202X届高考数学一轮复习第四章三角函数4.4解三角形课件

1、考点用正、余弦定理解三角形考点用正、余弦定理解三角形A A组自主命题组自主命题天津卷题组天津卷题组五年高考1.(2016天津理,3,5分)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=()A.1B.2C.3D.413答案答案A在ABC中,设A、B、C所对的边分别为a,b,c,则由c2=a2+b2-2abcosC,得13=9+b2-23b,即b2+3b-4=0,解得b=1(负值舍去),即AC=1.故选A.122.(2014天津理,12,5分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为.14答案答案-14解析解析由2sinB=

2、3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cosA=-.32142222bcabc222944322cccc c143.(2019天津理,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin的值.26B解析解析本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和的正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.体现了对数学运算这一核心素养的重视.满分13分.(1)在ABC中,由正弦定理=,得bsinC=csinB,又由3csinB=4asinC

3、,得3bsinC=4asinC,即3b=4a.又因为b+c=2a,得到b=a,c=a.由余弦定理可得cosB=-.sinbBsincC43232222acbac22241699223aaaaa 14(2)由(1)可得sinB=,从而sin2B=2sinBcosB=-,cos2B=cos2B-sin2B=-,故sin=sin2Bcos+cos2Bsin=-=-.21 cos B1541587826B661583278123 5716思路分析思路分析(1)由已知边角关系:3csinB=4asinC利用正弦定理,得三边比例关系,根据余弦定理即可求出cosB.(2)由(1)利用同角三角函数基本关系式,

4、求出sinB,由二倍角公式求出sin2B、cos2B,代入两角和的正弦公式即可求出sin的值.26B易错警示易错警示角B为三角形内角,故sinB0,由cosB求sinB仅有一正解.4.(2017天津文,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asinA=4bsinB,ac=(a2-b2-c2).(1)求cosA的值;(2)求sin(2B-A)的值.5解析解析(1)由asinA=4bsinB,及=,得a=2b.由ac=(a2-b2-c2),及余弦定理,得cosA=-.(2)由(1),可得sinA=,代入asinA=4bsinB,得sinB=.由(1)知,A为钝角,所

5、以cosB=.于是sin2B=2sinBcosB=,cos2B=1-2sin2B=,故sin(2B-A)=sin2BcosA-cos2BsinA=-=-.sinaAsinbB52222bcabc55acac552 55sin4aAb5521 sin B2 5545354555352 552 55规律总结规律总结解有关三角形问题时应注意:(1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合或两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑到两个定理

6、都有可能用到.(2)解三角形问题时应注意三角形内角和定理的应用及角的范围.5.(2016天津文,15,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin2B=bsinA.(1)求B;(2)若cosA=,求sinC的值.313解析解析(1)在ABC中,由=,可得asinB=bsinA,又由asin2B=bsinA,得2asinBcosB=bsinA=asinB,所以cosB=,得B=.(2)由cosA=,可得sinA=,则sinC=sin-(A+B)=sin(A+B)=sin=sinA+cosA=.sinaAsinbB333326132 236A32122 616思路分析思

7、路分析(1)利用正弦定理与二倍角的正弦公式将原式转化为角B的三角函数式进行求解;(2)利用三角形的性质及两角和的正弦公式求sinC的值.评析评析本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理等基础知识.考查运算求解能力.6.(2015天津文,16,13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知ABC的面积为3,b-c=2,cosA=-.(1)求a和sinC的值;(2)求cos的值.151426A解析解析(1)在ABC中,由cosA=-,可得sinA=.由SABC=bcsinA=3,得bc=24,又由b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b

8、2+c2-2bccosA,可得a=8.由=,得sinC=.(2)cos=cos2Acos-sin2Asin=(2cos2A-1)-2sinAcosA=.141541215sinaAsincC15826A663212157 316B B组统一命题、省组统一命题、省( (区、市区、市) )卷题组卷题组考点用正、余弦定理解三角形考点用正、余弦定理解三角形1.(2019课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA-bsinB=4csinC,cosA=-,则=()A.6B.5C.4D.314bc答案答案A本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用;考查考生的逻辑思维能力和运

9、算求解能力;考查的核心素养是数学运算与逻辑推理.由正弦定理及asinA-bsinB=4csinC得a2-b2=4c2,由余弦定理可得cosA=-.所以=6.故选A.2222bcabc232cbc14bc2.(2018课标理,6,5分)在ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB=()A.4B.C.D.22C55230295答案答案A本题考查二倍角公式和余弦定理.cos=,cosC=2cos2-1=2-1=-,又BC=1,AC=5,AB=4.故选A.2C552C1535222cosBCACBC ACC31252 1 55 23.(2018课标理,9,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a

10、,b,c.若ABC的面积为,则C=()A.B.C.D.2224abc2346答案答案C根据余弦定理得a2+b2-c2=2abcosC,因为SABC=,所以SABC=,又SABC=absinC,所以tanC=1,因为C(0,),所以C=.故选C.2224abc2cos4abC1244.(2017课标文,11,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,则C=()A.B.C.D.212643答案答案B本题考查正弦定理和两角和的正弦公式.在ABC中,sinB=sin(A+C),则sinB+sinA(sinC-cosC)=sin(

11、A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,即sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,cosAsinC+sinAsinC=0,sinC0,cosA+sinA=0,即tanA=-1,即A=.由=得=,sinC=,又0C,C=,故选B.34sinaAsincC2222sinC1246方法总结方法总结解三角形问题首先要熟悉正弦定理、余弦定理;其次还要注意应用三角形内角和定理,以达到求解三角函数值时消元的目的,例如本题中sinB=sin(A+C)的应用.5.(2017山东理,9,5分)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若ABC为锐角三角形,且满足si

12、nB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案答案A本题考查三角公式的运用和正弦定理、余弦定理.解法一:因为sinB(1+2cosC)=2sinAcosC+cosAsinC,所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sin(A+C),所以sinB+2sinBcosC=sinAcosC+sinB,即cosC(2sinB-sinA)=0,所以cosC=0或2sinB=sinA,即C=90或2b=a,又ABC为锐角三角形,所以0Cc2,故2b=a,故选A.方法总结方法总结解三角形时,可以由正弦定理、余

13、弦定理将边角互化,边角统一后,化简整理即可求解.注意灵活运用三角公式.6.(2016课标理,8,5分)在ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=()A.B.C.-D.-4133 1010101010103 1010答案答案C解法一:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在ABC中,由余弦定理的推论可知,cosBAC=-,故选C.132323532222ABACBCAB AC222259925233BCBCBCBCBC1010解法二:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在RtADC中,AC=BC,sinD

14、AC=,cosDAC=,又因为B=,所以cosBAC=cos=cosDACcos-sinDACsin=-=-,故选C.1323532 555544DAC4455222 55221010解法三:过A作ADBC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,而=(+)(+)=+=BC2-BC2=-BC2,所以cosBAC=-,故选C.解法四:过A作ADBC,垂足为D,设BC=3a(a0),结合题意知AD=BD=a,DC=2a.以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则B(-a,0),C(2a,0),A(0,a),所以=(-a,-a),=(2a,

15、-a),所以|=a,|=a,所以cosBAC=-,故选C.13232353ABACADDBADDC2ADADDCADDBDBDC192919|AB ACABAC2192533BCBCBC1010ABACAB2AC5|AB ACABAC22225aaaa10107.(2019课标文,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinA+acosB=0,则B=.答案答案34解析解析本题考查正弦定理及三角函数求值,考查的核心素养为数学运算.在ABC中,由已知及正弦定理得sinBsinA+sinAcosB=0,sinA0,sinB+cosB=0,即tanB=-1,又B(0,),B=

16、.348.(2019浙江,14,6分)在ABC中,ABC=90,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若BDC=45,则BD=,cosABD=.答案答案;12 257 210解析解析本题考查了两角差的余弦公式和正弦定理,通过解三角形考查了运算求解能力,通过长度和角度的计算体现了数学运算的核心素养.在BDC中,BC=3,sinBCD=,BDC=45,由正弦定理得=,则BD=,在ABD中,sinBAD=,cosBAD=,ADB=135,cosABD=cos180-(135+BAD)=cos(45-BAD)=cos45cosBAD+sin45sinBAD=.45sinBDBCDsinBCBDC435

17、2212 2535452243557 210思路分析思路分析在BCD中,由正弦定理求BD的值;cosABD的值可通过两角差的余弦公式求解.解题反思三角恒等变换和正弦定理、余弦定理是解三角形的基础知识,在熟练掌握的前提下,应比较运算量大小,从而选取比较理想的解法.9.(2018课标文,16,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8,则ABC的面积为.答案答案2 33解析解析本题主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用以及三角形面积的求解.由已知条件及正弦定理可得2sinBsinC=4sinAsinBsinC,

18、易知sinBsinC0,sinA=,又b2+c2-a2=8,cosA=,cosA0,cosA=,即=,bc=,ABC的面积S=bcsinA=.122222bcabc4bc324bc328 3312128 33122 33解题关键解题关键正确利用正弦定理将“边”转化为“角”,求出sinA是解决本题的关键.10.(2017浙江,14,6分)已知ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则BDC的面积是,cosBDC=.答案答案;152104解析解析本题考查余弦定理,同角三角函数关系式,二倍角公式,三角形面积公式,考查运算求解能力.AB=AC=4,BC=2,cos

19、ABC=,ABC为三角形的内角,sinABC=,sinCBD=,故SCBD=22=.BD=BC=2,ABC=2BDC.又cosABC=,2cos2BDC-1=,得cos2BDC=,又BDC为锐角,cosBDC=.2222ABBCACAB BC141541541215415214145810411.(2016课标理,13,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosA=,cosC=,a=1,则b=.45513答案答案2113解析解析由已知可得sinA=,sinC=,则sinB=sin(A+C)=+=,再由正弦定理可得=b=.351213355134512136365sinaAsi

20、nbB6316535211312.(2015北京理,12,5分)在ABC中,a=4,b=5,c=6,则=.sin2sinAC答案答案1解析解析在ABC中,由余弦定理的推论可得cosA=,由正弦定理可知=1.2222bcabc2225642 5 6 34sin2sinAC2sincossinAAC2cosaAc32446 评析评析本题主要考查正弦定理、余弦定理的推论以及二倍角公式的应用,考查学生的运算求解能力和知识的应用转化能力.13.(2019北京文,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B+C)的值.12解析解析本题主要考查余弦定理及

21、其推论的应用,旨在考查学生在解三角形中的运算求解能力,以求三角形边为背景考查数学运算的核心素养和方程思想.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c.解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-得sinB=.由正弦定理得sinA=sinB=.在ABC中,B+C=-A.所以sin(B+C)=sinA=.12121232ab3 3143 31414.(2019北京理,15,13分)在ABC中,a=3,b-c=2,cosB=-.(1)求b,c的值;(2)求sin(B-C)的值.12解析解析本题主要考查正弦、余弦定

22、理,同角三角函数的基本关系式,两角差的正弦公式等知识点,考查学生的运算能力,以及利用方程思想解决数学问题的能力,同时体现了直观想象的核心素养.(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,得b2=32+c2-23c.因为b=c+2,所以(c+2)2=32+c2-23c.解得c=5.所以b=7.(2)由cosB=-得sinB=.由正弦定理得sinC=sinB=.在ABC中,B是钝角,所以C为锐角.所以cosC=.所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=.12121232cb5 31421 sin C11144 3715.(2019课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C

23、的对边分别为a,b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求A;(2)若a+b=2c,求sinC.2解析解析本题主要考查学生对正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换的掌握;考查了学生的运算求解能力;考查的核心素养是逻辑推理与数学运算.(1)由已知得sin2B+sin2C-sin2A=sinBsinC,故由正弦定理得b2+c2-a2=bc.由余弦定理得cosA=.因为0A180,所以A=60.(2)由(1)知B=120-C,由题设及正弦定理得sinA+sin(120-C)=2sinC,即+cosC+sinC=2sinC,可得cos(C+60)=-.由于0C120,所以s

24、in(C+60)=,故sinC=sin(C+60-60)=sin(C+60)cos60-cos(C+60)sin60=.2222bcabc1226232122222624思路分析思路分析(1)先借助正弦定理将角化为边,然后利用余弦定理求出角A的余弦值,进而得出角A.(2)利用正弦定理将已知等式中的边化为角,利用三角恒等变换将原式化为含有角C的正弦、余弦的等式,利用角度变换求出sinC.16.(2019课标理,18,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asin=bsinA.(1)求B;(2)若ABC为锐角三角形,且c=1,求ABC面积的取值范围.2AC解析解析本题考查了正弦

25、定理、二倍角公式、三角形面积公式以及学生对三角恒等变换的掌握情况;考查学生逻辑推理能力和运算求解能力;考查了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)由题设及正弦定理得sinAsin=sinBsinA.因为sinA0,所以sin=sinB.由A+B+C=180,可得sin=cos,故cos=2sincos.因为cos0,故sin=,因此B=60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABC=a.2AC2AC2AC2B2B2B2B2B2B1234由正弦定理得a=+.由于ABC为锐角三角形,故0A90,0C90.由(1)知A+C=120,所以30C90,故a2,sinsincACsin(120)sinCC

26、32tanC1212从而SABC.因此,ABC面积的取值范围是.383233,82思路分析思路分析(1)用正弦定理将边化成角,再利用三角恒等变换求解角B.(2)用正弦定理先表示出边a,再用面积公式和锐角三角形的性质求出角C的范围,进而求出ABC面积的取值范围.17.(2018课标理,17,12分)在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=2,求BC.2解析解析(1)在ABD中,由正弦定理得=.由题设知,=,所以sinADB=.由题设知,ADB90,所以cosADB=.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=.在BCD中,

27、由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252=25.所以BC=5.sinBDAsinABADB5sin452sinADB2521252352522518.(2017北京理,15,13分)在ABC中,A=60,c=a.(1)求sinC的值;(2)若a=7,求ABC的面积.37解析解析本题考查正、余弦定理的应用,考查三角形的面积公式.(1)在ABC中,因为A=60,c=a,所以由正弦定理得sinC=.(2)因为a=7,所以c=7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得72=b2+32-2b3,解得b=8或b=-5(舍).所以ABC的面积S=bcsinA=8

28、3=6.37sincAa37323 31437121212323解后反思解后反思根据所给等式的结构特点,利用正弦定理将边的关系转化为角的关系是解题的关键.在求解面积时,经常用余弦定理求出两边乘积.19.(2017课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知ABC的面积为.(1)求sinBsinC;(2)若6cosBcosC=1,a=3,求ABC的周长.23sinaA解析解析本题考查正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换,考查学生利用三角形面积公式进行运算求解的能力.(1)由题设得acsinB=,即csinB=.由正弦定理得sinCsinB=.故sinBsinC=.(2)

29、由题设及(1)得cosBcosC-sinBsinC=-,即cos(B+C)=-.所以B+C=,故A=.由题设得bcsinA=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=.故ABC的周长为3+.1223sinaA123sinaA12sin3sinAA2312122331223sinaA3333思路分析思路分析(1)首先利用三角形的面积公式可得acsinB=,然后利用正弦定理,把边转化成角的形式,即可得出sinBsinC的值;(2)首先利用sinBsinC的值以及题目中给出的6cosBcosC=1,结合两角和的余弦公式求出B+C,进而得出A,然后利用三角形

30、的面积公式和a的值求出bc的值,最后利用余弦定理求出b+c的值,进而得出ABC的周长.1223sinaA20.(2017课标理,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cosB;(2)若a+c=6,ABC的面积为2,求b.2B解析解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=得sinB=8sin2,故sinB=4(1-cosB).上式两边平方,整理得17cos2B-32cosB+15=0,解得cosB=1(舍去),cosB=.(2)由cosB=得sinB=,故SABC=acsinB=ac.又SABC=2,则

31、ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)=36-2=4.所以b=2.2B151715178171241717217215117解后反思解后反思在余弦定理和三角形面积公式的运用过程中,要重视“整体运算”的技巧.如本题中b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-2ac(1+cosB)中的转化就说明了这一点.21.(2017课标理,17,15分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sinA+cosA=0,a=2,b=2.(1)求c;(2)设D为BC边上一点,且ADAC,求ABD的面积.37解析解析(1)由已知可得tan

32、A=-,所以A=.在ABC中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos,即c2+2c-24=0.解得c=-6(舍去)或c=4.(2)解法一:由题设可得CAD=,所以BAD=BAC-CAD=.故ABD面积与ACD面积的比值为=1.又ABC的面积为42sinBAC=2,所以ABD的面积为.32323261sin2612AB ADAC AD1233解法二:由余弦定理得cosC=,在RtACD中,cosC=,CD=,AD=,DB=CD=,SABD=SACD=2sinC=.27ACCD7371277373解法三:BAD=,由余弦定理得cosC=,CD=,AD=,SABD=4sinDAB=.解法四:过B作B

33、E垂直AD,交AD的延长线于E,在ABE中,EAB=-=,AB=4,BE=2,BE=CA,从而可得ADC EDB,BD=DC,即D为BC中点,SABD=SABC=24sinCAB=.6277312332326121212322.(2016课标,17,12分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosC(acosB+bcosA)=c.(1)求C;(2)若c=,ABC的面积为,求ABC的周长.73 32解析解析(1)由已知及正弦定理得,2cosC(sinAcosB+sinBcosA)=sinC,(2分)2cosCsin(A+B)=sinC.故2cosCsinC=sinC.(4分)可

34、得cosC=,所以C=.(6分)(2)由已知,得absinC=.又C=,所以ab=6.(8分)由已知及余弦定理得,a2+b2-2abcosC=7.故a2+b2=13,从而(a+b)2=25.a+b=5.(10分)所以ABC的周长为5+.(12分)123123 323723.(2016江苏,15,14分)在ABC中,AC=6,cosB=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.4546A解析解析(1)因为cosB=,0B,所以sinB=.由正弦定理知=,所以AB=5.(2)在ABC中,A+B+C=,所以A=-(B+C),于是cosA=-cos(B+C)=-cos=-cosBcos+sinBs

35、in,又cosB=,sinB=,故cosA=-+=-.因为0A,所以sinA=.4521 cos B241535sinACBsinABCsinsinACCB2623524B4445354522352221021 cos A7 210因此,cos=cosAcos+sinAsin=-+=.6A66210327 210127 2620评析评析本题主要考查正弦定理、同角三角函数的基本关系与两角和(差)的三角函数公式,考查运算求解能力.24.(2015课标文,17,12分)已知a,b,c分别为ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.(1)若a=b,求cosB;(2)设B=90,且a=

36、,求ABC的面积.2解析解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cosB=.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=.所以ABC的面积为1.(12分)2222acbac142评析评析本题考查了正弦定理、余弦定理,考查了解三角形的基本方法,属容易题.25.(2015课标理,17,12分)ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的2倍.(1)求;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.sinsinBC22解析解析(1)SABD=ABADsin

37、BAD,SADC=ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得=.(2)因为SABD SADC=BD DC,所以BD=.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.1212sinsinBCACAB122C C组教师专用题组组教师专用题组1.(2016山东文,8,5分)ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sinA).则A=()A.B.

38、C.D.34346答案答案C在ABC中,由b=c,得cosA=,又a2=2b2(1-sinA),所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A(0,),所以A=,故选C.2222bcabc22222bab4评析评析恰当运用余弦定理的变形形式是求解本题的关键.2.(2016课标文,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cosA=,则b=()A.B.C.2D.352323答案答案D由余弦定理得5=22+b2-22bcosA,cosA=,3b2-8b-3=0,b=3.故选D.2313b 舍去评析评析本题考查了余弦定理的应用,考查了方程的思想方法.3.(2015广东

39、文,5,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且bc,则b=()A.3B.2C.2D.33223答案答案C由b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,b8B.ab(a+b)16C.6abc12D.12abc24122答案答案A设ABC的外接圆半径为R,由三角形内角和定理知A+C=-B,A+B=-C.于是sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+sin2A+sin2B=-sin2C+sin2A+sin2B+sin2C=2sin(A+B)cos(A-B)+2sinCcosC=2sinCcos(A-B)-co

40、s(A+B)=4sinAsinBsinC=sinAsinBsinC=.则S=absinC=2R2sinAsinBsinC=R21,2,R2,2,abc=8R3sinAsinBsinC=R38,16,知C、D均不正确.bc(b+c)bca=R38,A正确.事实上,注意到a、b、c的无序性,并且168,若B成立,则A必然成立,排除B.故选A.1212121212121812142226.(2018北京文,14,5分)若ABC的面积为(a2+c2-b2),且C为钝角,则B=;的取值范围是.34ca答案答案;(2,+)3解析解析本题主要考查正弦、余弦定理,三角形面积公式,三角恒等变换.依题意有acsi

41、nB=(a2+c2-b2)=2accosB,则tanB=,0B,又A0,0A,则0tanA,故+=2.故的取值范围为(2,+).12343433casinsinCA2sin3sinAA123cos2sinAA12321tan A2326331tan A3ca12323ca7.(2017课标文,16,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA,则B=.答案答案60解析解析解法一:由正弦定理得2sinBcosB=sinAcosC+sinCcosA,即sin2B=sin(A+C),即sin2B=sin(180-B),可得B=60.解法二:由余弦定理得2

42、b=a+c,即b=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cosB=,又0Bb,B=45,A=75.3sin606sinB22易错警示易错警示本题求得sinB=后,要注意利用b0),有2=t2+t,即t2+t-2=0,解得t=1或t=-2(舍去),故=1.23331222bc2bcc2bcbcbcbc思路分析思路分析本题先由余弦定理列出关于b、c的方程,再将方程转化为以为变元的方程求解.bc评析评析本题考查余弦定理的应用及换元思想的应用,属中档题.10.(2016江苏,14,5分)在锐角三角形ABC中,若sinA=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.答案答案8解析解析sinA

43、=2sinBsinC,sin(B+C)=2sinBsinC,即sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC,亦即tanB+tanC=2tanBtanC,tanA=tan-(B+C)=-tan(B+C)=-=,又ABC为锐角三角形,tanA=0,tanB+tanC0,tanBtanC1,tanAtanBtanC=tanBtanC=,令tanBtanC-1=t,则t0,tanAtanBtanC=22(2+2)=8,当且仅当t=,即tanBtanC=2时,取“=”.tanAtanBtanC的最小值为8.tantan1tantanBCBCtantan1tantanBCBCtantantant

44、an1BCBCtantantantan1BCBC22(tantan)tantan1BCBC 22(1)tt12tt1t11.(2015安徽文,12,5分)在ABC中,AB=,A=75,B=45,则AC=.6答案答案2解析解析由已知及三角形内角和定理得C=60,由=知AC=2.sinABCsinACBsinsinABBC6 sin45sin6012.(2015北京文,11,5分)在ABC中,a=3,b=,A=,则B=.623答案答案4解析解析由正弦定理知sinB=,又因为ab,所以AB,所以B=.sinbAa26sin3322413.(2015福建文,14,4分)若ABC中,AC=,A=45,C

45、=75,则BC=.3答案答案2解析解析B=180-45-75=60.由正弦定理得=,可得BC=.sinACBsinBCA214.(2015广东理,11,5分)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sinB=,C=,则b=.3126答案答案1解析解析在ABC中,由sinB=,可得B=或B=,结合C=可知B=.从而A=,利用正弦定理=,可得b=1.126566623sinaAsinbB15.(2014课标文,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角MAN=60,C点的仰角CAB=45以及MAC=75;从C点测得MCA=60.已知

46、山高BC=100m,则山高MN=m.答案答案150解析解析在RtABC中,CAB=45,BC=100m,所以AC=100m.在AMC中,MAC=75,MCA=60,从而AMC=45,由正弦定理得,=,因此AM=100m.在RtMNA中,AM=100m,MAN=60,由=sin60得MN=100=150m,故填150.2sin45ACsin60AM33MNAM332思路分析思路分析在RtABC中,由条件利用直角三角形中的边角关系求得AC;在AMC中,由条件利用正弦定理求得AM;在RtMNA中,根据MN=AMsinMAN求得结果.16.(2015陕西理,17,12分)ABC的内角A,B,C所对的边

47、分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cosA,sinB)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求ABC的面积.37解析解析(1)因为mn,所以asinB-bcosA=0,由正弦定理,得sinAsinB-sinBcosA=0,又sinB0,从而tanA=,由于0A0,所以c=3.故ABC的面积为bcsinA=.解法二:由正弦定理,得=,333373123 327sin32sin B从而sinB=,又由ab,知AB,所以cosB=.2172 77故sinC=sin(A+B)=sin=sinBcos+cosBsin=.所以ABC的面积为absinC=.3B333 2114123 3217.

48、(2015安徽理,16,12分)在ABC中,A=,AB=6,AC=3,点D在BC边上,AD=BD,求AD的长.342解析解析设ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosBAC=(3)2+62-236cos=18+36-(-36)=90,所以a=3.又由正弦定理得sinB=,由题意知0B0,所以A.于是sinA+sinC=sinA+sin=sinA+cos2A=-2sin2A+sinA+1=-2+.sincosAAabsinsinAB2A2,22222A20,422A21sin4A98因为0A,所以0sinA,因此cosB的()A.充分必要条件B.

49、充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件答案答案B当A=,B=时,满足sinAcosB,但此时ABC是直角三角形,即必要性不成立;当ABC为锐角三角形时,A+B,即A-B,sinAsin=cosB,故sinAcosB成立,即充分性成立.“ABC为锐角三角形”是“sinAcosB”的充分不必要条件,故选B.23222B评析评析本题主要考查充分条件和必要条件的应用,利用三角函数的诱导公式是解决本题的关键.2.(2019天津和平一模理)在ABC中,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则ABC的面积为()A.B.1C.D.2123答案答案C由余弦定理可得cosA=,所以A=,sinA=

50、,所以SABC=bcsinA=4=.2222bcabc2bcbc123321212323思路分析思路分析由余弦定理可求角A,然后代入三角形的面积公式即可.评析评析本题考查了余弦定理及三角形的面积公式,是基础题.二、填空题(共5分)3.(2019天津部分区二模理)ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,B=,b=2,则ABC的周长的最大值是.33答案答案63解析解析由正弦定理得a=4sinA,c=4sinC,a+b+c=2+4(sinA+sinC)=2+4sinA+sin(A+B)=2+4=2+4sin,B=,A,A+,sin,ABC的周长的取值范围为(4,6,故ABC的周长的最大值是6

51、.sinsinbABsinsinbCB33333sincos22AA336A320,365,666A1,12333三、解答题(共70分)4.(2019天津九校联考一模理)已知ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a=7,角A=60,且sinB+sinC=.(1)求bc的值;(2)若bc,求cos(2B+A)的值.13 314解析解析(1)由正弦定理结合分式的性质得=,b+c=13,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA,即a2=(b+c)2-2bc-2bccosA,72=132-2bc-2bc,bc=40.(2)b+c=13,bc=40,bc,b=5,c=8,cosB=,sin

52、B=,cos2B=2cos2B-1=,sin2B=2sinBcosB=,cos(2B+A)=cos2Bcos-sin2Bsin=-.sinaAsinsinbcBC(sinsin)sinaBCA13 371432122222acbac11145 31446196110 31963371985.(2019天津和平一模理)设ABC的内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求cos的值.26A解析解析(1)由A=2B,知sinA=sin2B=2sinBcosB,由正、余弦定理得a=2b.因为b=3,c=1,所以a2=12,所以a=2.(2)由余弦定理

53、得cosA=-.因为0A,所以sinA=,所以sin2A=-,cos2A=-,所以cos=cos2Acos-sin2Asin=.2222acbac32222bcabc9 1 126 1321 cos A1192 234 297926A664 27 318评析评析本题主要考查解三角形的应用,利用正弦定理、余弦定理以及两角和的余弦公式是解决本题的关键.考查学生的计算能力.思路分析思路分析(1)利用正弦定理和余弦定理建立方程进行求解;(2)利用两角和的余弦公式进行求解6.(2019天津河西一模理)在ABC中,A、B、C的对边为a、b、c.已知acosC+c=b.(1)求A;(2)若b=4,c=6,求

54、cosB和cos(A+2B)的值.12解析解析(1)acosC+c=b,sinAcosC+sinC=sinB,又sinB=sin(A+C),sinAcosC+sinC=sinAcosC+cosAsinC,sinC0,cosA=,A(0,),A=.(2)在ABC中,b=4,c=6,A=,由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA=16+36-246=28,a=2,由正弦定理,可得sinB=,1212121233127sinbAa37ba,cosB=,sin2B=2sinBcosB=,cos2B=2cos2B-1=,21 sin B274 3717cos(A+2B)=cosAcos2B-sinAsin2B=-.1114思路分析思路分析(1)由正弦定理,两角和的正弦公式化简已知等式,结合sinC0,可得cosA=,结合A(0,),可求得A的值.(2)由已知及余弦定理可得a的值,利用正弦定理可求sinB的值,利用同角三角函数基本关系式可求cosB的值,利用二倍角公式,两角和的余弦公式即可得cos(A+2B)的值.127.(