第4讲　万有引力与航天 讲义

1、.第4讲万有引力与航天见学生用书P064微知识1 开普勒行星运动定律1开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。2开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。3开普勒第三定律：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，表达式：k。微知识2 万有引力定律1公式：FG，其中G6.67×1011_N·m2/kg2，叫引力常量。2公式适用条件：此公式适用于质点间的互相作用。当两物体间的间隔 远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r是两球心间的间隔 。一个均匀球体与

2、球外一个质点间的万有引力也适用，其中r为球心到质点间的间隔 。微知识3 卫星运行规律和宇宙速度1地球同步卫星的特点1轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合。2周期一定：与地球自转周期一样，即T24 h86 400 s。3角速度一定：与地球自转的角速度一样。4高度一定：据Gmr得r4.24×104 km，卫星离地面高度hrR5.6R为恒量。5速率一定：运动速度v2r/T3.08 km/s为恒量。6绕行方向一定：与地球自转的方向一致。2极地卫星和近地卫星1极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。2近地卫星是在地球外表附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行

3、的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9 km/s。3两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。3三种宇宙速度比较微知识4 经典时空观和相对论时空观1经典时空观1在经典力学中，物体的质量是不随速度的改变而改变的。2在经典力学中，同一物理过程发生的位移和对应时间的测量结果在不同的参考系中是一样的。2相对论时空观同一过程的位移和时间的测量与参考系有关，在不同的参考系中不同。3经典力学有它的适用范围只适用于低速运动，不适用于高速运动；只适用于宏观世界，不适用于微观世界。一、思维辨析判断正误，正确的画“，错误的画“×。1只要知道两个物体的质量和两物体之间的间隔 ，就可以由FG来

4、计算物体间的万有引力。×2第一宇宙速度与地球的质量有关。3地球同步卫星的运行速度大于第一宇宙速度。×4发射探月卫星的速度必须大于第二宇宙速度。×5地球对其外表的物体的万有引力就是物体的重力。×二、对点微练1开普勒三定律火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方D一样时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析行星做椭圆运动，且在不同的轨道上，所以A、B项错误；根据开普勒第三定律，可知C项正

5、确；对在某一轨道上运动的天体来说，天体与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，而题中是两个天体、两个轨道，所以D项错误。答案C2对万有引力定律的理解一名宇航员来到一个星球上，假如该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是它在地球上所受万有引力的A0.25倍B0.5倍C2.0倍D4.0倍解析由F引2F地，故C项正确。答案C3对宇宙速度的理解北斗卫星导航系统是我国自行研制开发的区域性三维卫星定位与通信系统CNSS，建成后的北斗卫星导航系统包括5颗同步卫星和30颗一般轨道卫星。对于其中的5颗同步卫星，以下说法正确的选项是A它们运行的线速度一

6、定不小于7.9 km/sB地球对它们的吸引力一定一样C一定位于赤道上空同一轨道上D它们运行的加速度一定一样解析同步卫星运行的线速度一定小于7.9 km/s，选项A错误；由于5颗同步卫星的质量不一定相等，所以地球对它们的吸引力不一定一样，选项B错误；5颗同步卫星一定位于赤道上空同一轨道上，它们运行的加速度大小一定相等，方向不一样，选项C正确，D错误。答案C见学生用书P065微考点1天体质量和密度的计算核|心|微|讲天体质量及密度的估算方法典|例|微|探【例1】多项选择1798年，英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。假设万有引力常量G，地球外表处的重力

7、加速度g，地球半径R，地球上一个昼夜的时间T1地球自转周期，一年的时间T2地球公转周期，地球中心到月球中心的间隔 L1，地球中心到太阳中心的间隔 L2。你能计算出A地球的质量m地B太阳的质量m太C月球的质量m月D可求月球、地球及太阳的密度【解题导思】1假设万有引力常量、天体外表的重力加速度和半径，能否求出天体的质量？答：能，用关系式Gmg。2假设万有引力常量、地球绕太阳运动的周期和半径，能否求出地球的质量？答：不能，由万有引力提供向心力G知，只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量。解析对地球外表的一个物体m0来说，应有m0g，所以地球质量m地，选项A正确；对地球绕太阳运动来说，有m地L2，那么

8、m太，B项正确；对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C、D项错误。答案AB估算天体质量和密度时应注意的问题1利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。2区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体外表附近的卫星才有rR；计算天体密度时，VR3中的R只能是中心天体的半径。题|组|微|练1过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳

9、运动半径的。该中心恒星与太阳的质量比约为A.B1C5D10解析行星绕恒星做圆周运动，万有引力提供向心力，Gmr2，得M，该中心恒星的质量与太阳的质量之比·3×1，B项正确。答案B2我国成功发射“嫦娥三号探测器，实现了我国航天器首次在地外天体软着陆和巡视探测活动，月球半径为R0，月球外表处重力加速度为g0。地球和月球的半径之比为4，外表重力加速度之比为6，地球和月球的密度之比为A.B.C4 D6解析设星球的密度为，由Gmg得GMgR2，联立解得，设地球、月球的密度分别为、0，那么，将4，6代入上式，解得，选项B正确。答案B微考点2卫星的运动核|心|微|讲卫星的线速度、角速度、

10、周期与轨道半径的关系做匀速圆周运动的卫星所受万有引力完全提供所需向心力，即由Gmmr2mrman可推导出：当r增大时典|例|微|探【例2】 多项选择如下图，a、b是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，它们距地面的高度分别是R和2RR为地球半径。以下说法正确的选项是Aa、b的线速度大小之比是1Ba、b的周期之比是12Ca、b的角速度大小之比是34Da、b的向心加速度大小之比是94【解题导思】1a、b两卫星的轨道半径不同，但均由万有引力提供向心力，此说法对吗？答：对。2卫星绕天体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、向心加速度、周期与半径有关吗？答：上述物理量均与半径有关。解析卫星绕地球做匀速圆周运动

11、所需要的向心力由地球给卫星的万有引力提供。由Gm得，故A项错；由Gm2r得，故B项错；由Gm2r得，故C项正确；由Gma得，故D项正确。答案CD题|组|微|练3a、b、c、d是在地球大气层外的圆形轨道上运行的四颗人造卫星。其中a、c的轨道相交于P，b、d在同一个圆轨道上，b、c轨道在同一平面上。某时刻四颗卫星的运行方向及位置如下图。以下说法正确的选项是Aa、c的加速度大小相等，且大于b的加速度Bb、c的角速度大小相等，且小于a的角速度Ca、c的线速度大小相等，且小于d的线速度Da、c存在在P点相撞的危险解析由Gmmr2mrma，可知B、C项错误，A项正确；vavc，TaTc，所以a、c不会相撞

12、，D项错误。答案A4多项选择美国科学家曾宣布：人类在太阳系外围发现了一颗过去未知的巨行星，绰号为“九号行星。它的质量约为地球质量的10倍，绕太阳公转周期为1万至2万年。假设认为包括“九号行星在内的所有行星公转轨道近似为圆，不考虑各行星之间的互相作用，以下说法正确的选项是A“九号行星的公转轨道半径比地球的公转轨道半径大B“九号行星的公转线速度比地球的公转线速度大C“九号行星的公转角速度比地球的公转角速度小D“九号行星的公转向心加速度约为地球公转向心加速度的解析根据k，可以知道周期越大，那么半径越大，应选项A正确；根据m，那么v，可以知道，半径越大那么线速度越小，应选项B错误；根据m2r，那么，那

13、么半径越大，角速度越小，应选项C正确；根据k和a可知，“九号行星的向心加速度约为地球向心加速度的倍，D项错误。答案AC微考点3卫星的发射和变轨核|心|微|讲1稳定运行卫星绕天体稳定运行时万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，由m得v。由此可知，轨道半径r越大，卫星的速度越小。当卫星由于某种原因速度v突然改变时，F引和m不再相等，因此就不能再根据v来确定v的大小，当F引时，卫星做近心运动；当F引时，卫星做离心运动。2变轨运行人造卫星在轨道变换时，总是主动或由于其他原因使速度发生变化，导致万有引力与向心力相等的关系被破坏，继而发生近心运动或者离心运动，发生变轨。在变轨过程中，由于动能和势能的互相转

14、化，可能出现万有引力与向心力再次相等，卫星即定位于新的轨道。典|例|微|探【例3】中国在西昌卫星发射中心成功发射“亚太九号通信卫星，该卫星运行的轨道示意图如下图，卫星先沿椭圆轨道1运行，近地点为Q，远地点为P。当卫星经过P点时点火加速，使卫星由椭圆轨道1转移到地球同步轨道2上运行，以下说法正确的选项是A卫星在轨道1和轨道2上运动时的机械能相等B卫星在轨道1上运行经过P点的速度大于经过Q点的速度C卫星在轨道2上时处于超重状态D卫星在轨道1上运行经过P点的加速度等于在轨道2上运行经过P点的加速度【解题导思】1卫星的轨道半径越大，其机械能也越大还是越小？答：越大。2卫星的加速度由什么决定？答：由万有

15、引力和卫星的质量决定。解析卫星在两轨道上运动的机械能不相等，A项错；在轨道上运行经过P点的速度应小于近地点Q的速度，万有引力做正功使动能增加，B项错；卫星在轨道上应处于失重状态，C项错；由万有引力提供向心力可知：Gma，a，在同一点P加速度相等，D项对。答案D题|组|微|练5多项选择目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小。假设卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，那么以下判断正确的选项是A卫星的动能逐渐减小B由于地球引力做正功，引力势能一定减小C由于气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变D卫星抑制气体

16、阻力做的功小于引力势能的减小解析根据Gm，得v，可知轨道半径越小，那么v越大，动能越大，故A项错误；根据功能关系，引力做正功，引力势能一定减小，故B项正确；根据功能关系，机械能的变化与除重力以外其他力做功有关，既然气体阻力做了负功，机械能一定会减小，故C项错误；根据动能定理，WGW阻Ek2Ek1，由于卫星的动能逐渐增大，所以WG>W阻，故D项正确。答案BD6美国曾在夏威夷考艾乌的太平洋导弹靶场进展过一次中段反导试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段。如下图，一枚蓝军弹道导弹从地面上A点发射升空，目的是攻击红军基地B点，导弹升空后，红军反导预警系统立即发现目的，从C点发射拦

17、截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D将其击毁，以下说法正确的选项是A图中E到D过程，弹道导弹机械能不断增大B图中E到D过程，弹道导弹的加速度大小不变C弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆D弹道导弹飞行至D点时速度大于7.9 km/s解析E到D过程，依靠惯性飞行，只受引力，只有引力做功，机械能守恒，故A项错误；E到D过程，高度增大，地球对导弹的引力减小，加速度减小，故B项错误；根据开普勒第一定律，导弹在大气层外只受地球引力，其运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，故C项正确；根据开普勒第二定律，导弹离地面越远速度越小，离地面越近速度越大，地面附近的速度为第一宇宙速度7.9 km/s，所以弹道

18、导弹飞行至D点时速度小于7.9 km/s，故D项错误。应选C项。答案C见学生用书P067双星模型素能培养1模型构建在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在互相之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期一样的匀速圆周运动的恒星称为双星。2模型条件1两颗星彼此相距较近。2两颗星靠互相之间的万有引力做匀速圆周运动。3两颗星绕同一圆心做圆周运动。3模型特点1“向心力等大反向两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F1F2，且方向相反，分别作用在两颗恒星上，是一对作用力和反作用力。2“周期、角速度一样两颗恒星做匀速圆周运动的周期、角速度相等。3“半径反比圆心在两颗恒星的连线上，且r1r2L

19、，两颗恒星做匀速圆周运动的半径与恒星的质量成反比。4巧妙求质量和m12r1m22r2得2L，所以m1m2。经典考题双星系统由两颗恒星组成，两恒星在互相引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期一样的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、间隔 和周期均可能发生变化。假设某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的间隔 变为原来的n倍，那么此时圆周运动的周期为A. TB. TC. TD. T解析双星间的万有引力提供向心力。设原来双星间的间隔 为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星间隔 为r。对质量为m的恒星Gm

20、2r，对质量为M的恒星GM2Lr，得GL，即T2，那么当总质量为kMm，间距为LnL时，TT，选项B正确。答案B【反思总结】分析求解双星或多星问题的两个关键点1向心力来源：双星问题中，向心力来源于另一星体的万有引力；多星问题中，向心力那么来源于其余星体的万有引力的合力。2圆心或轨道半径确实定及求解：双星问题中，轨道的圆心位于两星连线上某处，只有两星质量相等时才位于连线的中点，此处极易发生的错误是列式时将两星之间的间隔 当作轨道半径；多星问题中，也只有各星体的质量相等时轨道圆心才会位于几何图形的中心位置，解题时一定要弄清题给条件。对法对题1. 多项选择宇宙中，两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间

21、的万有引力作用互相绕转，称之为双星系统。在浩瀚的银河系中，多数恒星都是双星系统。设某双星系统A、B绕其连线上的O点做匀速圆周运动，如下图。假设AO>OB，那么A星球A的质量一定大于B的质量B星球A的线速度一定大于B的线速度C双星间间隔 一定，双星的质量越大，其转动周期越大D双星的质量一定，双星之间的间隔 越大，其转动周期越大解析设双星质量分别为mA、mB，轨道半径分别为RA、RB，两者间距为L，周期为T，角速度为，由万有引力定律可知：mA2RA，mB2RB，RARBL，由式可得，而AOOB，故A项错误；vARA，vBRB，B项正确；联立得GmAmB2L3，又因为T，故T2 ，可知C项错误

22、，D项正确。答案BD2. 多项选择宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如下图，三颗质量均为m的星位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引力常量为G，那么A每颗星做圆周运动的线速度为B每颗星做圆周运动的角速度为C每颗星做圆周运动的周期为2 D每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关解析由图可知，每颗星做匀速圆周运动的半径rR。由牛顿第二定律得·2cos30°mm2rmrma可解得v，T2 ，a，故A、B、C项均正确，D项错误。答案ABC见学生用书P0671关于行星运动的规

23、律，以下说法符合史实的是A开普勒在牛顿定律的根底上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的根底上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律解析开普勒在第谷的观测数据的根底上，总结出了行星运动的规律，B项正确；牛顿在开普勒总结的行星运动规律的根底上发现了万有引力定律，找出了行星运动的原因，A、C、D项错。答案B2我国于2016年10月17日发射“神舟十一号飞船与“天宫二号对接，并于11月18日顺利返回。假设“天宫二号与“神舟十一号都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，以下措施可行的是A使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接B使飞船与空间实验室在同一轨道上运