抛物线方程及几何意义 教案

1、适用学科高中数学适用年级高中二年级适用区域人教版课时时长（分钟）2课时知识点1. 抛物线的定义.2. 抛物线的标准方程.3. 抛物线的简单几何性质.教学目标1. 掌握抛物线的定义，标准方程.2. 掌握抛物线的几何性质.3. 体会解析几何的思想，熟悉利用代数方法研究几何问题的手段教学重点1. 抛物线定义、标准方程及几何性质，2. 利用性质解决一些问题.教学难点抛物线定义、标准方程及几何性质的灵活应用.【教学建议】抛物线是圆锥曲线的重要内容，高考主要考查抛物线的方程、焦点、准线、及其几何性质，题型上，选择题、填空题、解答题、都有可能出现，以考查学生的运算、数形结合、和分析问题的能力为主。1、 教学

2、目标 本课的教学目标是：掌握抛物线的定义、几何图形，明确焦点和准线的意义；会推导抛物线的标准方程；能够利用给定的条件求抛物线的标准方程。过程与方法：通过“观察”“探究”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观，并进一步感受坐标法及数形结合的思想。情感、态度与价值观：通过提问、讨论、思考解答等数学活动，进一步培养学生合作、交流的能力，培养学生实事求是、善于观察、勇于探索、严密细致的科学态度；激发学生积极主动参与数学学习活动，养成良好的学习习惯。教学目标明确，具体，符合新课标的要求。2、 教学过程 整个教学

3、过程包括新课的导入，抛物线概念的得出，方程的推导和熟练过程，到最后的总结，教学环节完整，层次分明，重点推导抛物线的方程，概念的得出是通过几何画板现场展示过程，让学生在体会作图的特点中感悟概念的得出，体现了知识的产生和形成过程，通过例题和练习让学生达到熟练的程度，方法合理，过程安排有序，有效突破难点。 3、 教学方法 有效运用几何画板工具，展现概念的形成过程，让学生体会到抛物线概念中的相等关系的量，为得到抛物线的概念做了很好的铺垫，概念的得出是在教师提示下学生体会得到的，方程的推导过程中，师生共同完成，有效地达到了教学效果。 4、 教师基本功 板书布局工整合理，板书中体现了本课的教学重点，教态自

4、然，语言准确，体现对数学的严谨性。 五、 创新意识 教学设计有一定新意，在导课时，采用具体形象地几何画板工具，现场展示几何图形，形象直观地让学生体会到几何作图中所包含的抽象关系，从而得出抛物线的概念。【知识导图】教学过程一、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学生建立知识网络。提供一个教学设计供讲师参考：一、课堂导入1.生活中的抛物线：（1）投篮时篮球的运行轨迹是抛物线；（2）南京秦

5、淮河三山桥的桥拱的形状是抛物线； （3）卫星天线是根据抛物线的原理制造的.2.数学中的抛物线：一元二次函数的图像是一条抛物线.提出问题：为什么一元二次函数的图像是一条抛物线？类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？ 二、抛物线的定义1.抛物线的画法（1）介绍作图规则.（2）动画展示作图过程.提出问题：笔尖所对应的点满足的几何关系是什么？（3）分析作图过程提出问题：在作图过程中，直尺，三角板，笔尖，点F中，哪些没有动？哪些动了？提出问题：在作图过程中，绳长，中，哪些量没有变？哪些量变了？（4）结论动点满足的几何关系是：动点到定点F的距离等于它到直尺的距离.2.抛物线的定义问题1：

6、你能给抛物线下个定义吗？抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线（不过）的距离相等的点的集合叫作抛物线.问题2：为什么定点不能在定直线上？若点在直线上，则轨迹为过定点垂直于直线的直线.3.抛物线的相关概念：定点：抛物线的焦点.定直线：抛物线的准线.设，焦点到准线的距离.抛物线的对称轴与抛物线的交点：抛物线的顶点三、抛物线的方程1.方程推导（1）建系请同学们将抛物线画在草稿纸上，自己建立平面直角坐标系.（2）推导问题3：以下三种建系方式，你认为哪种建系方式最好？请说明理由.提示：设，先将抛物线的焦点坐标和准线方程求出来，再来求抛物线的方程.三种建系方式下的抛物线方程分别为：，.不难得出，第二种

7、建系方式下的抛物线方程最简洁，因此第二种建系方式最好.：焦点到准线的距离.3.思考交流问题4：你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？具体要求：以顶点在原点，焦点在轴正半轴上的抛物线的标准方程为基础，分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程，不要求写过程.学生先独立思考，再小组合作交流.标准方程图形性质开口方向向右向左向上向下范围对称轴轴轴焦点坐标准线方程离心率焦半径抛物线的标准方程是指顶点放在坐标原点，焦点放在坐标轴上的抛物线的方程，一共有四种形式.4.例题分析例1.求出下列抛物线的焦点坐标和准线方程.（1）； （2

8、）；例2.根据下列条件求抛物线的标准方程.（1）焦点：； （2）准线：.四、课堂小结问题5：这节课你学到了什么？请谈谈你的收获.1.知识内容：（1）抛物线的定义：（2）抛物线的标准方程：焦点在轴正半轴：；焦点在轴负半轴：；焦点在轴正半轴：；焦点在轴负半轴：.2.学习方法与过程：类比椭圆的研究方法与过程.3.学习中用到的数学思想和方法：（1）直接法；（2）待定系数法；（3）类比的思维方法；（4）数形结合思想.二、知识讲解考点1抛物线的定义文字形式：平面内到定点的距离等于它到一条定直线的距离的点的轨迹。其中叫焦点，定直线叫准线.集合形式：（M为动点，为定点，为点M到定直线的距离）.考点2 抛物线的

9、方程及几何性质标准方程图形性质开口方向向右向左向上向下范围对称轴轴轴焦点坐标准线方程离心率焦半径 考点3 抛物线上的点到焦点的距离，利用抛物线的定义，要优先考虑转化为抛物线上的点到准线的距离来解决问题。三 、例题精析类型一 抛物线的定义及应用例题1（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程 （2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程。答案与解析（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为.（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为.【总结与反思】（1）先看清一次项，判定对称轴与焦点所在位置，画草图，再求出的值得到焦点坐标和准线方程。（2）先判定出焦点在轴上，从而得到一次项为，

10、再求出的值进而写出方程。类型二 抛物线的标准方程和几何性质例题1已知双曲线C1：1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y答案D解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py的焦点坐标为，1的渐近线方程为y±x，即y±x.由题意得2，p8.故C2的方程为x216y.例题2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_答案与解析答案解析由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2)(

11、y1>0，y2<0)，如图所示，|AF|x113，x12，y12.设AB的方程为x1ty，由消去x得y24ty40.y1y24.y2，x2，SAOB×1×|y1y2|.【总结与反思】(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此类型三 直线与抛物线的综合问题例题1已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且

12、斜率为k的直线与C交于A、B两点若·0，则k_.答案与解析答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2)则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为·(x12，y12)·(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.例题2已知抛物线C：ymx2(m>0)，焦点为F，直线2x

13、y20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由答案与解析解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，)(2)|RF|yR，23，得m.(3)存在，联立方程消去y得mx22x20，依题意，有(2)24×m×(2)>0m>.设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，)得(x1，m

14、x)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则·0，即(x1)·(x2)(mx)(mx)0，结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，)存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形【总结与反思】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整

15、体代入”等解法提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解四 、课堂运用基础1.（1）已知抛物线的标准方程是，求它的焦点坐标和准线方程.（2）已知抛物线的焦点是，求它的标准方程.2.已知抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线与抛物线交于两点，若为的中点，则抛物线的方程为 .答案与解析1. 【答案】（1），（2）【解析】（1）因为，所以抛物线的焦点坐标为，准线方程为.（2）因为抛物线的焦点在y轴上，所以抛物线方程为.2. 【答案】【解析】设抛物线的方程为.由方程组解得交点坐标为，而点是的中点，从而有，故所求抛物线的方程为.巩固1.已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和的最

16、小值为 2.抛物线的焦点坐标是( )A（2，0） B（- 2，0） C（4，0） D（- 4，0）来3. 已知点F是抛物线的焦点,M是抛物线上的动点,当最小时,M点坐标是（ ）A. B. C. D. 4.已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 答案与解析1. 过作于点(为准线），显然,当时有最小值，此时2. 由,易知焦点坐标是，故选B3. 设M到准线的距离为,则，当最小时，M点坐标是，选C4. 设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为

17、准线的一条抛物线，其方程为3.4拔高1. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于两点， 求证：（1） （2）2.已知过抛物线的焦点的弦AB长为12，则直线AB倾斜角为 .3.已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列， 则有（）A B C D. 4. 设抛物线的焦点为，直线过且与交于，两点。若，则的方程为（ ）（A）或 （B）或（C）或 （D）或答案与解析1.（1）如图设抛物线的准线为，作.两式相加即得：（2）当ABx轴时，有成立；当AB与x轴不垂直时，设焦点弦AB的方程为：.代入抛物线方程：.化简得：方程（1）之二根为x1，x2，.故不论弦AB与x轴是否垂直，恒有成立2. 由结论：若AB是

18、抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为，则，有12=（其中为直线AB的倾斜角），则，所以直线AB倾斜角为或3. 由抛物线的定义可得，由于、成等差数列，所以4. 抛物线的焦点坐标为，准线方程为，设，则因为，所以，所以。因为，所以，当时，所以此时，若，则,此时,此时直线方程为。若，则,此时,此时直线方程为。所以的方程是或，选C.五 、课堂小结1认真区分四种形式的标准方程(1)区分yax2与y22px (p>0)，前者不是抛物线的标准方程(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx (m0)或x2my(m0)2抛物线的离心率e1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等

19、于到准线的距离因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化抛物线上的点到焦点的距离根据定义转化为到准线的距离，即|PF|x|或|PF|y|.六 、课后作业基础1已知抛物线y22px(p>0)的准线与曲线x2y24x50相切，则p的值为()A2 B1 C. D.2已知抛物线y22px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()Ax1 Bx1 Cx2 Dx23已知抛物线y22px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y

20、2)，则的值一定等于()A4 B4 Cp2 Dp24(2019·浙江)如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()A. B. C. D.答案与解析1.答案A解析曲线的标准方程为(x2)2y29，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，又抛物线的准线方程为x，由抛物线的准线与圆相切得23，解得p2，故选A.2.答案B解析y22px的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)

21、，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.3.答案A解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，所以x1x2；y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk(x)，联立y22px得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2.所以y1y2p2.故4.4.答案A解析由图形可知，BCF与ACF有公共的顶点F，且A，B，C三点共线，易知BCF与ACF的面积之比就等于.由抛物线方程知焦点F(1，0)，作准线l，则l的方程为x1.点A，B在抛物线上，过A，B分别作AK，BH与准线垂直，垂足分别为点K，H，且与y轴分别交于点N，M.由抛物线定义，得|BM|BF

22、|1，|AN|AF|1.在CAN中，BMAN，.巩固1(2019·课标全国)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则|AB|等于()A. B6 C12 D72已知抛物线x22py(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A、B两点，若ABF为等边三角形，则p_.3.如图，过抛物线y22px (p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3，则此抛物线的方程为_4已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y22x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为_5.如图，已知

23、抛物线y22px (p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程6已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切答案与解析1答案C解析焦点F的坐标为，方法一直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以|AB|x1x2p12，故选C.方法二由抛物线焦点弦的性质可得|AB|12.2答案

24、6解析由题意知B，代入方程1得p6.3答案y23x解析如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：|AF|AA1|，|BF|BB1|，|BC|2|BF|，|BC|2|BB1|，BCB130°，AFx60°，连接A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则|KF|A1F1|AA1|AF|，即p，抛物线方程为y23x.4答案xy10解析依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y2x1，y2x2，两式相减得yy2(x1x2)，即1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y1x2，即xy10.

25、5解设直线OA的方程为ykx，k0，则直线OB的方程为yx，由得x0或x.A点坐标为，同理得B点坐标为(2pk2，2pk)，由|OA|1，|OB|8，可得÷得k664，即k24.则p2.又p>0，则p，故所求抛物线方程为y2x.6方法一(1)解由抛物线的定义得|AF|2.因为|AF|3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.

26、所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切方法二(1)解同方法一(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2)由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1)由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切拔高1.设直线l与抛物线

27、y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A(1,3) B(1,4) C(2,3) D(2,4)2已知抛物线y2x，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·2(其中O为坐标原点)，则ABO与AFO面积之和的最小值是()A2 B3 C. D.3抛物线C：x28y与直线y2x2相交于A，B两点，点P是抛物线C上异于A，B的一点，若直线PA，PB分别与直线y2相交于点Q，R，O为坐标原点，则·_.4 如图，已知抛物线C：x24y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴

28、的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)(1)证明：动点D在定直线上；(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2|MN1|2为定值，并求此定值5.已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)(1)求抛物线C的方程；(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点若直线AO，BO分别交直线l：yx2于M，N两点，求|MN|的最小值答案与解析1答案D 解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则相减得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，当l的斜率不存在时，符合条件的直线l必有两条；当直线l的斜率k存在时，如图x1x2，则有·2，即y0·k2，由CMAB得，k·1，y0·k5x0,25x0，x03，即M必在直线x3上，将x3代入y24x，得y212，2y02，点M在圆上，(x05)2yr2，r2y412416，又y44，4r216，2r4.故选D.2答案B解析如图，可设