函数单调性教案

1、函数的单调性一、教学背景：“函数的单调性”是新课标人教版数学1第一章第三节的教学内容。函数的单调性是函数的一条重要的性质，从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又是后续研究指数函数、对数函数、三角函数等内容的基础，在研究各种具体函数的性质，解决各种问题中都有着广泛的应用。二、教学目标：（1） 知识与技能：理解函数单调性的概念，掌握函数单调性与函数图象的关系。初步掌握判断函数单调性的方法。（2） 过程与方法：通过观察、归纳、抽象、概括等形成概念领会数形结合的数学思想方法，提高发现、分析、解决问题的能力。（3） 情感态度与价值观：在研究的过程中，激发学生的兴趣，调动学生的积极性，

2、使学生勇于提出问题，乐于探索问题，最终解决问题，感受数学的魅力。三、教学重点和难点：（1）教学重点：函数单调性的概念。（2）教学难点：根据定义证明函数单调性。四、教学方法和教学手段的选择：本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法本节课使用多媒体辅助教学，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识五、教学过程：1.创设情境，导入课题图示是某市一天24小时内的气温变化图，观察这个气温变化图，问题1：（1）请同学们指出该天的气温在如何变化？怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？（2

3、）同学们还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等学生活动：独立思考教师行为：提问、引导学生作答设计意图：要想认识和理解函数单调性这一抽象的定义，必须从几何直观入手，即从函数图象入手。这个问题的设置就是想通过实际生活中的一个例子，让学生对图象的上升和下降有一个初步的感性认识，为下一步对概念的理性认识做好铺垫。同时通过这个实例，让学生感受到函数的单调性和我们的生活密切相关，进而激发学生的兴趣，引发学生进一步学习的好奇心。2抽象思维，概念的形成过程问题2：给同学们一分钟的时间画出函数和= 的图象，回答下面两个问题：（1）分别指出上面两个函数的图象在哪个区间是上升的，在

4、哪个区间是下降的？学生活动：小组合作探求问题的答案教师行为：在问题1的基础之上，通过学生们熟悉的两个图象，进一步强化他们对图象的感性认识，引导学生能用自然语言描述出图象的变化规律，让学生大胆去说，教师逐步修正、完善学生的说法，最后给出正确答案。设计意图：从数学学科这个整体来看，数学的高度抽象性造就了数学的难懂、难教、难学，解决这一问题的基本途径是顺应学习者的认知规律，在需要和可能的情况下，尽量做到从直观入手，从具体开始，逐步抽象。以同学们熟悉的一次函数和二次函数为切入点，顺应了同学们的认知规律，做到了直观和具体。（2）同学们能根据初中学过的知识，用数学语言来描述一下“上升”和“下降”的含义吗？

5、学生活动：小组合作探求问题的答案教师行为：在知识过渡的关键点处，教师引导学生从函数变量的角度去分析问题，给学生一定的时间，让他们通过观察、思考、探究对问题做出答案。有条件的情况下，教师可通过“几何画板”展示图象上A点的运动情况，让学生观察和值的变化。运用初中所学知识就能得到结论：函数在上随着的增大，也增大。我们称这样的函数为增函数。同理我们把随着的增大而减小的函数称为减函数。 用类比的方法，我们得到：函数=在区间上，随着的增大，相应的减少。在区间上，随着的增大，相应的增大。设计意图：学生对图象的认识由感性上升到理性，这是一个难点。如果能运用几何画板，就会使问题变得直观，让学生更好的体会数与形的

6、完美结合。问题3：你能推断图象的升降趋势吗？学生活动：小组合作、交流教师行为：就学生目前的认知水平，无法得知函数的图象，学生陷入了困境，在不知图象的前提下，我们能得知图象的升降趋势吗？教师把问题抛给学生，让学生大胆猜想。可以推想，同学们在没有图象的前提之下，会想通过给函数的自变量取特殊值来说明函数的增减性，对学生的思考的预想： 预想1：如当时，；当时，显然，由此推断：当增大时，随着减小，会得出结论函数在区间上为减函数。预想2：如当=时，；当=时，显然，此推断：当增大时，随着增大，会得出结论函数在区间上为增函数。同学们的猜想对吗？用“几何画板”做出图象，并及时提问，为什么会出错？因为不能用特殊的

7、两个值来判断。我们以前学的概念是描述性定义，怎样用精确的数学语言来定义呢？3.给出定义，剖析概念教师提问：1.请大家说说上述定义的“增大”是什么意思？（比较） 2.比较至少是几个量之间？（两个） 3.怎样取这两个量？取特殊值可以吗？（不可以，必需取遍整个区间的所有值） 4.能做到一一全部都取出来吗？（不能，任意取和）引导学生写出单调性的严格定义：设函数的定义域为，如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值和，当时，都有,那么就说函数 在区间上是增函数, 称为函数的单调增区间。如果对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量的值和，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数, 称为函数的单调减区

8、间。图象的变化趋势为：对定义的分析：（1）区间：函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质（2）任意： 和具有任意性，不能用特殊值代替。（3）函数的单调性与的谁大谁小无关，表现的是函数值随自变量的变化而变化的一种趋势设计意图：函数的单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，留给学生思维的时间和空间，在课堂上随学生的思路的变化而变化，从而培养学生的创新意识，提高学生的探究能力。4.范例讲解，运用概念 例1如图，是定义在闭区间-5，5上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是是函数还是减函数？学生活动：独立思考教师行为：直接提问设计意图

9、：心理学认为概念一旦形成，必须及时加以巩固.设计例1，通过直观的的图象加深学生对函数单调性等概念的理解.注意：函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题，同时，在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。例2判断函数=在上是增函数还是减函数？并证明结论.学生活动：独立思考教师行为：直接提问证明：设任意的且，则由，得0，0于是 0即所以，=在上是增函数。设计意图：使学生从简单的函数入手，体会用定义证明函数单调性的方法，有助于学生的理解。例3物理学中的玻意耳定律（是正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当体积

10、减小时压强将增大试用函数单调性证明之学生活动：独立思考教师行为：提问：1.是函数吗？ 2.你能画出的图像吗？ 3.是否具有单调性，请猜想.4.证明你的猜想.证明：设任意的且 因为，则0又因为，则0因为0所以0即，所以体积减小，压强将增大设计意图：用数学方法证明物理学中的一个定理，体现了学科之间的整合，突出了函数单调性的重要性。没有按照传统的证明函数单调性的“四步曲”，而是设置了四个问题，尽可能的让学生去思考，这样不仅可以提高学生探究问题的能力，还可以加深学生对定义的理解.总结：利用定义证明函数单调性的步骤： 任意取值：即设该区间内的任意两个值和，且  作差变形：作差（因式分解、配方、

11、有理式等）判断定号：确定的符号得出结论：根据定义作出结论5. 归纳小结，巩固新知归纳小结是巩固新知不可或缺的环节之一，这个环节对培养学生的归纳概括能力、自我获取知识的能力是十分重要的。本节课我们采用了探究的方法来研究函数单调性的概念，从几何直观入手，最终抽象出概念，希望同学们能够学会这种探究问题的方式。对于函数单调性的应用，学习中要注意证明单调性的过程、步骤和格式。感受数学与实际相结合，体会数学的魅力，注重数与形的和谐美。6.布置作业，提高升华必做题：1.举一个实际生活中的例子，说明函数在定义域上是减函数. 2.书后32页第4题，39页第1、2题选作题：探究函数 的单调性；探究一次函数和二次函

12、数及反比例函数的单调性。 设计意图：基于函数单调性内容的特点及学生实际，对课后书面作业实施分层设置，安排基本练习题和深化探究题.学生完成作业的形式为必做、选做两种.设置必做题的目的是巩固本节课应知应会的内容，面向全体学生，人人必须完成。设置选做题的目的是为了提升能力，发展智力，选做题难度稍大一些，要求学生根据个人的实际情况尽力完成，对学有余力的尖子生要求他们要完成，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而激发学生饱满的学习兴趣. 六、教学评价  学生学习的结果评价当然重要，但是更重要的是学生学习的过程评价教师应当高度重视学生学习过程中的自信心、团队精神、合作意