断裂力学作业

1、研究生课程考试答题册学 号056060343姓 名徐红炉考试课目断裂力学考试日期2006.9西北工业大学研究生院1 分析1型裂纹尖端附近的应力应变场。考虑在无限远处受双向拉伸应力作用的型裂纹问题。其Westergaard应力函数的形式选为：，该函数满足双协调方程，其相应的应力分量为 （1a） （1b） （1c）相应的应变分量 （2a） （2b） （2c）先确定一个解析函数,使得到的应力分量应满足问题的全部边界条件。将x坐标轴取在裂纹面上，坐标原点取在裂纹中心，则边界条件为：（1） y=0,x,（2） y=0,的裂纹自由面上，；而当，随着，。因此选择函数，用z=x+iy代替上式中的x，从而有 （

2、3）满足上述边界条件。为计算方便，将原点坐标从裂纹中心移至裂纹的右端点处，采用新坐标，或写成。（7）式用新坐标可写成 （4）令 （5）则考虑裂纹尖端的附近的应力场，即在时，为一实常数。令，则，其中就是型裂纹的裂纹尖端应力强度因子。因此，在裂纹尖端处，在的很小的范围内，解析函数可以写成 （6）采用极坐标，将，从而式（10）变为即， （7a） （7b）由有， （8a） （8b）同理有 （9a） （9b）且 （10）将公式（7），（8）和（10）代入式（1），并将公式（9）代入（2）式，得到各个应力分量和应变分量的表达式，即 （11a） （11b） （11c） （12a） （12b）, （12c）其

3、中：平面应力情况：，平面应变情况：，2 试求小范围屈服时塑性区的大小，并讨论在这种情况下如何对线弹性断裂力学准则进行修正。对于平面问题，由材料力学知识知， (13a) (13b)（平面应力）；（平面应变） (13c)将公式（11）代入式（13）中，化简得到 （14a） (14b)（平面应力）；（平面应变） (14c)利用Mises屈服准则， （15）式（15）中的为材料在单向拉伸时的屈服极限。对于平面应力情况：将式（14）代入式（15），得到 （16）式（16）表示在平面应力状态下裂纹尖端塑性区的边界曲线方程，在裂纹延长线上（即在的x轴上），塑性区边界到裂纹尖端的距离为 （17）同样有，对于平

4、面应变状态下， （18）在这种情况下，当裂尖出现的是小范围屈服，则裂纹尖端附近的塑性区域被周围广大的弹性区所包围，此时只需对塑性区的影响作出考虑，而仍可用线弹性断裂理论来处理，因此可以采用“有效裂纹尺寸”法，用它对应力强度因子进行修正，得到所谓“有效应力强度因子”，作为考虑塑性区影响的修正。 若欲使线弹性理论解仍然使用，则假想将裂纹尖端向右移动，把实际的弹塑性应力场，改用一个虚构的弹性应力场来代替。可以计算出不论平面应力或是平面应变问题，裂纹长度的修正值为塑性区尺寸的一半，即修正后裂纹的裂尖正好处于x轴塑性区的中心。3 图中受单向拉伸作用的“无限大”平板，板中有一条长度为2a且与拉伸方向夹角为

5、的穿透斜裂纹。设板材的断裂韧度为已知，按最大周向应力理论和应变能密度因子理论确定开裂角和临界压应力。首先求出裂纹位置处的“当地应力”。利用材料力学中求轴向拉压时斜截面上的公式有，注意到此处，可以得到由此可以看出，这是-复合型裂纹问题，其中最大周向应力理论：将和代入有最大周向应力理论确定的公式中，化简得 当给定裂纹角时，可以由上式确定的开裂角，确定开裂角之后，将和一起代入公式，得到临界应力，应变能密度因子理论：应变能密度因子为将和一起代入上式，有其中系数根据 ，的条件，确定开裂角。然后将开裂角的代入应变能密度因子表达式中，便得到最小应变能密度因子，当达到材料对应的临界值时，裂纹开始扩展，此时对应

6、的就是临界压应力。即，由此可以得到临界压应力即4 用D-B模型计算裂纹尖端塑性区的宽度及裂纹尖端张开位移。首先确定裂纹尖端区的宽度R，假想把塑性区挖去，则在弹性塑性区的边界上应加上均匀拉力，于是得到裂纹长度为2c，外加应力是远场应力以及塑性区有应力的线弹性问题。此时裂纹尖端C的应力强度因子应由两部分组成：一个是由远场均匀拉应力产生的，另一个是由塑性区部位的裂纹表面所受的均匀应力所产生的，根据无限大板中心贯穿裂纹公式有，从而有 （19）由于C点为塑性区的端点，应力无奇异，因此=0，代入（19），得到即 （20）由于塑性区宽度R=c-a，将式（20）代入并化简得到，将上式按级数展开，且当较小时，得

7、到R的近似表达式，考虑到无限大平板有中心贯穿裂纹时，故有下面计算裂纹尖端的张开位移：首先给出Paris位移公式， （21）在初始裂纹（2a）端点处各引入一对虚拉力F，产生的为 （22）将公式（19）和（22）代入（21）式，注意到积分式表示从原点扩展到某裂纹长的过程，用变量代替2c，表示裂纹在增长过程中的瞬时长度，于是有注意到当时，对力F作用于韧带上的同一点而互相抵消，使，故只需从a到c积分，积分后有 （23）当时，公式（23）是较合适的。5 试给出双材料界面应力场的表达式。由两种各向同性材料制成的带界面裂纹的双材料弹性体，其裂纹尖端前沿的应力为 （24）其中， （25）式中：，是剪切弹性模量；对于平面应力问题， ，对于平面应变问题，是泊松比；式中下标1和2分别表示