常微分方程第二版答案第4章

1、常微分方程第4章求解下列微分方程1) 2y 二 p2 4px 2x2 (p 二巴) dx利用微分法得 (2x p)(亚10 dx虫1=0时，得p二一X c dx从而可得原方程的以P为参数的参数形式通解r222y = p +4px+2xp = _x +c或消参数P,得通解=(c22cx _ x2)22x p =0时，M消去P,得特解y=x2第1页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章2) y = pxlnx (xp)2;利用微分法得当x2 p=0时,从而可得原方程以dy5(Inx 2xp)pV dxp为参数的参数形式通解:第#页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章y =

2、 px|n(xp)2 或消 p 得通解 y=cmxV2 px = C1当Inx，2xp=0时，消去p得特解y = - (Inx)24p型cx丿解利用微分法，得22 p dx两边积分得 px1 P2 P 1 P2 x =c由此得原方程以P为参数形式的通解:y =x(p . 1 p2 ， 1 p2p2 . 1p2 x =c.或消去P得通解y2 (X -C)2 =C2用参数法求解下列微分方程1)将方程化为dx45令 y = 2 si ntdy 2costdx 5由此可推出dx-costdG2sint)<:5dt从而得=4第3页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章5t c2因此方程

3、的通解为x J 5t c，讨二、2sint第#页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章消去参数t，得通解y = 2sin s 2(x -C)对于方程除了上述通解，还有 y、2 ,=0，显然dxy= 2 和是方程的两个解。2)xF)t解：令 x = cscu ,dy- 1 cotudx 3又令tanu =t2则xsin u 2t第#页共8页常微分方程第4章2dt积分得,1 1 2“4壮2lnt-A) c2t2-4ln t由此得微分方程的通解为21 t2121xp，F(4lnT3 dv 3. dy3) x ()4-dx dx解：令 3 =xt 则 x3 x3t3 =4x2t dx解得

4、x = 4t 3又1 +tdy _ dy dx _ 4t24(1 -2t3)16t2(1 -2t3)dt _ dx * dt _ 1 t3 * (1 t3)2 一 (1 t3)316(1 -2t63)3 (1 t3)3dt3u 二t316 1-2u3 (1 u)3du=16du(1 u3)332 du3 (1 u2(1 u)2第4页共8页常微分方程第4章-A. 32丄 C(1 t )3 1 t由此得微分方程的通解为4t"一、 cxL，八 VT? 6盲 C。8321第5页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章习题4 21得用P-判别式求下列方程的奇解:解：方程的P判别式为2

5、y=xp p,x2p=0消去 p，得 y = - x x和 Fp(x,)=0 242经验证可知y二-务是方程的解。2令 F(x, y, p) = y - xp - p则有Fy (x,-x一2円，Fpp(x, -x2)一2第#页共8页常微分方程第4章第6页共8页常微分方程第4章因此，由定理4.2可知,是方程的奇解。第#页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章dy dy 22) y = 2x ()dx dx解：方程的P判别式为2y =2xp p ， x p =0第#页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章消去P,得 y =-x2，而y = -x2不是方程的解，故y =-x2

6、不是方程的奇解。第#页共8页常微分方程第4章第#页共8页常微分方程第4章3) (厂1)2学)2比dx q解：方程的P判别式为2 242(y t)2p2 =9，2(y-1)2p = 0消去P,得y = 0，显然y =0是方程的解,2 24令 F(x, y, p) = (y _1) p 一 y 则有94"Fy(x,O,O)Fpp(x,0,0) =2和 Fp(x,O,O) =0因此，由定理4.2知，y =0是方程的奇解。2举例说明，在定理4.2的条件Fy(x,x(x),x'(x) =0F；p (x, x(x), x' (x) = 0中的两个不等式是缺一不可的，解：考虑方程(

7、鱼)2 - y2 = 0dx方程(1)的P判别式为p2 -y2 =02p =0消去 P，得 y =x(x) =0令 F(x, y, p)二 p2 -y2，于是有 Fp(x,y, p)二2yFp(x,y, p) 一2pF；p(x,y,p) =2 因此虽然有Fpp(x,y,p) =2 = 0和 Fp(x,0,0) =0但是 Fy(x,0,0) =0又y =0虽然是方程的解，且容易求出方程(1)的通解为y = xex因此容易验证 y=0却不是奇解。因此由此例可看出。定理4.2中的条件Fy(x(x),x'(x) =0是不可缺少的。又考虑方程sin (丫吐)=丫dx方程(2)的 P判别式为sin

8、( yp)=y ycos(yp)=0消去 P，得 y = 0。令 F (x, y, p)二 sin( yp) - y 于是有 Fy (x, y, p)二 pcos(yp) -1，Fp(x,y, p) =ycos(yp)Fpp(x,y, p)=y sin(yp)因此，虽然有Fy(x,0,0) 1 = 0和 Fp(x,0,0) =0但 Fpp(x,0,0) =0，而经检验知 y =0是方程(2) 的解，但不是奇解。因此由此例可看出定理 4.2中的条件Fpp(x,x(x),x'(x) = 0是 不可缺少的。3.研究下面的例子，说明定理4.2的条件Fp(x,x(x),x(x) =0是不可缺少的

9、y =2x y(y')解：方程的判别式为=2x pp33消去P,得 y = 2xy -32S虽然是解，但不2检验知 y = 2x 2不是解，故不是奇解，而3是奇解人13令 F(x, y, p) = y -2x - p 3 p''2Fy(x,y,p) =1，Fp(x,y, p) - -1 pF；p(x, y, p) = 2p，所以虽有Fy(x,2x _?,2) =1 =032Fpp(x, 2x,2) = 4 = 032但是 Fp(x,2x,2) =3 =03因此此例说明定理4.2的条件Fp(x,x(x),x(x) =0是不可缺少的。习题431. 试求克莱罗方程的通解及其包

10、络解：克莱罗方程 y=xp f(p) (p二凹)(1) dx其中 f"(p) =0。对方程(1)求导值(x f'(p)dp =0dx由如二。即p 乂时 代入(1)得(1)的通解 dxy 二 ex f (c)(2)它的c判别式为Tcx+f(c)；M + f'(c) =0,由此得 上：X - -f '(c) V(c)， y - -cf '(c) f(c)(c)令V(x, y,c)二 ex f (c) y 故Vx'(c)(c),c) =cVy( ：(c)(c),c) = 一1所以(Vx,Vy)珂0,0)又('(c)'(c) =( -f

11、"(c),-cf"(c)r (0,0) (由于 f"(c) = 0 )因此上满足定理4.5相应的非蜕化性条件。故上是积分曲线族(2)的一支包络。课外补充1 求下列给定曲线族的包络。1) (x -c)2 (y -c)2 =4解：由相应的C判别式2 2V(x, y,c) =(x -c) (y-c) -4=0Vc(x, y,c) = -2(x -c) -2(y-c) =0消去C得C判别曲线(x - y)2 =8它的两支曲线的参数表示式为一“ : x = -、2 c , y - 2 c上 2: x =2 c , y = -、2 c对上 1,我们有 e:,(c)? '

12、;(c) =(i,i)=(0,0)Vx( (c)(c),c) =2(-方 c-c) - -2 .2VyC (c),'- (c),c) =2( ,2 c-c) =2 .2-(c), (c),c)v,Vy( (c)(c),c)巩0,0)因此上i满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，二2也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故上i，上2是曲线族的两支包络线。2. (x -c)2 y2 =4c解：由相应的C判别式2 2V(x, y,c) (x -c) y -4c=0VJx, y,c) - -2(x c) 一4 =0消去C得C判别曲线y2 =4(x 1)它的两支曲线的参数表示式为一“ ：x

13、= -2 c ， y = 2 -C-1二2 ：x = -2 c ， y = -2 c -11对上 1,我们有('(c)'(c) =(1,)=(0,0)(VxC (c)(c),c)v,VyC (c),t (c),c)二(一4,4 . c 一1) = (0.0)因此上1满足定理4.5的相应的非蜕化条件，同理可证，上2也满足定理4.5的相应的非蜕化条件，故上1，上2是曲线族的两支包络线。3. 证：就克莱罗方程来说，P判别曲线和方程通解的C判别曲线同样是方程 通解的包络，从而为方程的奇解。证：已知克莱罗方程的形式为八xp f(p) (p弓,f"(p)=0) ( 1)dx(1) 的通解为 y 二 ex f (c)( 2)(2) 的包络由