模糊数空间中几种距离的比较

1、模糊数空间中几种距离的比较关键词模糊数;距离;模糊距离;模糊回归 作者简介伍思敏,茂名学院理学院讲师,研究方向:概率论与数理统计,广东茂名,525000;广州大学数学与信息科学学院,广东广州,510006;许若宁,广州大学数学与信息科学学院,广东广州,510006 中图分类号 D159 文献标识码 A 文章编号 1007-7723(2010)02-0034-0003 模糊距离在模糊数学的分析理论和实际应用中都起着重要的作用。为了使模糊距离适合不同的模糊现象和研究需要,人们相继提出了不少的模糊距离公式。文献5、6、7基于模糊距离,研究了模糊数序列的极限、有界性、单调收敛性及闭区间套定理等分析理论

2、。文献2、3、4、8、9、10基于模糊距离,研究了不同类型的模糊回归问题等,具有较强的应用背景。这些不同的模糊数距离各有自己的优缺点和适用范围,人们可根据具体问题的特性和研究目的选择使用。本文将介绍几种常用的模糊距离,并通过例子来说明各公式的区别联系。 一、预备知识 设R为实数集, F(R)为R上全体模糊集的集合。下面给出几个基本概念及相应性质12。 定义1设 ,如果满足: (i)是正规的,即 使得 ; (ii)的 截集是R上的一个闭区间,记为;则称 为上R的模糊数,记R上的全体模糊数为 。 由模糊集的分解定理可知,有 。 如果我们定义 对于任何的 ,则 ,且 。 由多元扩展原理可以得到有关模

3、糊数的线性运算结论: 定理1设记 ,有 (i); (ii); 。 定义2设 ,如果 和, 则称 。如果 使得 和 至少一个成立,则称 。如果 ,又 ,则称 。 定义3设 ,对于任何正实数,如果 使得 或 , 则称为模糊无穷大,记为。 二、几种模糊距离 定义4 映射称为一个模糊距离,如果满足: (i)且; (ii); (iii)。 如果是模糊数的模糊距离,则称 是一个模糊度量空间。 下面将介绍几个模糊数的模糊距离。 (一)对称三角模糊数的距离3 文献3 基于对称三角模糊数,给出了对称三角模糊数的距离公式,并在此基础上研究了输入输出数据均为模糊数,而回归系数非模糊的线性回归模型。 定义5 设 为对

4、称三角形模糊数,其中 m为的对称轴,也即的中心,w是的支撑区间的一半。设都是对称三角模糊数, 的为距离 , 则 (1) 可以证明(1)式满足定义2的三个条件,因此,(1)式是一个模糊距离公式。该公式形式简单,计算方便,得到的是一个实数距离,在应用上也很方便。但是该公式只适用于对称三角模糊数,对于其他的模糊数则不能使用,使用范围非常小,这是该公式的极大局限。 (二)三角模糊数的距离4 文献4基于三角模糊数,给出了三角模糊数空间上的距离,并依据这一距离,研究了三角模糊数观测数据的线性回归问题。 定义6设 为三角模糊数,其中为 的均值, 为 的左右扩展,三角模糊数 的截集左右端点可表示为: 定义7

5、设是三角模糊数, 的距离为 ,则 (2) 同样可以证明(2)式满足定义2的三个条件,因此,(2)式是一个模糊距离公式。该公式形式简单,计算方便,容易理解,在应用上也很方便。但是该公式只适用于三角模糊数,对于其他的模糊数则不能使用,使用范围非常小;而且对于三角模糊数,其顶点是隶属度为1的点,而三角形底边两个端点则隶属度为0,在距离公式(2)中,这三个点所起的作用是一样的,没有区别,这也不太合理。 (三)一般模糊数距离(一) 文献2在文献4的基础上,考虑三角模糊数的局限性和距离的合理性,从更一般的角度出发,给出了模糊距离,并以此距离为基础,建立了从模糊数空间到模糊数空间的线性回归模型。 定义8设记

6、其 截集为 , 则 距离为: (3) 其中。 进一步,在积分号下引进单调函数 ,则 距离还可以定义为: (4) 在积分号下引进单调函数 ,这相当于对 的每一个 截集的距离进行加权,可以使隶属度高的截集在距离的确定中起到较为重要的作用。距离公式(1)、(2)、(3)都是这一距离的特例。但如何选取 也是一个需要继续探讨的问题。 (四)一般模糊数距离(二) 文献5在定义了模糊数集 的稠密性和模糊数的上确界之后,给出了一个模糊数的距离,讨论了该距离的性质,并在此基础上,研究了模糊数序列的模糊极限的定义和性质。 定义9设,如果满足条件:(i)有 ; (ii) 至少存在一个 ,使得 , 则称为的上确界,记

7、为。 定理2设,如果有上确界,则 。 定义10 设 记其 截集为 , 则 距离为: 同样可以证明(5)式满足定义2的三个条件,因此,(5)式是一个模糊距离公式。容易看到,当 为实数时, 此时 为一个非负实数,即是 之差的绝对值。因此模糊距离公式(5)是实数绝对值概念的推广。该距离是一个模糊数。但在应用此距离公式研究模糊数序列的收敛性时,要求必须满足水平收敛,以致单调收敛性受到极大约束6。 (五)一般模糊数距离(三) 为消除公式(5)中对水平收敛的要求,文献7给出新的模糊距离,并在此距离基础上,给出相应定理。 定义11设 记其 截集为 , 则 距离为: 同样可以证明(6)和(7)式满足定义2的三

8、个条件,因此,(6)和(7)式都是模糊距离公式。该距离是一个模糊数,改进了距离(5)的约束,在模糊数的单调性和收敛性方面作出了有益的贡献。 三、应用举例 为更好理解以上几个距离公式,特给出以下例子。 例1设模糊数为,求 的距离。 解:因为 为对称三角模糊数,所以可由距离公式(1)计算 的距离。 。 注:亦可由距离公式(2)计算 的距离。 例2设模糊数为,求 的距离。 解:法1 因为 为三角模糊数,所以可由距离公式(2)计算 的距离。 ; 法2由定义4,模糊数 的 截集左右端点可表示为: , 本例亦可利用距离公式(3)、(4)来计算 的距离。 由距离公式(3),得 如果取水平截集距离的全函数为

9、,则由距离公式(4),得 例31设模糊数为,求 的距离。 解: 又可表示为: , 的截集可表示为: , 则由距离公式(5),得 由距离公式(6),得 由距离公式(7),得 四、结论 模糊数距离是模糊度量空间的一个基本概念。本文给出了5种常用的模糊距离公式,并通过比较得到了几种常用模糊数距离的异同及各公式的应用范围,最后给出具体算例,增强了实用性。 参考文献 1杨纶标,高英仪. 模糊数学原理及应用:第4版M. 广州:华南理工大学出版社,2005. 2许若宁.拟合模糊数据的线性回归模型J.纯粹数学与应用数学,1997,13(2). 3胡良剑,宗云南.模糊数据的线性回归模型J.模糊系统与数学,200

10、2,16(1). 4Phil Diamond. Fuzzy least squares J. Information Science,46(1988). 5张广全.Fuzzy数的Fuzzy距离和Fuzzy极限J.模糊系统与数学,1992,6(1). 6刘慧林,冯汝鹏.一种新的模糊数距离定义J.模糊系统与数学,2003,17(3). 7刘慧林,冯汝鹏.新的模糊数的模糊距离J.模糊系统与数学,2005,19(2). 8Xu Ruoning. A linear regression model in fuzzy environment, Advances in Modeling Simulation, 1991,Vol.27(4). 9Xu Ruoning. S-curve regression in fuzzy environment, Fuz