微积分同步练习

1、§8.1向量及其线性运算（1）、（2）、（3）、（4）一、 设，试用表示二、为三个模为1的单位向量，且有成立，证明：可构成一个等边三角形三、 把的边四等分，设分点依次为，再把各分点与点连接，试以表示向量和四、 已知两点和，试用坐标表示式表示向量及五、 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？并画出前两个：，六、 指出下列各点的位置，观察其所具有的特征，并总结出一般规律：，七、 求点关于（1）各坐标面；（2）各坐标轴；（3）坐标原点的对称点的坐标§8.1向量及其线性运算（5） §8.2数量积 向量积一、 试证明以三点为顶点的三角形是等腰直角三角形二、 设已知两点

2、，计算向量的模、方向余弦和方向角，并求与方向一致的单位向量三、 设，求在轴上的投影及在轴上的分向量四、 已知为三个模为1的单位向量，且，求之值五、 已知，计算：； ； 六、 设，问满足何关系时，可使与轴垂直？七、 已知，求的面积§8.3曲面及其方程一、 一动点与两定点等距离，求这动点的轨迹方程二、 方程表示什么曲面？三、 将平面上的双曲线分别绕轴及轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程四、 指出下列方程在平面解析几何中和在空间解析几何中分别表示什么图形？； 五、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？； 六、 指出下列方程所表示的曲面：； ； §8.4空间曲线及其方程 §8

3、.5平面及其方程(1)一、 填空题：1曲面与平面的交线圆的方程是，其圆心坐标是，圆的半径为2曲线在面上的投影曲线为3螺旋线,在面上的投影曲线为4上半锥面（）在面上的投影为，在面上的投影为，在面上的投影为二、 选择题：1方程在空间解析几何中表示（）、椭圆柱面（）、椭圆曲线（）、两个平行平面（）、两条平行直线2参数方程的一般方程是（）、 (B)、 (C)、 (D)、3平面的位置是 （）、平行坐标面。（）、平行轴 （）、垂直于轴（）、通过轴4下列平面中通过坐标原点的平面是 （）、 ()、 (C)、 (D)、三、 化曲线为参数方程 四、 画出下列曲线在第一卦限内的图形：； . 五、 求通过三点、和的平

4、面方程§8.5平面及其方程(2)(3) §8.6空间直线及其方程一、 填空题：过点且平行于直线的直线方程为过点且与直线垂直的平面方程为过点且与二平面和平行的直线方程是4当时，直线与平面平行二、 选择题：1下列直线中平行与坐标面的是（A） （C） （B） （D）2直线与平面的关系是 （A）平行 （B）垂直相交 （C）在上 （D）相交但不垂直3设直线与，则与的夹角为（A）/6 （B）/4 （C）/3 （D）/24两平行线与之间的距离是（） （） （） （）三、 设直线通过，且与相交，又与垂直，求直线的方程四、 求通过轴，且与平面的夹角为的平面方程五、 求通过点，且又通过直线的平

5、面方程六、 设直线，（）求证与相交，并求交点坐标；（）求与交角；（）求过与交点且与垂直的平面方程；（）求过且与垂直的平面方程；（）求在上的投影直线方程第八章 习题课一、 选择题：1若直线和直线相交，则=.（A） （B） （C） （D2母线平行于轴且通过曲线的柱面方程是.（A） (B)(C) (D)3曲线的参数方程是.（） (B)（C） (D)二、 填空题：1已知与垂直，且=5，=12，则，=.2.一向量与轴和轴成等角，而与轴组成的角是它们的二倍，那么这个向量的方向角 ，.3已知从原点到某平面所作的垂线的垂足为点，则该平面方程为.三、证明：与垂直.四、求原点关于平面的对称点.五、求过点垂直于直线

6、，且平行于平面的直线方程.六、求过原点且与直线垂直相交的直线方程.七、讨论两直线与的位置关系.§9.1 多元函数的基本概念一、 已知 ，求。二、 求下列函数的定义域：1 2. 3三、求下列极限，若不存在，说明理由。1 2.3 4. 四、讨论函数的连续性。五、设，证明：对任意，在处连续。§9.2 偏导数 §9.3全微分(1)一、 计算：1. 设，求，。2. 设函数, ,且,，求。二、 求下列函数的一阶偏导数：1. 2.3.三、求下列函数的二阶偏导数：1.2. 四、设，求证：。五、求下列函数的全微分：1. 2.3.，求。六、求在点的偏导数。§9.4 多元复合

7、函数的求导法则一、 计算： 1. 设,求。 2. ，其中可微,求。二、 设,，求。三、 设，且可微，求。四、 设，求。五、 已知, 。六、 设，其中连续偏导，求。七、 设，求。八、 设函数满足, 作变换，求证：。§9.5 隐函数的求导公式 §9.6 多元微分学的几何应用（1）1. 设，求。2. 设，求，。3. 设，其中可微，求。4. 设，可微，求。5. 设，求及。6. 设，求、。7. 证明由方程（可微）确定的函数满足：。8. 求曲线，在处的切线和法平面方程。9. 求曲线在点处的切线和法平面方程。10求曲线，在点处的切线和法平面方程。§9.6 多元微分学的几何应用（

8、2） §9.7 方向导数和梯度1. 求曲面在点处的切平面与法线方程。2. 求曲面上平行于平面的切平面方程。3. 求函数在点处，沿从点到的方向的方向导数。4. 求函数在点处方向导数的最大值。5. 设，求。6. 求在点处的梯度，并求该梯度方向的方向导数。7. 求在点处沿曲线的内法向量的方向导数。8. 设是曲面在点处指向外侧的法向量，求函数在点处沿方向的方向导数。9. 试证：曲面上任意一点处切平面与三个坐标轴所围四面体体积为常数。§9.8 多元函数的极值及其求法1. 求的极值。2. 求的极值点及极值。3. 求在条件下的极值。4. 设，求在条件下的极值。5. 设，求在区域上的最大值

9、与最小值。6. 求曲线上到坐标面距离最短的点。7. 求内接于椭球面且棱平行于坐标轴的体积最大的长方体。8. 求周长为的三角形的最大面积。第九章 习题课1. 求偏导数：（1）（2）2. 已知，求。3. 设，其中具有2阶连续导数，求。4. 设，而由方程确定，其中、一阶连续可导，求。5. 设，二阶可导，求：、。6. 设，及点，（1）试求：；（2）若在处取最大值，求。7. 设满足方程，且，求。8. 证明：锥面上任一点的切平面都经过其顶点。9. 求周长为定值的三角形，使它绕自己的一边旋转所产生的旋转体体积最大者。§10.1 二重积分的概念与性质 §10.2 二重积分的计算法（1）1.

10、 利用二重积分的几何意义计算：（1）（2）由 所围，求2. 利用估值定理估计下列积分的值：（1）（2）3. 比较下列积分的大小：（1）、（2）、，4. 计算：（1）（2）5. 画出积分区域，并计算：（1），其中由所围（2），其中6. 交换积分次序：（1）（2）（3）§10.2 二重积分的计算法（1）（续）（2）1. 画出下列积分区域，并把化为极坐标系下的二次积分：（1）（2）2. 将下列二次积分化为极坐标形式并计算：（1）（2）3. 利用极坐标计算：（1）（2）4. 计算二重积分：（1），是由，直线围成（2），其中为5. 求圆锥体被柱面所截下部分的体积。6. 用二重积分表示由三个坐标

11、面及所围立体的体积，并计算之。§10.3 三重积分（1）（2）1 化三重积分为三次积分，其中积分区域分别为：（1）由双曲抛物面及平面所围成的闭区域（2）由曲面及所围成的闭区域2 计算，其中为。3 计算，其中为平面所围成的四面体。4 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积。§10.3 三重积分（2）续1 利用柱面坐标计算下列三重积分：（1），其中是由曲面及所围成的闭区域（2），其中是由曲面及平面所围成的闭区域2 利用球面坐标计算下列三重积分：（1），其中是由球面所围成的闭区域（2），其中闭区域由不等式所确定3 利用三重积分计算由曲面及所围成的立体的体积。§10.

12、4 重积分的应用 第十章 习题课（1）1 求底圆半径相等的两个直交圆柱面及所围立体的表面积。2 求球面含在圆柱面内部的那部分面积。3 计算下列二重积分：（1），其中（2），其中是圆周所围成的闭区域（3），其中第十章 习题课（2）1 交换下列二次积分的积分次序：（1）（2）2 将化为极坐标形式。3. 计算，其中。4. 求曲面包含在圆柱内那部分的面积。5. 设可微，且，求，其中。6. 计算下列三重积分：（1），其中是：与的公共部分（2），其中是由球面所围成的闭区域（3），其中是由曲面及平面所围成的闭区域§11.1 对弧长的曲线积分 §11.2 对坐标的曲线积分（1）1 计算下列

13、对弧长的曲线积分：（1），其中为（2），其中为由与所表示的圆的一周（3），其中为曲线上相应于从变到的一段弧（4），其中为内摆线2 设为双纽线：，求。§11.2 对坐标的曲线积分（2）（3） §11.3 格林公式及其应用（1）1 计算下列对坐标的曲线积分：（1），其中为及轴所围成的在第一象限内的区域的逆时针方向绕行的整个边界（2），其中为逆时针方向绕行的圆周（3），其中为从点到点的一段直线（4），其中为上从点到点的一段弧2 将对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分，其中为：（1）在平面内从点到点的直线段（2）沿的上半部分从点到点3 利用曲线积分计算星形线所围图形的面积。4 利用

14、格林公式计算下列曲线积分：（1），其中为三顶点分别为、和的三角形正向边界（2），其中为，且为逆时针方向§11.3 格林公式及其应用（2）（3）一、 验证下列曲线积分与路径无关，并求积分值：1、2、沿在右半平面的路线二、利用格林公式计算曲线积分，其中为圆周上从点到点的一段弧。三、验证下列是某一函数的全微分，并求这样的一个：1、2、四、在过点与的曲线族中，求一条曲线，使沿该曲线从到的积分的值最小。五、求可微函数，使关系式成立，其中为与轴不相交的任何闭曲线。第十一章 曲线积分及格林公式习题课一、 计算，其中为连接点、的闭折线。二、 计算，其中为圆周，直线和在第一象限内围成扇形的边界。三、

15、计算，是从沿到的圆弧。四、计算曲线积分，其中为圆周的正向；为椭圆的正向。五、设曲线积分与路径无关，其中具有连续的导数，且，计算。六、设曲线是正向圆周，是连续的正函数，证明：。§11.4 对面积的曲面积分 §11.5 对坐标的曲面积分(1)一. 计算下列对面积的曲面积分：1. , 其中是上半球面2. , 其中为柱面被平面所截取的部分3. , 其中为平面在第一卦限的部分二. 求面密度为的抛物面壳的质量。三. 如是坐标面面内的一个闭区域时, 曲面积分与二重积分有什么关系?§11.5 对坐标的曲面积分(2)(3) §11.6 高斯公式(1)一. 计算下列对坐标的

16、曲面积分：1. , 其中是球面的上半部分并取外侧2. , 其中是由平面和所围的四面体表面并取外侧二. 求流速场穿过曲面与平面所围成的立体表面的流量。三. 试把对坐标的曲面积分化成对面积的曲面积分, 其中是平面在第一卦限的部分的上侧。四. 利用高斯公式计算曲面积分, 其中是，所围正方体表面的外侧。第十一章 曲面积分及高斯公式习题课一. 计算，为球面的外侧。二. 设是球面的外侧，求曲面积分。三计算为的下侧。四.求曲面积分，为锥面与平面所围成的区域的边界曲面。五. 利用高斯公式计算曲面积分, 其中为界于和 之间的圆柱体的整个表面的外侧。六. 计算对坐标的曲面积分,其中是平行六面体的表面并取外侧, 为

17、上的连续函数。§12.1 常数项级数的概念和性质 §12.2常数项级数的审敛法（1）一、根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的收敛性：1. 2.二、判断下列级数的收敛性：1. 2.3.三、若级数收敛于1，求级数的和。四、求级数的和。五、判别下列级数的收敛性：1. 2. 3. 4. §12.2 常数项级数的审敛法（1）（2）（3）一、 用比值审敛法判断下列级数的收敛性：1. 2.3.二、 用根值审敛法判断下列级数的收敛性：1. 2.3.，其中三、 判断下列级数是否收敛？如果是收敛，是绝对收敛还是条件收敛？1. 2.3.四、 设收敛，证明绝对收敛。§12.3

18、 幂级数一、 求下列幂级数的收敛域：1. 2.3. 4.5.二、 设级数在处收敛，讨论此级数在处的敛散性。三、 利用逐项求导或逐项积分，求下列级数的和函数：1. 2.四、 求级数的和函数，并求出级数的和。§12.4 函数展开成幂级数一、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：1. 2.3. 4.二、将下列函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间：1.2.三、将函数展开成的幂级数，并求展开式成立的区间。第十二章 习题课一、 对于正项级数，（1） 若，是否一定发散？（2） 若，是否一定收敛？二、设正项数列单调减少，并且发散，判别的敛散性。三、判断下列级数的收敛性： 1. 2. 3. 4.四、讨论下列级数的绝对收敛性与条件收敛性： 1. 2.五、求下列幂级数的收敛域： 1. 2.六、求级