九年级数学上册思维特训(八)　抛物线背景下的平行四边形存在性问题

1、.思维特训八抛物线背景下的平行四边形存在性问题方法点津 ·此类问题往往由于几何图形构成条件的缺乏，需分类讨论构成完好图形的各种情形，通过确定点的坐标来解决图形的存在性问题解决此类问题时用到的主要知识和方法有：1平行于x轴的直线上两点间的间隔 等于这两点的两个横坐标差的绝对值；平行于y轴的直线上两点间的间隔 等于这两点的两个纵坐标的差的绝对值2平行四边形的三个顶点，利用平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质可以确定第四个顶点典题精练 ·类型一平行四边形的三个顶点在抛物线上，在平面上确定平行四边形的第四个顶点1如图81，抛物线yx2x与x轴相交于A，B两点，顶点为P.1

2、求点A，B的坐标2在坐标平面内是否存在点F，使得以A，B，P，F为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；假设不存在，请说明理由图81类型二两个定点以及抛物线对称轴上一动点，在抛物线上确定平行四边形的第四个顶点2如图82，抛物线yax2bx3与x轴交于A1，0，B3，0两点，顶点记为D.1求该二次函数的解析式2假设点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求出满足条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由图82类型三抛物线上两定点，一动点，在x轴上确定平行四边形的第四个顶点3如图83，抛物线yx2b

3、xc与x轴交于A1，0，B3，0两点，点C在抛物线上且横坐标为2.1求抛物线的解析式2G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A，C，F，G四点为顶点的四边形是平行四边形？假如存在，求出所有满足条件的点F的坐标；假如不存在，请说明理由图83类型四平行四边形两顶点为定点且横坐标一样，另外两个顶点在直线上和抛物线上4如图84，过A1，0，B3，0作x轴的垂线，分别交直线y4x于点C，D.抛物线yax2bxc经过O，C，D三点1求抛物线的解析式2M为直线OD上的一个动点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，是否存在这样的点M，使得以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求此时点M的横

4、坐标；假设不存在，请说明理由图84典题讲评与答案详析1解：1令y0，那么x2x0，解得x13，x21，点A的坐标为3，0，点B的坐标为1，02存在yx2xx122，点P的坐标为1，2，所有符合条件的点F的坐标为1，2，3，2，5，22解：1将点A，B的坐标分别代入yax2bx3，得解得抛物线的解析式为yx22x3.2存在如图a，当点P1与点D重合时，P1，Q关于AB对称时，四边形AP1BQ是平行四边形，此时P11，4；如图b，当PQAB，且PQAB时，四边形APQB是平行四边形A1，0，B3，0，AB4.点Q的横坐标为1，PQ|x1|4，x5或x3.当x5时，yx22x312，P25，12；当

5、x3时，yx22x312，P33，12综上所述，点P的坐标为1，4，5，12，3，123解：1将A1，0，B3，0代入yx2bxc，得b2，c3，yx22x3.2存在将点C的横坐标x2代入yx22x3，得y3，C2，3如图a，连接C与抛物线和y轴的交点G.当x0时，yx22x33，G0，3C2，3，CGx轴，此时AFCG2，点F的坐标是3，0；如图b，同可得AFCG2.点A的坐标为1，0，点F的坐标为1，0；如图c，d，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，因此点G的纵坐标为3.将y3代入抛物线解析式中即可得出点G的坐标为1±，3，线段GF可以看成是由线段AC平移得到的A1，0，G1±，3，C2，3，F4±，0综上所述，所有满足条件的点F的坐标为3，0，1，0，4，0，4，04解：1过点A1，0，B3，0作x轴的垂线，分别交直线y4x于点C，D，C1，3，D3，1抛物线yax2bxc经过O，C，D三点，抛物线的解析式为yx2x.2存在A1，0，C1.3，AC3.ACx轴，MNx轴，ACMN.以A，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形，ACMN.点D的坐标为3，1，直线OD的解析式为yx.M为直线OD上的一个动点，可设Mm，m，Nm，m2m，MN|4m212m|.ACMN，|4m212m|3，|4m212