物总量，安大略湖的污染物总量，在时趋于一个定值192.3077，这个定值就是安大略湖系统的平衡值；当时 安大略湖的污染程度减少到目前水平的10%；当是系统的污染物的量是一直增加的，当系统的污染物量急剧减少，大约从开始系统的污染物量几乎保持不变。实际模型中首先根据湖水的实际更新情况重新确定湖水流入和流出占湖水总量的百分数，又由于湖水中污染物的浓度时刻变化，所以用时间微元的方法对实际污染物流出的比例进行修正。分析铝厂排放的污染物时

2、，铝厂排放的污染物是赤泥，根据赤泥的物化性质利用重力沉降原理求得赤泥颗粒从湖面沉降到湖底的时间，把一年分成多份，同时将铝厂每年向湖水中排放的污染物量25单位按分成多份，每一个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是单位，则安大略湖的湖水中将始终保持有0.3单位的赤泥，其余的赤泥都将在湖底沉积。综合安大略湖中赤泥和伊利湖流入的污染物的情况预测了未来十年内的情况。模型中重力沉降原理指出颗粒的直径影响沉降速度间接影响赤泥的排出量直径越小排出量越大，同时直径是最可能实现改进的因素。在直径小于20um时赤泥的排出量急剧增加。为减少安大略湖的污染尽量把颗粒直径做小。 二、问题分析伊利湖的湖水每年有38%的更新，

3、湖水的更新引起湖内污染物量的变化。假设流入伊利湖的湖水是不含有污染物的，而流出伊利湖的湖水又将携带污染物，那么伊利湖是一个没有污染物注入只有污染物排除的系统，污染物的量逐渐减少，根据污染物排除的情况获得伊利湖污染物量随时间变化的关系。安大略湖湖水每年更新13%，在认为流入湖的水仅来自伊利湖的情况下，安大略湖的污染物源只有伊利湖和铝厂，根据每一年的湖水更新量和铝厂的排放量求一二阶差分方程，用来描述安大略湖内污染物（伊利湖流入的和铝厂排放的和）时间变化的情况。但是这些都只是很简单的处理问题，考虑实际情况时。要有很多因素影响着伊利湖和安大略湖的污染物总量，湖水的更新不仅仅包括湖水的流入和流出还有将于

4、和蒸发等；铝厂排放的污染物在湖水中的性质与伊利湖流入的污染物不同；湖水内污染物的量时刻变化等实际情况建立更加合理的模型。三、理论模型建立1.模型假设1.污染物在湖水中均匀分布，每一处污染物浓度相同。2.对理论模型假设每年安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖的流入。3湖水的更新量中湖水的增加仅来自湖水的流入量，减少量仅是湖水的流出即忽略湖水的蒸发和降雨等。4.安大略湖的湖水流出速度恒定。2.符号说明：代表年份取值从1开始，初始的那年为第1年。：第年时的伊利湖的污染物总量。：第年时的安大略湖的污染物总量.3差分方程的建立和求解已知伊利湖每年的湖水更新量是38%，流入的的水流中没有污染物，流出的湖水携带污

5、染物.安大略湖的湖水补充仅来自伊利湖，每年伊利湖湖水总量的38%经尼亚加拉河流入安大略湖，安大略湖的污染物消失都来自湖水的流出贡献。安大略湖的污染物总量用函数b（n）表示，伊利湖的污染物总量用函数a(n)表示。根据伊利湖水的污染物总量的变化可得如下方程： 根据安大略湖的污染物情况列出可以表示污染物变化关系的函数式： 把和消去得到的二阶差分方程如下： (1) 可得上式的齐次方程： ，。齐次方程的通解为： (2) 设（1）式的通解为： (3)(2)式代入(1)式是满足： (3)式代入(1)式满足。根据这样二个规则可求出的方程：，解得，则（1）式的通解（3）变为 。已知第一年安大略湖的污染物总量是2

6、500单位即，第二年污染物总量增加至3150单位；通过MATLAB编程可求得，所以二阶差分方程的通解可以代表安大略湖的污染物总量的方程为： (4)4. 系统的平衡值安大略湖污染物总量当n从1开始增长下去，逐渐趋近于0,所以随着的增长逐渐趋近于192.3077。通过方程可以证明系统存在平衡值是192.3077,随着时间的推移安大略湖内的污染物的流入和排除能力相同，湖内的污染物总量保持在192.3077单位。其实，通过实际情况的分析亦可得到相同的结论，已知安大略湖的污染物仅来自铝厂和伊利湖，铝厂每年的排入量恒定25单位；伊利湖的污染物每年流出总量中的一部分，而且没有外界的补充，这样时间的增长使伊利

7、湖内的污染物总量越来越少趋近于零，伊利湖流入安大略湖的污染物自然减少至零。从某一年开始安大略湖的污染物仅来自于铝厂，并且流入和流出的能力相同，所以说每年铝厂流入安大略湖的25单位的污染物的同时，安大略湖也要通过每年13%湖水的更新中把25单位的污染物排走，污染物再湖水中平均分布，铝厂流入的25单位的污染物相当于安大略湖污染物平衡时的污染物总量的13%。根据这个关系我们可以分析出安大略湖的污染物平衡值是192.3077。通过实际分析出来的平衡值和方程显示的平衡值相统一。5.污染物减少到目前水平10%的时间和系统的长期表现目前污染物总量为2500单位，减少到10%即250单位左右。对污染物总量和时

8、间绘二维图形如图1所示。通过MATLAB计算由表1可知道时污染物总量，时。由这些数据可以知道现在作为第一年，要等到第35年污染物总量才能低于现在水平的10%。表1.年份-污染物总量（单位）年份污染物量污染物减少量年份污染物总量污染物减少量年份污染物总量污染物减少量1250035245.958.0269192.7780.0723150.-65036238.9786.9770192.7170.0633354.50-204.537232.916.0771192.6640.0543308.5945.9138227.6335.2872192.6170.0553129.88178.7139223.0414

9、.5973192.5770.0462888.37241.5140219.0453.9974192.5420.0372624.92263.4541215.5693.4875192.5120.0382362.64262.2842212.5453.0176192.4850.0392113.95248.6943209.9142.6577192.4620.02101884.88229.0744207.6252.2878192.4420.02111677.70207.1845205.6342.0079192.4240.018121492.57185.1346203.9011.7380192.4090.01

10、5131328.48164.0947202.3941.5181192.3960.013141183.84144.6448201.0831.3182192.3840.012151056.85126.9949199.9421.1483192.3740.0116945.636111.2150198.9500.9984192.3660.00817848.43497.2051198.0860.8685192.3580.00818763.59084.8452197.3350.7386192.3510.00719689.60473.9953196.6810.6887192.3460.00520625.130

11、63.9754196.1130.5788192.3410.00521568.97156.1655195.6180.4989192.3360.00522520.07248.956195.1870.4390192.3320.00423477.50442.5757194.8130.3791192.3290.00324440.45437.0558194.4870.3392192.3260.00325408.21132.2459194.2040.2893192.3240.00226380.15328.0660193.9570.2594192.3220.00227355.73924.4161193.743

12、0.2195192.3200.00228334.49721.2462193.5560.1996192.3180.00229316.01518.4863193.3940.1697192.3170.00130299.93416.0964193.2530.1498192.3160.00131285.94413.9965193.1300.1299192.3150.00132273.7712.1766193.0230.11100192.3140.00133263.1810.5967192.9300.0934253.9689.2168192.8490.07把上表的数据绘制成二维图形可以直观的看出污染物总量

13、和污染物减少量随时间变化的趋势，从图1中可以明显的看出系统的长期情况安大略湖的污染物总量仅在前三年的范围内值增长的，从第四年开始污染物总量的值开始下降，从第四年开始的前20年下降速度非常的快，图2 也说明了安大略湖系统的污染物量逐渐趋于稳定，从第四十年开始污染物变化量几乎为0。 图1.污染物总量与时间的关系 图2污染物变化量与时间关系实际模型建立符号说明：实际情况下第年时的伊利湖的污染物总量。：实际情况下第年时的安大略湖的污染物总量.：修正后的伊利湖污染物每年排除的百分数，可直接表示污染物变化情况。：修正后的伊利湖每年排到安大略湖污染物的百分数，可直接表示伊利湖排到安大略湖的污染物情况。：修正

14、后的安大略湖污染物每年排放的百分数，可直接表示污染物变化情况。模型假设1铝厂向安大略湖排放的污染物中只有赤泥，而且赤泥颗粒在湖水中的运动和分布相互独立。2.对于安大略湖除伊利湖的流入含有污染物外，降雨和其他支流都不含有污染物。3.由于安大略湖的平均水深较深，在污染物（赤泥）沉降到湖底以后，只能在湖底层附近移动，不能浮起。4.设污染物（赤泥）在湖中沉积过程中以匀速下沉，其速度符合重力沉降原理。5湖水的密度为正常水的密度即为。6湖底初始时已有的赤泥的量为0。安大略湖是安大略省西端中最小的五大湖,平均深度86米(283英尺)，流入安大略湖的水中79%是伊利湖通过安大略省西端尼亚加拉河流入的，剩下的流

15、动支流来自安大略省西端盆地(14%)和降水(7%)。 93%的湖水从安大略省西端的圣劳伦斯河流出，其余的7%是蒸发失去。安大略湖的总蓄水量是1688立方千米，伊利湖的总蓄水量是1638立方千米。安大略湖的污染物来源主要是伊利湖湖水的流入和铝厂废物的排放。铝厂排放的废物主要是赤泥,赤泥是从铝土矿中提炼氧化铝后排出的工业固体废物。赤泥的化学成分为：、 、;赤泥的物理性质是：颗粒直径008025mm。1.伊利湖的污染物模型对于伊利湖，伊利湖的污染物总量没有外界的补充，污染物随着伊利湖湖水的流出逐渐减少。每年的湖水更新量是38%，其中补充的水量包括降雨（7%）和河流流入，他们都不包含污染物，排除的水量

16、包括河流的流出和蒸发其占所有的更新量的（7%）；所以每年湖水通过尼亚加拉排除的更新量是用。由于污染物的量随时间连续变化，所以不能用35%水流量的更新直接表示污染物的排除，对35%作如下修正。将一年的时间分为m份，每一份时间内流出的水流量占总水流量的0.31/m,则可以知道每一份时间过后湖中剩余的污染物量：=当m趋向于无穷时，即所以35%修正后的结果为，。每年伊利湖中污染物的量减少29.5%。所以伊利湖中污染物的量可以表示为： n=1,2,32.安大略湖污染物量对于安大略湖的情况污染物的来源只有伊利湖的流入和铝厂的排放，研究安大略湖的污染物情况时把伊利湖流入的污染物和铝厂排放的污染物分开考虑分别

17、建立模型。2.1源自伊利湖的污染物通过网上资料总结得到以下湖泊河流以及降水蒸发之间的关系见图3图3.伊利湖与安大列湖的关系每年伊利湖流入安大略湖的水流量占安大略湖湖水更新部分（13%）的79%，这是因为安大略湖的79%的水是来自伊利湖的。根据这个关系可以知道每年从伊利湖流入安大略湖的水流量Q=13%*79%*1688=175.552立方千米，这部分占伊利湖湖水总量的10.7%也就是说每年伊利湖的污染物通过这10.7%湖水更新流入安大略湖。由于伊利湖中湖水的流出是连续的，湖水中的污染物的量也是连续变化的，因此在求解污染物每年流出的量的百分数时不能直接使用10.7%，对10.7%修正，修正方法同伊

18、利湖模型中的相同。将一年的时间分为m份，每一份时间内流出的水流量占总水流量的0.107/m,则可以知道每一份时间过后湖中剩余的污染物量：=当m趋向于无穷时，即，所以10.7%经修正后的结果是，可以直接描述每年伊利湖中排放到安大略湖的污染物量。安大略湖的湖水每年更新13%，而更新的湖水93%来自湖水的流出，7%是湖水的蒸发，湖水的蒸发对污染物的排除是没有贡献的。所以每年安大略湖的湖水通过圣劳伦斯河流出更新是13%*93%=12.09%。安大略湖污染物的量也是随着时间连续变化的，通过上面提到的百分数的修正，=当m趋向于无穷时，即。则每年安大略湖排除的污染物的百分比修正后的结果是：，。根据安大略湖污

19、染物流入和排除关系可得到差分方程： 可得上式的齐次方程： ；，。方程的通解为： 已知安大略湖第一年的污染物总量是2500单位，第二年3150单位。从铝厂污染物的计算中可以知道，由于铝厂排放的赤泥在湖水中溶解的十分的少绝大部分沉到湖底，我们假设安大略湖水体中的污染物都是伊利湖排放来的。通过和可以求解出，安大略湖中来自伊利湖的污染物随时间变化的方程：。近十年的情况如图2所示。通过图4可以观察到，那些源于伊利湖的污染物在安大略湖中从第三年开始呈线性下降趋势。由于伊利湖内的污染物逐渐减少，排入到安大略湖的污染物自然也减少，照这个趋势一致走下去，伊利湖和安大略湖内来自伊利湖的污染物都将减少至0。 图4.

20、安大略湖中来自伊利湖的污染物变化情况对应上图的的未来三年的数据如表2所示。在第五年污染物的总量又回到了初始的水平。表2.未来三年由伊利湖流入安大略湖的污染物的预测年份第一年第二年第三年第四年第五年污染物量25003510306727992504 2.2铝厂排放的赤泥考虑安大略湖的污染物实际情况，实际情况中污染物除了伊利湖的湖水流入携带污染物外，仅有铝厂向安大略湖排放铝厂的废物。通过查询资料可知铝厂像安大略湖排放的废物是赤泥，因此只需要知道赤泥在湖水中的存在情况就可以描述铝厂的排放对安大略湖污染物量的影响。赤泥的化学物理组成决定了赤泥不能像一般污染物一样溶解在湖水中，并在湖水中扩散，随湖水的流出

21、而排除湖水系统。实际上赤泥以颗粒的形式在湖水中向下沉降，绝大多数的赤泥会沉降到湖底，不能够随着水流排除到圣劳伦斯河中，为验证这一情况，下面做出一些讨论。符号说明：赤泥颗粒从湖顶沉积到湖底的时间。：湖水的密度水的密度。：污染物颗粒在水中的平均速度。：赤泥颗粒的直径（0.16mm）。：赤泥的密度。：水的粘滞系数。：重力加速度。：安大略湖的平均水深。：赤泥颗粒从湖面沉到湖底的时间内铝厂向湖内排放的赤泥的量。：赤泥每年随湖水排除的污染物的量。：第年时湖底积累的赤泥的量。：第年安大略湖总的污染物量。：沉降雷诺数。赤泥颗粒在水中运动时的速度非常的小，所以忽略到加速段的影响，认为赤泥颗粒在水中沉降的速度是匀

22、速的重力沉降原理模型：当K>69.1时为湍流区（Newton牛顿区下限段）；当2.62<K<69.1时为过渡区（Allen阿伦区）；当K<2.62时为滞留区（Stokes斯托克斯区）。数群K值判断法：算得根据=4.71，确定赤泥颗粒的沉降在重力沉降原理模型中的过渡区那么有 求得 已知安大略湖的平均水深为86米，那么赤泥从湖面沉降到湖底的平均时间将的单位换算成年：把作为一个单位时间，那么一年一共由83.3个单位时间组成；已知铝厂一年向安大略湖庞芳的污染物的总量为25单位，那么每一个时间内排放到安大略湖的赤泥的量为，单位。由于每一个单位时间是颗粒从湖面沉降到湖底的时间，每一

23、个单位时间铝厂排放到湖里的污染物量是单位，那么湖水里将始终保持有0.3单位的赤泥，随着时间推移，排入到安大略湖的赤泥越来越多，湖水中始终保持0.3单位的量，更多的赤泥就在湖底沉积。沉在湖底的赤泥在没有外界清楚地情况下降一直在湖底积累，湖水中含有的0.3单位的赤泥可以随着湖水的流出而部分排除。安大略湖的湖水每年更新13%，其中93%是安大略湖湖水的流出，其余是湖水的蒸发，湖水的蒸发对污染物的排除没有作用，所以在湖水中污染物始终保持0.3单位的情况下每年有，单位，每年铝厂排放的25单位污染物中只有0.036被排除，剩下的24.964单位都将沉积到湖底。到第年时湖底积累的赤泥的量： =1,2,3安大

24、略湖的污染物量由伊利湖的流入和铝厂的排放组成，安大略湖污染物总量与时间的关系函数式：。未来十年的发展情况如图5，对未来的十年预测如表3中所示. Figure 5.实际安大略湖污染物情况Time12345678910The total amount of pollutant 2500.03175.03116.92873.92604.02350.82124.41925.01750.81599.2The total amount of red mud024.96449.9274.89299.856124.82149.7174.74199.71224.67The total amount of pollutant from Erie2500315030672779.92504.22226.01974.61750.31551.11374.5表3.实际情况下安大略湖的污染物情况预览未来十年赤泥在湖底逐年累积，流出部分非常的少而由伊利湖流入的污染物逐年减少，总污染物量的减少是伊利湖污染物减少的作用。模型结果的分析不同的数群判断法值对应不同的区域，其中当时为湍流区（Newton牛顿区下限段）；当时为过渡区（Allen阿伦区）；当时为滞留区（Stokes斯托克斯区）。换算成颗粒直径为：当时污染物沉降处于滞留区，当时污染物沉降处于过渡区，当时污染物沉降处于湍流区。分别将过渡区