已知平面平面

1、221. abc图263如图263，已知平面平面，平面平面。a，b且ab，求证。证明：在平面内作直线ca， ab，cb。，c，又，c，222. 求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行。已知：如图：a/,a/,b，求证：a/b解析： 本题可利用线面平行的性质定理来证明线线平行。证明: 如图228，过a作平面、，使得c，d，那么有 bacd点评: 本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程。这是证明线线平行的一种典型的思路。223. ABCDEFGH图229如图229：四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，（1）求

2、证：CD/平面EFGH；（2）求异面直线AB、CD所成的角。 证明：（1）截面EFGH是一个矩形，EF/GH，又GH平面BCDEF/平面BCD，而EF平面ACD，面ACD面BCDCDEF/ CD，CD/平面EFGH解：（2）则（1）知EF/ CD，同理AB/FG，由异面直线所成角的定义知EFG即为所求的角。AB、CD所成的角为90°224. 图231AMaONBb如图231：设a、b是异面直线，Aa，Bb，ABa，ABb，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点。 证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQ，OQ。b/，b平

3、面ABN，平面ABNOQ，b/ OQ，又O为AB有中点，Q为AN的中点。a/，a 平面AMN，平面AMNPQ，a/ PQ，P是MN的中点。DABCHEGF图232225.如图232：平面EFGH分别平行于CD、AB，E、F、G、H分别在BD、BC、AC、AD上，且CDa，ABb，CDAB（1）求证：EFGH是矩形（2）点E在什么位置时，EFGH的面积最大DABCHEGF图2（1）证明：CD/平面EFGH，而平面EFGH平面BCDEFCD/EF，同理HG/CD，EF/ HG，同理HE/GF，四边形EFGH为平行四边形，由CD/EF，HE/ AB，HEF为CD和AB所成的角又CDAB，HEEF四边

4、形EFGH为矩形（2）解：由（1）可知在BCD中EF/CD，设DEm，EBn226. 如图223：已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1图223解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线证明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转

5、化为证线线平行，所以关键是证线线平行。227.如图224：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN图224解析：（1）要证明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因为MN

6、G所在的平面与ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比为1：3，1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。228. ABCDEFGH如图：在正方体ABCDEFGH中，求证：平面AFH/平面BDG。解析：易证BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH图226RQSMNP229.如图：在正方体ABCDEF

7、GH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP/平面QRS。解析：先证明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再证RO/平面MNP，从而证明平面MNP/平面QRS230. 判断题：正确的在括号内打“”号，不正确的打“×”号1一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线平行 （）2如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直 （）3垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边 （）4过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内 （）5如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确

8、定的平面 （）解析： 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识来解答的问题。 解答: 1直线与平面平行，则直线与平面内的直线的位置关系不外乎有两种平行，异面，因此应打×2该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系，若为平行，则该命题应打“”号；若为相交，则该命题应打“×”号，正是因为这两种可能同时具备，因此，不说明面内这无数条线的位置关系，则该命题应打“×”号3垂直于三角形两边的直线必垂直于三角形所在的平面，由线面垂直定义的逆用，则该直线必垂直于三角形的第三边，该命题应打“”4前面介绍了两个命题，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直，过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，根据第一个命题知：过点A垂直于直线a的平面惟一，因此，过点A且与直线a垂直的直线都在过点A且与直线a垂直的平面内，该命题应