第3讲　运动图象　追及相遇问题 讲义

1、.第3讲运动图象追及相遇问题板块一主干梳理·夯实根底【知识点1】匀变速直线运动的图象1直线运动的x­t图象1意义：反映了直线运动的物体位移随时间变化的规律。2图线上某点切线的斜率的意义斜率大小：表示物体速度的大小。斜率的正负：表示物体速度的方向。3两种特殊的x­t图象假设x­t图象是一条平行于时间轴的直线，说明物体处于静止状态。如图中甲所示假设x­t图象是一条倾斜的直线，说明物体在做匀速直线运动。如图中乙所示2直线运动的v­t图象1意义：反映了直线运动的物体速度随时间变化的规律。2图线上某点切线的斜率的意义斜率的大小：表示物体加速度的

2、大小。斜率的正负：表示物体加速度的方向。3两种特殊的v­t图象匀速直线运动的v­t图象是与横轴平行的直线。如图中甲所示匀变速直线运动的v­t图象是一条倾斜的直线。如图中乙所示4图线与坐标轴围成的“面积的意义图线与坐标轴围成的“面积表示相应时间内的位移。假设此面积在时间轴的上方，表示这段时间内的位移方向为正方向；假设此面积在时间轴的下方，表示这段时间内的位移方向为负方向。3直线运动的a­t图象1意义：反映了直线运动的物体，加速度随时间变化的规律。2匀变速直线运动的a­t图象，只能是与t轴平行的直线。3图线与坐标轴围成“面积的意义：速度的变化v。【

3、知识点2】追及和相遇问题1追及问题的两类情况 1假设后者能追上前者，追上时，两者处于同一位置，且后者速度一定不小于前者速度。2假设后者追不上前者，那么当后者速度与前者速度相等时，两者相距最近。同向运动相隔一定的初始间隔 s0的问题：速度大者减速如匀减速直线运动追速度小者如匀速运动。a假设两者速度相等时，追者位移仍小于被追者位移与s0之和，那么永远追不上，此时两者间有最小间隔 。b假设两者位移相等时，速度也相等，那么恰能追上，也是两者防止碰撞的临界条件。c假设两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，那么被追者还有一次追上追者的时机，其间速度相等时两者间距有一个最大值。从同一地点出发开场同向运

4、动的问题：速度小者加速如初速度为零的匀加速直线运动追速度大者如匀速运动。a当两者速度相等时两者间有最大间隔 。b假设两者位移相等时，那么追上。2相遇问题1同向运动的两物体追上即相遇。两物体位移大小之差等于开场时两物体间距。2相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开场时两物体的间隔 时即相遇。板块二考点细研·悟法培优考点1运动图象的应用深化理解1应用运动图象的三点注意1无论是x­t图象还是v­t图象都只能描绘直线运动。2x­t图象和v­t图象都不表示物体运动的轨迹。3x­t图象和v­t图象的形状由x与t、v与t的函数关系

5、决定。2应用运动图象解题“六看x­t图象v­t图象轴横轴为时间t，纵轴为位移x横轴为时间t，纵轴为速度v线倾斜直线表示匀速直线运动倾斜直线表示匀变速直线运动斜率表示速度表示加速度续表x­t图象v­t图象面积无实际意义图线和时间轴围成的面积表示位移纵截距表示初位置表示初速度特殊点拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等例1多项选择如下图为一质点做直线运动的速度时间图象，以下说法中正确的选项是A整个过程中，CD段和DE段的加速度数值最大B整个过程中，BC段的加速度最大C整个过程中，C点所表示的状态，离出

6、发点最远DBC段所表示的运动通过的路程是34 m 1022 s内，质点的运动方向是否发生变化？什么时刻离出发点最远？提示：当图象过时间轴时质点运动方向发生改变，t20秒时速度图象过时间轴，即方向发生了改变。t20秒时离出发点最远。2v­t图象中“面积的含义是什么？提示：图线与时间轴所围的“面积表示位移的大小。尝试解答选AD。图象的斜率表示加速度，由图知CE段斜率最大，加速度最大，A正确，B错误。t20 s时速度改变方向，所以D点所表示的状态离出发点最远，C错误。BC段和时间轴围成的面积为34 m，D正确。总结升华用速度时间图象巧得五个运动量1运动速度：从速度轴上直接读出，负值表示反向

7、运动。2运动时间：从时间轴上直接读出时刻。3运动加速度：从图线的斜率得到加速度，斜率的大小表示加速度的大小，斜率的正负反映了加速度的方向。例题中BC段加速度与CD段加速度方向相反。4运动的位移：从图线与时间轴围成的面积得到位移，图线与时间轴围成的面积表示位移的大小，横轴以上为“值，横轴以下为“值，整个过程的位移是它们的代数和，如CD段的位移为正值，DE段为负值；那CE段的总位移为0。5运动的路程：因为路程是标量。路程是图线与时间轴围成的面积的总和。汽车在平直公路上做刹车试验，假设从t0时起汽车在运动过程中的位移与速度的平方之间的关系如下图，以下说法正确的选项是At0时汽车的速度为10 m/sB

8、刹车过程持续的时间为5 sC刹车过程经过3 s时汽车的位移为7.5 mD刹车过程汽车的加速度大小为10 m/s2答案A解析由图象可得xv210，根据v2v2ax可得xv2，解得a5 m/s2，v010 m/s，A正确，D错误；汽车刹车过程的时间为t2 s，B错误；汽车经过2 s停顿，因此经过3 s时汽车的位移为x10 m，C错误。考点2追及和相遇问题解题技巧1追及和相遇问题中的一个条件和两个关系1一个条件：即两者速度相等，它往往是物体间能否追上、追不上或两者间隔 最大、最小的临界条件，也是分析判断的切入点。2两个关系：即时间关系和位移关系，这两个关系可通过画过程示意图得到。2追及相遇问题两种典

9、型情况假设物体A追物体B，开场时，两个物体相距x0，有两种典型情况：1初速度小的追初速度大的运动的物体。当vAvB时，两者相距最远。2初速度大的追初速度小的运动的物体。当vAvB时，假设已超越那么相遇两次。假设恰好追上，那么相遇一次。假设没追上，那么无法相遇，两者之间有最小间隔 。例2一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以a3 m/s2的加速度开场行驶，恰在这一时刻一辆自行车以v自6 m/s的速度匀速驶来，从旁边超过汽车。试求：1汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时间隔 是多少？2什么时候汽车能追上自行车？此时汽车的速度是多少？ 1追上前两车相距最远的条件是什

10、么？提示：两车速度相等。2追上时两车的位移关系。提示：位移之差等于初始间隔 。尝试解答12_s_6_m_24_s_12_m/s。1解法一：物理分析法汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为t1，两车间的间隔 为x，那么有v自at1所以t12 sxv自t1at6 m。解法二：相对运动法以自行车为参考系，那么从开场到相距最远的这段时间内，汽车相对这个参考系的各个物理量为初速度v0v汽初v自06 m/s6 m/s末速度vtv汽车v自0加速度aaa自3 m/s203 m/s2所以两车相距最远时经历的时间为t12 s最大间隔 x6 m负号表示汽车在后。注意：利用相对运动的方法解题，要抓住三个

11、关键：选取哪个物体为研究对象；选取哪个物体为参考系；规定哪个方向为正方向。解法三：极值法设汽车在追上自行车之前经过时间t1两车相距最远，那么xv自t1at代入数据得x6t1t由二次函数求极值的条件知：t12 s时，x有最大值6 m。所以经过t12 s后，两车相距最远，为x6 m。解法四：图象法自行车和汽车的v­t图象如下图。由图可以看出，在相遇前，t1时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的间隔 为阴影三角形的面积，所以有t1 s2 sx m6 m。2解法一：当两车位移相等时，汽车追上自行车，设此时经过的时间为t2，那么有v自t2at解得t2 s4 s此时汽车的速度v1at212 m/

12、s。解法二：由前面画出的v­t图象可以看出，在t1时刻之后，当由图线v自、v汽和tt2构成的三角形的面积与阴影部分的三角形面积相等时，汽车与自行车的位移相等，即汽车与自行车相遇，所以t22t14 s，v1at23×4 m/s12 m/s。总结升华追及相遇问题的求解方法1解题思路2解题技巧紧抓“一图三式，即：过程示意图，时间关系式、速度关系式和位移关系式。审题应抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好“恰好“最多“至少等，往往对应一个临界状态，满足相应的临界条件。假设被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停顿运动，另外还要注意最后对解的讨论分

13、析。紧紧抓住速度相等这个关键点。作此类选择题时，图象法是最好的选择，如例题中的解法四。甲、乙两车相距40.5 m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v116 m/s，加速度a12 m/s2做匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v24.0 m/s，加速度a21.0 m/s2与甲同向做匀加速直线运动。求：1甲、乙两车相遇前相距的最大间隔 ；2乙车追上甲车经历的时间。答案164.5 m211.0 s解析1解法一：甲、乙两车速度相等时间隔 最大，设时间为t1时，两车的速度相等，那么：v1a1t1v2a2t1即162t14t1，解得：t14.0 s对甲车：x1v1t1a1t48 m对乙车：x2v

14、2t1a2t24 m故甲、乙两车相遇前相距的最大间隔 ：xmaxx0x1x264.5 m解法二：甲、乙两车之间的间隔 为xv1t1a1tx0即xt12t140.5当t1 s4 s时，甲、乙两车之间的间隔 有最大值，最大值为xmax m64.5 m。2甲车运动至停顿的时间t28 s在甲车运动时间内，甲车位移：x1t264 m乙车位移：x2v2t2a2t64 m故甲车停顿时，甲、乙两车仍相距x40.5 m，甲车停顿时，乙车的速度：v2v2a2t212 m/s，故xv2t3a2t即40.512t3t，解得：t33 s乙车追上甲车的时间：tt2t311.0 s。 2019·福建高考15分一摩托车由静止开场在平直的公路上行驶，其运动过程的v­t图象如下图。求：1摩托车在020 s这段时间的加速度大小a；2摩托车在075