九年级数学上册思维特训(十三)　利用旋转构图解题

1、.思维特训十三利用旋转构图解题方法点津 ·1利用旋转的性质，把分散的条件集中到某一个图形中，从而通过解这个图形，实现问题的求解；常与旋转构图方法结合的几何图形有等腰三角形、等边三角形、正方形、菱形2在旋转过程中，虽然某些量发生变化，但影响结论的条件仍能全部得到，因此结论保持不变典题精练 ·类型一阅读仿做型11请阅读材料并填空：问题：如图131，在等边三角形ABC内有一点P，且AP2，BP，CP1.求BPC的度数和等边三角形ABC的边长李明同学的思路是将BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形如图连接PP.根据李明同学的思路，进一步考虑后可求得BPC_

2、6;，等边三角形ABC的边长为_2请你参考李明同学的思路，探究并解决以下问题：如图，在正方形ABCD内有一点P，且AP，BP，CP1.求BPC的度数和正方形ABCD的边长图13121阅读下面的材料：小伟遇到这样一个问题：如图132，在ABC中，BAC是一个可以变化的角，AB2，AC4，以BC为边在BC的下方作等边三角形PBC，求AP的最大值小伟是这样考虑的：利用图形变换和等边三角形将边的位置重新组合他的方法是以点B为旋转中心将ABP逆时针旋转60°得到ABC，连接AA如图，当点A落在AC上时，此题可解请你答复：AP的最大值是_2参考小伟同学考虑问题的方法，解决以下问题：如图，在等腰直

3、角三角形ABC中，AB4，P为ABC内部一点，求APBPCP的最小值结果可以不化简图132类型二结论不变型3如图133，ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中DFDB，连接AF，CD.1观察图形，猜测AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明2将菱形BDEF绕点B按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边三角形ABC内部，在图中画出一个变换后的图形，并对照图形标记字母，那么1中的结论是否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请说明理由3在上述旋转过程中，AF，CD所在直线所夹锐角的度数是否发生变化？假设不变，请你求出它的度数；假设改变，请说明它的度数是如何变化的图13

4、34如图134，在ABC中，BAC90°，ABAC，点E在AC上且不与点A，C重合，在ABC的外部作CED，使CED90°，DECE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作ABFD，连接AF.1请直接写出线段AF，AE的数量关系：_；2将CED绕点C逆时针旋转，当点E落在线段BC上时，连接AE，如图，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论图134典题讲评与答案详析1解：1150°2如图，将BPC绕点B逆时针旋转90°得到BEA，可得AEPC1，BEBP，BPCBEA，EBP90°，BEP45°，由勾股定理得EP2.AE1，AP，E

5、P2，AE2EP2AP2，AEP90°，BPCBEA90°45°135°.过点B作BFAE，交AE的延长线于点F，那么FEB45°，EFBF1，AF2，在RtABF中，由勾股定理，得AB，正方形的边长为.2解：1将ABP逆时针旋转60°得到ABC，ABA60°，ABAB，APAC，ABA是等边三角形，AAABBA2.在AAC中，ACAAAC，即AP6，当点A，A，C三点共线时，ACAAAC，即AP6，即AP的最大值是6.2如图，RtABC是等腰三角形，ABBC.以点B为旋转中心，将APB逆时针旋转60°得到APB.

6、那么ABABBC4，APAP，PPB为等边三角形，BPBPPP，APBPCPAPPPCP.当A，P，P，C四点共线时，APPPCP有最小值，为线段AC的长，AC的长度即为所求过A作ADBC，交CB的延长线于点D.ABA60°由旋转可知，130°.AB4，AD2，BD2 ，CD42 .在RtADC中，AC2 2 ，APBPCP的最小值是2 2 或不化简为3解：1AFCD.2变换后的菱形BDEF如图，结论AFCD仍然成立证明：在等边三角形ABC中，ABBC.在菱形BDEF中，BFDB.DFDB，DFDBBF.FBDABC60°，FBD1ABC1，即23，ABFCBD，

7、AFCD.3不变化如图，设CD的延长线与AF交于点O，与AB交于点G.由2知BAFBCD.又AGOCGB，AOCABC60°，那么直线AF与CD所夹锐角始终为60°.旋转过程中出现的其他情况的证明同上综上所述，AF，CD所在直线所夹锐角的度数始终为60°.4解：1四边形ABFD是平行四边形，ABDF.ABAC，ACDF，DEEC，AEEF.AEFDEC90°，AEF是等腰直角三角形，AFAE.2AFAE.证明：如图，连接EF，设DF交BC于点K.四边形ABFD是平行四边形，ABDF，ABDF，DKEABC45°，FKE180°DKE135°.ADE180°EDC180°45°135°，FKEADE.DKCC45°，DKDC.DFABAC，FKAD.DKE45°