第2章§3 3.2　数学归纳法的应用

1、.3.2数学归纳法的应用1会利用数学归纳法证明一些简单的不等式及综合问题2理解贝努利不等式及其应用的条件，会用数学归纳法证明贝努利不等式难点根底·初探教材整理贝努利不等式定理阅读教材P38P39“练习以上部分，完成以下问题定理对任何实数x1和任何正整数n，有1xn1nx.在贝努利不等式中当x0时，n为大于1的自然数，不等式形式将有何变化？【解】当x0时，不等式将变成等式，即1xn1nx. 质疑·手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： 小组合作型贝努利不等式的简单应用设b>a>0，nN，证明：

2、ba1.【精彩点拨】由b>a>0，令1xx>0，利用贝努利不等式证明【自主解答】由b>a>0，知>1，令1xx>0，那么x1，由贝努利不等式1xn1nx，1xn1nx1n，故ba1.利用1x代换，为利用贝努利不等式创造条件.再练一题1试证明>1与>nN【证明】由nN，n12.由贝努利不等式，得1>11.2由1得>1，故>.用数学归纳法证明不等式试证明：2n2>n2nN【精彩点拨】【自主解答】1当n1时，左边2124，右边1，左边>右边；当n2时，左边2226，右边224，所以左边>右边；当n3时，左边23

3、210，右边329，所以左边>右边因此当n1,2,3时，不等式成立2假设当nkk3且kN时，不等式成立当nk1时，2k122·2k222k22>2k22k22k1k22k3k22k1k1k3因k3，那么k30，k1>0k22k1k12.所以2k12>k12.故当nk1时，原不等式也成立根据12知，原不等式对于任何nN都成立通过本例可知，在证明nk1时命题成立的过程中，针对目的k22k1，采用缩小的手段，但是由于k的取值范围(k1)太大，不便于缩小，因此，用增加奠基步骤(把验证n1扩大到验证n1，2，3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k3，促使放缩成功，

4、到达目的.再练一题2Sn1n>1，nN，求证：S2n>1n2，nN. 【导学号：94910039】【证明】1当n2时，S221>1，即n2时命题成立2假设nk时命题成立，即S2k1>1.当nk1时，S2k11>111.故当nk1时，命题也成立由12知，对nN，n2，S2n>1都成立.探究性问题设fn1，由f11>，f3>1，f7>，f15>2，.1你能得到怎样的结论？并证明；2是否存在一个正数T，使对任意的正整数n，恒有fn<T成立？并说明理由【精彩点拨】找出数列1,3,7,15，的通项公式，再利用数列，1，2，的通项公式，猜测

5、一般性的结论，然后用数学归纳法证明【自主解答】1数列1,3,7,15，的通项公式为an2n1；数列，1，2，的通项公式为an，猜测：f2n1>.下面用数学归纳法证明：当n1时，f211f11>，不等式成立假设当nkk1，kN时不等式成立，即f2k1>，那么f2k11f2k1>f2k1>f2k1>.当nk1时不等式也成立据知，对任何nN原不等式均成立2对任意给定的正数T，设它的整数部分为T，记mT1，那么m>T.由1知，f22m1>m，f22m1>T，这说明，对任意给定的正数T，总能找到正整数n如可取假设中n为2m，使得fnT，不存在正数T，

6、使得对任意的正整数n，总有fn<T成立利用数学归纳法解决探究型不等式的思想是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明，否认一个命题，只需找出一个反例即可.再练一题3假设不等式>对一切正整数n都成立，求正整数a的最大值，并证明你的结论【解】当n1时，>，那么>，a<26，又aN，取a25.下面用数学归纳法证明>.1n1时，已证2假设当nk时，>.当nk1时，>.>，>0，>也成立由1，2可知，对一切nN，都有>，a的最大值为25.构建·体系1用数学归纳法证明2nn2n5，nN成立时第二步归纳假设的正确写法

7、是A假设nk时命题成立B假设nkkN时命题成立C假设nkk5时命题成立D假设nkk>5时命题成立【解析】由题意知n5，nN，应假设nkk5时命题成立【答案】C2利用数学归纳法证明不等式1<fnn2，nN的过程，由nk到nk1时，左边增加了A1项Bk项C2k1项D2k项【解析】1.共增加2k项【答案】D3用数学归纳法证不等式1成立，起始值至少取A7B8C9D10【解析】左边等比数列求和Sn2，即1，.n7，n取8，选B.【答案】B4用数学归纳法证明1<nnN，n>1时，第一步即证明不等式_成立. 【导学号：94910040】【解析】因为n>1，所以第一步n2，即证明1<2成立【答案】1<25证明：1<2nN