安康学院2011级数学与应用数学高等代数2试题A答案

1、2012-2013学年第一学期期末考试答案及评分标准高等代数2（A）卷命题教师：杜贵春任课教师：杜贵春 课程代码：22701105适用班级：2011级数本 教研室主任审核(签名)：教学主任(签名)：题 号一二三四五总分分 值1515104218100一、 单项（每小题3分，共15分）1. 下面关于向量组极大无关组的结论, 正确的个数有 【 B 】() 任何向量组都有极大无关组； () 任何有限个不全为零的向量组都有极大无关组； () 若极大无关组存在则必唯一； () 极大无关组存在不唯一, 但彼此等价 A1个 B.2个 C.3个 D.4个2.已知f(x)=x-2x-1,方阵A的特征值为1，0，

2、-1，则f(A)的特征值为 【 C 】 A. 2， 1，-2； B. -2，-1，-2；C. -2，-1，2； D. 2， 0，-2.3.设，是欧氏空间V的两个非零向量，且，的夹角=arcos(-),则 【 A 】 A. =120； B. =60； C. =-60； D. =240.4. 设是维向量空间的线性变换，那么下列错误的说法是 【 D 】A. 是单射的核=； B.是满射的秩=； C是可逆的核=； D.是双射是单位变换.5. 下列向量组中，构成欧氏空间的标准正交基的是 【 B 】A. B. C. D. 二、（每小题3分，共15分）三、1. 向量组=(1,2,3),=(-1,0,1),=(

3、0,2,4) 生成的子空间L（，）的维数是_2_.2.设，则向量是A的属于特征根 4 的特征向量3设三阶方阵A的特征多项式为，则 -8 4A,B为阶正交矩阵，且|A|>0,|B|<0，则|AB|= -1 5. 若A既为实对称矩阵又为正交矩阵，则=_ A _. 三、（正确在题号后括号内填写“T”,错误的填写“F”）（每小题2分，共10分）1.数域P上的每一个向量空间都有基和维数. （ F ）2.相似矩阵有相同的迹. （ T ）3.线性变换把线性无关的向量组变成线性无关的向量组. （ F ）4. 欧氏空间V上的对称变换在任意基下的矩阵为对称矩阵. （ F ）5. 欧氏空间V上的正交变换

4、关于标准正交基的矩阵为正交矩阵. ( T )四、计算题（第1小题12分，第2小题14分，第3小题16分，共42分）1.在线性空间P中，求由基=（1，1，1，1），=（1，1，-1，-1），=（1，-1，1，-1），=（1，-1，-1，1）到基=（1，1，0，1），=（2，1，3，1），=（1，1，0，0），=（0，1，-1，-1）的过渡矩阵，并求向量=（1，0，0，-1）在基，下的坐标.解 记M=（，）=， （3分）N=（，）=，并记所求过渡矩阵为A，则有 A=MN=. （5分）=（1，0，0，-1）在基，下的坐标是N=. （4分）2设与相似（1）求的值；（2）求可逆矩阵T，使解：(1)易见B

5、的特征根为2,2,b.设A的特征根为,则又A与B相似知它们有相同的特征根,从而 Tr(A)= =5+a=4+b=Tr(B),即有 a-b=-1 又由 |A|=6(a-1)= =4b=|B|,得 （3分）3a-2b=3 综合,两式,得a=5,b=6. （3分）(2)将a=5代入矩阵A,现已知矩阵A的特征根为2,2,6.矩阵A的属于特征根2的特征向量是齐次线性方程组 (2I-A)x=0,即 = 的非零解,为 ,且不同时为零.矩阵A的属于特征根6的特征向量为齐次线性方程组(6I-A)x=0,即 =的非零解,为 （5分）于是取 ,则T可逆,且有=. （3分） 3已知二次型通过正交变换化为标准形，求的值

6、及所作的正交变换解 所给二次型的矩阵为A=,由已知,A的特征根为1,2,5.而A的特征多项式 f(x)=(x-2)(x-6x+9-a),结合A的特征根为1,2,5易知, 9-a=5, 而a>0,所以a=2.于是A=. （5分）经计算,取特征根1的特征子空间的一个基为 =(0,-1,1);特征根2的特征子空间的基为=(1,0,0,); 特征根5的特征子空间的一个基为=(0,1,1),由于特征根互不相同,所以这3个特征向量相互正交.将其单位化得 =(0,-, ),= (1,0,0,),=(0, ,).现令 （7分）U=,则U为正交矩阵.作正交变换X=UY,即可把二次型 化为标准形. （4分）

7、五、证明题（每小题9分，共18分）1. 已知为欧氏空间V上的对称变换,证明的不变子空间W的正交补W也是的不变子空间.证明：设 W,要证()W,即()W.任取W,有()W.因W,故 (,()=0. （3分）因此(),)=(,()=0. （3分）即()W, ()W, 这就证明了W也是的不变子空间. （3分）2.设，是线性变换的两个不同的特征值，是分别属于，的特征向量，证明：+不是的特征向量. 证明：如果线性空间V的线性变换以V中每个非零向量作为它的特征向量，那么是数乘变换.证明：用反证法.设（+）=（+）， 但 （+）=（）+（）=+，故 （+）=+，于是 （-）+（-）=0. （3分）由于，互不相同，所以，是线性无关的，从而有-=-=0