蒙日圆及其证明

1、蒙日圆及其证明22x y局考题 （2014年局考广东卷文科、理科第20题）已知椭圆c：F+22 = 1（a Ab>0）的 a b一个焦点为（J5,0）,离心率为 寺.（1）求椭圆c的标准方程；（2）若动点P（Xo,yo）为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点 P 的轨迹方程.22答案：（1）上+上=1 ；（2）x2+y2 =13.94这道高考题的背景就是蒙日圆.普通高中课程标准实验教科书数学2 必修 A版（人民教育出版社，2007年第3版，2014年第8次印刷）第22页对画法几何的创始人蒙日（G.Monge, 1745-1818）作了介绍.以上高考题第（2）问的一般情形是

2、 22定理1 曲线土+上=1的两条互相垂直的切线的交点P的轨迹是圆 -2. 2a bx2 y2 二a2 b2.定理1的结论中的圆就是蒙日圆.先给出定理1的两种解析几何证法：定理1的证法1当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（±a, b）,或（+a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（x0,y0）（x0#±a,且v。#现，所以可设曲线的过点 P的切线方程是y -y0 =k(x -x0)(k =0).'22-1由a2b2 1 ，得y -y0 =k(x -4)(a2k2 b2)x2 -2k

3、a2(kx0 -y0)x a2(kx)-y0)2 -a2b2 =0由其判别式的值为0,得(%2 -a2)k2 -2%y0k y02 b2 =0(x02 - a2 = 0)因为kpA,kpB是这个关于k的一元二次方程的两个根，所以kPAkpB_ y0 b22x0 -a由此，得22-22kPAkpB = -1= %yo = a b进而可得欲证成立.定理1的证法2当题设中的两条互相垂直的切线中有斜率不存在或斜率为0时，可得点P的坐标是（土a, b）,或（±a,-b）.当题设中的两条互相垂直的切线中的斜率均存在且均不为0时，可设点 P的坐标是（ ）0）（X0 #±a,且 y（）*

4、划，所以可设两个切点分别是A（4 y） B（X2,y2）（XiX2%y2 /0）.得直线AB争+芦乩切线PA争+*=1,pB：?+?d所以:b2x1 j b2x2a2yia2y24b x1x2=-4a y2yi y2yi y2=x1 x2x1 x2kOAkOBb4kPAkPB22因为点（乂）。=1,2）既在曲线0+乡=1上又在直线AB：W+4=1上,所以a ba b所以由此，可得+2a2b2x0y° 工 十/（42a2） = 0、xj._ yy2 kOA kOB 一b4 b4（x02-a2）.4/2, 2、一 i,.a （y。-b ）kPAkPBkPAkPB_ V0 - b2一 _2

5、2x0 -a_ 2222PA_ PB：= xy0 =a2 b2进而可得欲证成立.再给出该定理的两种平面几何证法，但须先给出四个引理引理1 （椭圆的光学性质，见普通高中课程标准实验教科书数学选修 2-1 A版 （人民教育出版社，2007年第2版，2014年第1次印刷）第76页）从椭圆的一个焦点发出的光 线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上（如图1所示）.证明图1P作/ F1PF2的外角平分线所在的直线1(/3=/4).先证明1和相切于点P,只要证明l如图2所示，设P为椭圆(其左、右焦点分别是 Fi, F2)上任意给定的点，过点上异于P的点P'都在椭圆的外部，即证 PFi +

6、|P52 >|PFi +PF2 :图2在直线PFi上选取点F',使PF=PF2 ,得丽尸匕蛇52,所以|PF'=PF2|,还得PFi| |PF2| |PFi门PFFiF I |FiP PF | |PFi - PF2再过点P作/F1PF2的平分线PA(/1=/2),易得PA_Ll ,入射角等于反射角，这就 证得了引理1成立.引理2过椭圆(其中心是点O,长半轴长是a)的任一焦点F作椭圆的任意切线l的 垂线，设垂足是 H,则OH| =a.证明 如图3所示，设点F',F分别是椭圆的左、右焦点，A是椭圆的切线l上的切点，又设直线 FH,FA交于点B.图3),进而可得AFAH

7、由引理1,得NFAH =/lAF' = /BH (即反射角与入射角的余角相等9 ZiBAH ,所以点 H是FB的中点，得 OH是ZBFF'的中位线.又AF = AB ,所以1 .1.OH =q(FA AB) =q(FA AF)=a.引理3平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和证明 由余弦定理可证(这里略去过程).弓I理4 设点P是矩形ABCD所在平面上一点，则 pA2 +pc2 =pB2 + pd 证明如图4所示，设矩形ABCD的中心是点O.图4由引理3,可得_22_222222PA PC =2(OA OP)=2(OB OP ) = PB PD即欲证成立.注 把引理4推

8、广到空间，得到的结论就是：底面是矩形的四棱锥相对侧棱长的平方和 相等.定理1的证法3 可不妨设a >0,b >0 .当a =b时，易证成立.下面只证明a>b的情形.如图5所示.设椭圆的中心是点 O,左、右焦点分别是 Fi,F2 ,焦距是2c,过动点P的 两条切线分别是 PM ,PN .图5连ZOPP ,作OG_LPM,OH _LPN ,垂足分别是G,H .过点Fi作FQ_LPM ,垂足为D,由引理2得OD =a.再彳F1K 1OG 于 K .记/OF1K =8,得 |DG| = FiK =ccos9 .2 22由 Rt 刀DG ,得 OG| = OD -DG =a2 c2 c

9、os2 9 .又作F2E _LPN,F2L _LOH ,垂足分别为E,L .在 Rt AOEH中，同理可得OH |2 =OE - HE 2 =a2c2sin2e.若PM _L PN ,得矩形OGPH ,所以OP = OG| "OH =(a2 -c2 cos2 u) (a2 -c2sin2 1) =a2 b222. 2 一(2)若 OP =a +b ,得OP2 =(a2 -c2 cos2H) +(a2 -c2 sin2 8) = OG2 +|OH 2由 OG _LPM，得 OP2 = OG2 +GP2 ,所以 GP = OH .同理，有OG = HP ,所以四边形 OGPH是平行四边形

10、，进而得四边形 OGPH是矩 形，所以PM _ PN .由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的证法4 可不妨设a >0,b >0 .当a =b时，易证成立.下面只证明a>b的情形.如图6所示.设椭圆的中心是点 O,左、右焦点分别是 巳下2,焦距是2c,过动点P的两 条切线分别是PA, PB ,两切点分别为 A, B .分别作右焦点F2关于切线 PA, PB的对称点 M , N ,由椭圆的光学性质可得三点F1, A, M共线（用反射角与入射角的余角相等 ）.同理，可得三点F1, B, N共线.图6由椭圆的定义，得 MF1 =|AF1 + AF2

11、| =2a, NF1 =|BF1 +|BF2 =2a ,所以MF1 =|NF1由。是F1F2的中点，及平行四边形各边的平方和等于其两条对角线的平方和，可得PF12 +|PM 2 =|PF1 2 +|PF22 =2(OF2 2 + OP2) =2(c2 + OP2)若 PA_L PB ,得/MPF1 +/NPF1 =2(/APF2 +/BPF2) =1801 即三点 M , P,N 共线.又 PM I =|PF2 =|PN ,所以 PF1 1 MN ,进而得4a2 =|MF12 =|PF1|2+ PM 2 =2(c2 + OP2)OP2 =a2 +b2 22 ,2(2)若 OP =a2+b2,得

12、22222222112PF1 +PM| =2(c2+OP ) =2(c2+a2+b2)=4a2 =|MF1所以PF1 , PM同理，可得PFi .L PN .所以三点M , P,N共线.m1 ,、一得/APB =/APF2 +NBPF2 = (/MPF2 +/NPF2) = 90: 即 PA± PB. 2由(1),(2)得点P的轨迹方程是x2 +y2 =a2 +b2.定理1的证法5 (该证法只能证得纯粹性)可不妨设a >0,b >0 .当a=b时，易证成立.下面只证明ab的情形.如图7所示，设椭圆的中心是点O,左、右焦点分别是 巳下2,焦距是2c,过动点P的两条切线分别是

13、 PA, PB ,切点分别是 A, B .设点Fi关于直线PA, PB的对称点分别为 f/,F2'，直线FiF：与切线PA交于点G ,直线F1F2与切线PB交于点H .图7得 AF1，AF1,BF2，BF1|,再由椭圆的定义，得 EG =F2,2 =2a ,所以 OG =OH| =a.2222因为四边形PGF1H为矩形，所以由引理 4得OF/ +OP =OG +OH| =2a ,所以OP2 =a2 +b2,得点P的轨迹方程是x2 +y2 =a2 +b2.读者还可用解析几何的方法证得以下结论：22定理2 (1)双曲线 与-4 =1(a >b >0)的两条互相垂直的切线的交点的

14、轨迹是圆 a b222.2x y 二a -b ；2(2)抛物线y = 2 px的两条互相垂直的切线的交点是该抛物线的准线222定理3 (1)椭圆与+%=1(abA0)的两条斜率之积是 一号 的切线交点的轨迹方a ba2xy程是 - -4a2b2=2；（2）双曲线2.2' =1（a >0,b>0）的两条斜率之积是马的切线交点的轨迹方程是ba22土.匕 -2a2b2定理4过椭圆2222、+自=2依*>0）上任一点Mx。，yo）作椭圆与+4=1的两条a2b2a2b2切线，则(1)当 x0=±a时，所作的两条切线互相垂直;(2)当 Xo#±a时，所作的两条

15、切线斜率之积是b22，a22定理5 （1）椭圆x2+与=1（a >b >0）的两条斜率之积是 入（入#0）的切线交点的轨迹 a br是：当九=一1时，即圆x2+y2 =a2+b2（但要去掉四个点（土a,b）,（土a,b）；当九<0且九# 一1时，b2+b2=1（但要去掉四个点(土a,b),(±a,4)；当r即两条直线b .一y = ± x在椭圆a2二2a232 =1(a >b >0)外的部分(但 b2要去掉四个点（土a,b）, （土a,北）；b2当0 <九c彳时，r即双曲线aJ,=1在椭圆b2=1(a b 0)2222y2=1 在椭圆 *

16、2+ £ = 1(a a b > 0)外 a -ba b外的部分（但要去掉四个点（土a, b）, （土a, -b）；一b2.x2当九a 一时，r即双曲线2a2 ba - -的部分（但要去掉四个点（土a, b）, （士a, -Jb）.22（2）双曲线 与%=19 b 0）的两条斜率之积是 M九#0）的切线交点的轨迹 r是: a b当九二1时，即圆x2+y2 =a2 b2；22当A0时，即双曲线x 2 y一- =1 ；2 b-a2 b2a222当九1或1九父学时，即椭圆 x 2 +y一2=1 ； a2b - a -ba当b2一 F 九C 0时，不存在. a2（3）抛物线y =2px的两条斜率之积是k（九。0）的切线交点的轨迹r是:当九0时，即直线x = -p当九：0时，的方程为x P、 y1>Aj.（北京市海淀区2015届高三第一学期期末文科数学练习第14题）已知l_ O :x2+y2