对称思想在几何中的应用研究

1、对称思想在几何中的应用研究郑莹莹（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要对称思想是一种重要的数学思想，存在于数学的很多领域。对称思想是研究数学问题常用的思想方法，对称是一种美，数学中的对称美主要表现在几何图形的对称、式子的对称、解题方法的对称等方面。本文讨论对称思想在平面几何、解析几何、立体几何、射影几何中的应用并举例说明分析。关键词对称思想几何应用the Research of Symmetrical Idea in the GemmetryZheng Ying Ying（School of Mathematical Science，Huaibei Normal Universi

2、ty，Huaibei，235000）AbstractSymmetrical idea is an important mathematical thought,which exists in manyareas of mathematics,of which we should give enough attention.Symmetrical idea is thinking method which is the study math problems commonly used.Symmetry is a beauty,the symmetrical beauty of mathemat

3、ics is mainly manifested in the symmet-rical geometric figure,the symmetrical formula,the symmetrical method of solving problem,ect.This paper discusses symmetrical ideas in plane geometry,and analytic geometry,three-dimensional geometry,projective geometry,and illustrates the appli-cation.Key Words

4、:Symmetry ideaGeometrical application目录引言···········································&

5、#183;···············一对称思想的意义·································

6、;·················二对称思想在初等数学中的应用······························

7、83;·······（一）对称思想在平面几何中的应用···································（二）对称思想在平面解析几何中的应用··

8、;······························（三）对称思想在立体几何中的应用·················&

9、#183;··········三对称思想在高等数学中的应用·····································

10、;·（一）对称思想在射影几何中的应用···································（二）对称思想在空间解析几何中的应用········&

11、#183;·······················参考文献·························

12、83;···································后记··············&

13、#183;··············································引言从数学发展的历程和数学本身的特征看

14、，数学表现出对称性、统一性等科学美学特征。数学美的思想方法对数学、数学教育的发展起到过积极作用，在今后的科学研究、数学教育中还会起到一定的启迪作用。数学中的对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法，充分挖掘教材中的对称思想，具有重要的理论意义和现实意义，特别具有审美教育的价值。一对称思想的意义对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。哥白尼说：“在这种有条不紊的安排之下，宇宙中存在着奇妙的对称······”对称是广义的，字母的对称，结构的对

15、称，图形的对称，解法的对称······，无论是哪种对称都是美好的。数学对称包括狭义的对称、常义的对称和泛对称。狭义的对称又包括代数对称和几何对称。对称思想是数学思想中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。笛卡儿创建的解析几何学可以说是对称思想在数学领域成功的运用。在这种坐标几何学中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。在高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而领略它们的形式之美。从更广泛

16、的意义上讲，数学中的对称思想不仅在几何中得到体现，在数学的知识体系中同样有着广泛的体现。从运算角度看：加与减、乘与除、乘幂与开方、指数与对数、微分与积分、矩阵与逆矩阵等，这些互逆运算都可以看作一种“对称”关系。从函数角度看，函数与反函数也可视为一种“对称”,还有变换与反变换、映像与逆映像等也属对称。从命题的角度看，正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着“对称”关系。“对偶”关系也可视为“对称”的一种形式。集合论中的棣莫弗公式就是关于差集的对偶原理。在逻辑代数(布尔代数)运算中也相应的有对偶原理。在射影几何中，点和直线之间建立了对偶关系，进而得出对偶原理：在平面几何的任一定理中，如果把点换成

17、直线，直线换成点，并把诸种关系换成相应的对偶关系，所得到的新命题依然成立。二对称思想在初等几何中的应用（一） 对称思想在平面几何中的应用平面几何中的对称主要指轴对称和中心对称两种，他们揭示了图形自身的一种特殊结构或图形与图形之间特殊的形状、大小和位置关系，当我们从运动变化的角度来审视这个概念时，它又是一种特殊的几何变换保距式全等变换，从而成为一种重要的数学思想方法和解题手段，认真领会数学的思想和方法，最佳途径莫过于通过对具体数学问题的认识与解决来进行，以下我们通过几个典型的例题来说明对称思想在平面几何中应用.例一：已知：如图1,，是角平分线延长线上一点.求证：.分析：课本中证明线段不等关系的主

18、要根据就是三角形三边关系定理及其推论，但问题中所涉及的线段常常并不在同一个三角形之中，显然必须转移和重新集中，关键是如何转移，角是轴对称图形，它的平分线所在直线就是对称轴，由此想到在本题中沿翻转线段到上，既构造了，又使得置于同一个三角形之中.图1证明：在上截取，连结，由平分，易得，在中，.例二：已知：如图2，在中，于，为上任一点.求证：.分析：与例一类似，还是要把线段转移和重新集中，由容易想到轴对称，所以，取点关于的对称点，从而转移、，把四条线段化入如图的和中得以证明.图2证明：在上截取，连结、,、交与点，又，在和中，即.例三：已知：如图3，中，于，点在内.求证：.图3分析：课本中证明角的不等

19、关系的主要依据就是三角形内角和定理及推论，如何构造这两个角的直接或间接内外角关系的关键，这就要分割目前的邻角关系，转移重构位置关系，题设中的等腰三角形是轴对称图形，如图，作出点的对称点可达到这一目的：.例四：已知：如图4，在中，是的中点。、分别在、上，且.求证：.图4分析：有结论知，、应该是一个直角三角形的三条边，关键是如何把它们放入一个直角三角形之中，题设中，是的中点，在平面几何中最常用的就是以中点为中心，进行中心对称旋转，如图4，将以为中心对称变换至处，可得三边分别等于、的.证明：延长至,使，连结、.又，在和中，例五：已知是正方形，是上的一点，是平分线，交与.求证：证明：过作与,平分与关于

20、对称，于是，为等腰三角形，而与关于对称故例六：半径为的圆内接正方形的各边为直径，向形外各作半圆，求这四个半圆与外接圆所围成的四个月牙形面积的和。解：根据圆和正方形的对称性知道：月牙形的面积的倍，便是四个月牙形面积的和.月牙形的面积为:综上我们的例题，我们知道了对称思想在平面几何中的应用。具体来说，平面几何中有些图形，具有对称性。如等腰三角形、等边三角形沿着它们底边上的高可以把由高分成的两部分对折而重合，我们说它们具有轴对称的性质平行四边形可以绕它的对角线的交点旋转后与原图形重合，我们说平行四边形具有中心对称的性质。矩形、菱形、正方形及圆等又具有轴对称的性质，又具有中心对称的性质。对称性，在图案

21、的设计中有着不言而喻的作用。这可以说是对称性的一个应用。特别的，有些几何题，借用它的对称性质，使它的解答简捷、明快，而得到特殊的思维效果。（二）对称思想在平面解析几何中的应用解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、线与线的关系，比如通过两点的坐标来求两点间的距离，圆上一点与直线距离等等，解析几何是以强大的代数运算为基础，突出了代数的数学化和运算化。中学阶段平面解析几何的大致结构包括：直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线。它们的解析式，它们的具体性质，它们相互之间的关系也就是我们中学所要学习的内容。1点关于点的对称点的求法设点关于点的对称点为，由中点坐标公式、，解得、，因此有点关于点的对称点

22、坐标为2点关于直线的对称点的求法（1）点关于轴、轴、原点、直线、直线、直线、直线的对称点分别为、（2）点关于直线的对称点的坐标为；点关于直线的对称点的坐标为3曲线关于点的对称曲线的求法曲线关于点的对称曲线的方程为：特别地，关于原点对称曲线方程为4曲线关于直线的对称曲线的求法曲线关于直线的对称曲线为曲线关于直线的对称曲线为例一：已知点关于原点的对称点为求点关于轴的对称点关于轴的对称点关于直线的对称点解：因为点关于原点的对称点为所以点的坐标为,故点关于轴、轴、直线的对称点分别为、例二：求点关于直线的对称点的坐标。分析：两点、关于直线对称，即为垂足为线段的中点。解：设对称点为，直线的斜率存在且不为0

23、；直线AB的斜率存在。，即······················又中点（垂足）在直线上；则有············。将联立解得:对称点为例三：求直线关于点的对称直线.解：设对称直线上的点坐标为则它关于的对称点为该点在上，得，即例四：求直线关于的对称直线

24、方程.解法一：，解得：对称直线过，在上取点则关于的对称点在上，易得用两点式可算出为：图8解法二：设为对称直线上任一点坐标为，关于的对称点，用、表、可得：代入即可求得.例五：求圆，关于的对称圆的方程。分析：只要求出圆心关于的对称点，即为对称圆的圆心，半径不变，方可写出圆的方程。解：设圆心关于的对称点为；直线的斜率，直线的斜率存在；即······················&#

25、183;又中点（垂足）在直线上，则有····································将联立，解得即对称圆的圆心为故所求圆的方程为：以上示例说明，无论是求曲线关于直线的对称方程，还是解答涉及对称性的最值问题，关健在于掌

26、握点关于直线的对称点的求法.例：求函数的最小值。解：如图5,考虑点,和，则,动点的轨迹方程是直线：关于直线的对称点,由图9在几何中，我们利用数学中的对称性，建立适当的坐标系，可以使运算简单，所得的曲线曲面的方程简洁明了.比如椭圆(如下图):(图1：任意建立坐标系，图2：取两定点、所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系)比较之下，我们发现：图1让我们漫无头绪，图2中，我们看到图形的对称美，萌发了解题的思路。设、为椭圆上的任意一点，由定义可以得到曲线的方程。在三维立体空间中，我们将图2中的椭圆绕轴旋转，得到长形旋转椭球面。而在方程中保留坐标轴不变，用代替，便得椭圆绕轴旋转的曲面方程：。

27、由此可见，数学中的对称性不仅推动了数学的发展，而且使数与形结合得更紧密。例六：已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上有不同的两点关于该直线对称。解：设椭圆上关于直线对称的两点为、，其所在直线方程，代入椭圆方程并整理，得：·························由于、是曲线上不同的两点，因为解得：···

28、;··························另一方面，、是的两跟，由韦达定理有而点又在直线上，将代入上式，得的取值范围是例七：平面上向量满足，求中点的轨迹方程.分析：此题有多种解法，但如果能利用对称这一条件进行对称变换，此题可得到简便解答.由条件，如图，是长为的线段的中点，轴，且，在轴上取点，则易知,于是题设对称地转换为“求到定

29、点的距离之和为定长的动点的轨迹方程”，如图，不难知道点的轨迹是以为焦点，长轴长是的椭圆，其方程为反思：此题中，我们用了一个对称变换，将原题转化为一个我们很熟悉的问题.（三）对称思想在立体几何中的应用立体几何除了点、线的关系，又增加了面、体两方面，同样是研究点、线、面、体的关系，是一个开放式的体系。立体几何中有具体的长度、面积和夹角等等。由于多了面和体，于是就有了同面和异面之分，又有了正方体、长方体、柱体和椎体之分，这样的立体几何就是围绕着这些主要的面、体而展开的。例：已知二面角的大小为度，点分别在平面内，点到平面的距离分别是，求周长的最小值.分析：作关于平面的对称点交平面于易证：图5例：如下图

30、：已知棱长为的正方体，中，、是和的中点，求点到平面的距离。解：连结、交于点，连结、，作，为垂足。因为、是、中点，所以|面因为、，所以面，所以面因为面，所以面面因为，所以面，即为所求点到平面的距离易得点到平面的距离为例：四面体中，三组对棱分别相等，且依次为、，求该四面体的体积。解：根据已知条件中的对称思想，我们可以构造如下图所示长方体，使得四面体的对棱分别为长方体相对面的对角线，设长方形的长、宽、高分别为、故该四面体的体积为16.综上所述：对称转化思想是立体几何中最重要的思想方法，贯穿在立体几何教学的始终，有意识地将问题进行对称转化，转化为熟悉的、简单的、基本的问题，有助于化难为易，化繁为简，使

31、问题得到解决。对称转化的方式，灵活多样，如空间问题向平面问题对称转化，位置关系的对称转化，位置关系中的定性与定量的对称转化，又如化曲为直，化折为直等等。数学对称思想方法是数学知识的精髓，是数学解题的武器，是知识转化为能力的桥梁，立体几何是高中数学的重要内容，这部分内容蕴含着丰富的数学对称思想方法。在立体几何学习中，单纯靠题海战术盲目操练是很难获得理想成绩的，我们必须将自己置身于解题的更高境界：灵活运用数学对称思想方法，高屋建瓴，把握知识的本质和内在规律，提高思维效率，迅速找到突破口，机智转化，绕过难点，顺利获解。三对称思想在近代几何（一）对称思想在射影几何中的应用初等几何与解析几何是射影几何的

32、基础和特殊化，而射影儿何是初等几何与解析几何的发展。我们知道，初等几何与解析几何是研究欧氏空间的，而射影空间是欧氏空间的扩大空间，因而通过对射影几何的学习，使我们能居高临下地加深对这两门课程的理解与认识，这对于一个中学教师来说是十分必要的。尽管从射影几何的结构本身来看已经很完美了，也许从中不可能再发掘一些有重大意义的课题，但是随着抽象代数理论的发展，高维的和实数域以外的各种数域的几何体系相继建立了起来也就是有关代数几何方面的内容还有待我们进一步去研究，而学习射影几何也就为进一步学习代数几何以及拓扑学等打下基础。秩序性是最重要、最基本的数学原则之一，它贯穿整个射影几何，不论哪种变换都要求有序。对

33、称也是一种匀称，是指整体与部分之间的相称与平衡，有着协调的美感。对称性在射影几何中最具体的表现就是“对偶原理”了。平面射影几何对偶原理：关于平面上元素（点与直线）的每个射影命题，都对应着另一个对偶命题，第二个命题由第一个命题得来，即将每一个元素换为其对偶元素，如果两个命题之一成立，那么另一命题也成立。对偶原理是射影几何所固有的，它只适用于点线结合性命题(仅指平面射影几何)。射影几何之所以有对偶原理，是因为射影平面上没有平行线，点和直线的结合关系有了新的变化，两直线总相交，即相交和平行得到完美的统一。“对偶性”的思想也就是要充分发挥对偶原理的功效。运用对偶原理有事半功倍之效。在证明两个互成对偶命

34、题的命题时，可将易于证明的命题先证，然后由对偶原理可知其对偶命题成立。例十：如果两个完全四线形的五对对应顶点的连线通过同一点，则第六对对应顶点的连线也通过此点，且其四对对应边的交点在同一直线上。见图6所给命题的对偶命题：如果两个完全四边形的五对对应边的交点在同一直线上，则其第六对对应边的交点也在此直线上且其四对对应顶点的连线交于一点。见图7图6图7在所给原命题中，是用一个小写字母表示直线，把点看成直线的包络，这是线几何学的观点，而其对偶命题，则是用一个大写字母表示点,直线看成点的轨迹，这是点几何学的观点，是人们比较习惯的观点。因此这两个互为对偶的命题只须证明所给命题的对偶命题成立，由对偶原理知

35、所给命题成立。例十一：利用对偶原理证明梅涅劳斯定理。分析：梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边或其延长线交于点，那么塞瓦定理：设是内任意一点分别交对边于则由于“三点共线”与“三线共点”，正好是对偶命题问题，因此梅涅劳斯定理和塞瓦定理构成对偶命题，而且在平面射影中，梅涅劳斯逆定理和塞瓦逆定理也构成对偶命题。证明：过点作交的延长线于则三式相乘得：在欧氏平面几何中，人们常常用梅涅劳斯定理来证明塞瓦定理。现在我们知道，若梅涅劳斯定理获得证明，那么塞瓦定理自然成立，用不着再证明，这就达到简化证明的效果。但却称该法为“丑陋的证明”。他认为：“虽然这个证明稍微简单些，它却不能令人满意。因为证明中使用了一条辅助

36、线，它和要证明的命题的内容并无关系，还有证明无理地偏爱顶点而命题关于和的确是对称的。”依据“对偶原理”我们可以发现新命题，而且此新命题无须证明，因为其证明性是对偶原理本身所赋予的，你是我的对偶，我也是你的对偶。对偶原理就像一个纽带把点和线联系在了一起，从而使我们对“点”和“线”又有了更高层次的认识。它们之间的变化是那么微妙，堪称是一门美学艺术。（二） 对称思想在空间解析几何中的应用定义1：在同一平面内的两个图形，如果把其中的一个图形绕着平面内一个定点旋转以后，能够与另一个图形完全重合，这样的两个图形就叫做关于给定点对称，重合在一起的点叫做关于定点的对称点，给定点叫做对称中心。如下图1中，和是关于点对称的两个图形，和，和，和都是关于点的对称点，是对称中心。定义2：如果两个图形位于一条直线的两旁，当沿着这条直线将平面翻折以后，它们能够完全重合，这样的两个图形就叫做关于定直线对称，重合在一起的点叫做关于这条直线的对称