平面向量整说课详解

1、平面向量整理一、 平面向量的本质：向量就是终点相对于起点的位置变化。这里包含两点：1、变化的距离 2、变化的方向二、 平面向量可以用有向线段来表示，但要注意有向线段不是向量，只是表示向量的手段。一个向量可以用不同的有向线段来表示，只要终点相对相对于起点的位置变化相同。需要注意的是表示向量有向线段的起点，并不是向量实际意义上的起点；表示向量的有向线段的终点，并不是向量实际意义上的终点。三、 1、向量的模 就是终点相对于起点变化的距离；2、零向量 （1）变化的距离为0 （2）变化的方向是任意的3、单位向量 （1）变化的距离为1（2）变化的方向不要求4、相等向量 （1）变化的距离相等 （2）变化的方

2、向相同5、相反向量 （1）变化的距离相等 （2）变化的方向相反6、平行（共线）向量 只要求变化的方向在一条直线上，对距离没要求四、向量的加减法 1、向量的加法：两向量相加表示经过两次位置变化后，终点相对于最初起点的位置变化如： 表示向东走100米，表示向东北100米，那么a+b的和表示向东北走了100米。aba+b+由此不难得到两向量相加的三角形法则：即将被加的向量顺次首尾相接，连接起点和最后终点得到的向量。类似的，a+b+c表示三次位置变化BCD向量的平行四边形法则实质上也是三角形法则：A2、向量的减法：向量的减法是加法的逆运算。a-bb如：ab表示a+（b）可将向量的减法转化为两向量相加。

3、表现为两向量起点重合，连接两向量的终点并指向被减向量的向量a-ba-b五、数乘运算数乘运算向量的平行（共线）即，向量共线则向量可以进行线性运算（两向量之间存在倍数关系），反过来，向量可以进行线性运算（两向量之间存在倍数关系）则向量共线。六、平面向量基本定理1、向量的加减法可以看作是向量合成，向量的分解可以看作是合成的逆运算。O12、基底：先讲数轴（一维的）作好类比过渡数轴上每个数都可以用单位过表示，如4×18（8）×1，这里的单位1就可以看作是基底，当然用2也可以去度量任何一个实数，如：42×2，6.83.4×2，这里的2就可以看作是基底，所以说基底就是

4、一个度量衡。3、如果我们讨论的向量终点相对于起点的位置变化在一条直线方向上（一维的情形）。Oi如图，我们可以规定一个方向向右的单位向量，叫它i，那么其它向量就可以用它来度量，例如，方向向右，终点相对于起点变化的距离为3的向量a就可以表示为3i，方向向左，终点相对于起点变化的距离为4.5的向量 b就可以表示为 -4.5i，类似于坐标，我们也可以记a=3，b=-4.5那么a + b=3+（-4.5）=-1.5，表示方向向左，变化的距离为1.5的向量；-2a=-2×3=-6，表示方向向左变化的距离为6的向量。这一点与实数运算完全类似。lcmba4、平面向量是二维的，所以平面向量的基底，需要

5、两个方向如图：则ab+c，且这种分解是唯一的，在l,m直线方向上分别取非零向量i，j，则cxi, b=yj ,由共线向量基本定理，这里的x，y也是唯一的。任一向量a都可以分解为非零向量i，j的线性表示，axi +yj这里且是唯一的。这里的非零向量i，j就是基底，是平面向量的度量衡。并且，如果我们选取的非零向量i，j是单位向量，我们就可以将向量a记作a=（x，y）,这里，我们相当于建立了一个斜坐标系。y六、向量的坐标表示xO23A(2,3)向量作为一种工具，可以实现由代数的方法研究几何的问题。为此，我们需要把它代数化，这就需要引入参考系（坐标系）。由以上讨论，可以选取两个垂直的单位向量i，j为基

6、底，把它们的起点固定在直角坐标系的原点上，实现将向量有序数对表示。如图，如图，（2，3）（1）平面中的向量都可以看作是经过两次位置变化而得到的，一次是x轴方向的（水平的），另一次是y轴方向上的（竖直的）。则就可以分解为两条直线方向上的位置变化，而在每条直线方向上运算都是线性的。xO32A(3,2)B(6,5)C65（2）向量变化的距离，由直角三角形得到|=向量变化的方向可以由来表示。（3）起点为A终点为B的向量表示，如图： 可以看作是先由A到C，再由C到B，所以一般化一下，A（x1 , y1）,B(x2 , y2)由直角三角形ABC也可以看到，AB七、向量的数量积abOBAC1、记住数量积的几

7、何意义：如图，ababcos表示a与向量b在向量a方向上的投影（bcos）的积，这里是两向量的夹角（）。实质为把两个向量的内积转化为两个实数的乘积。2、向量的坐标表示要从向量坐标的本质上推导，a（x1，y1）x1i+ y1j , b（x2，y2）x2i+ y2j这里向量i，j表示两个垂直的单位向量i，j。推导从略。例题讲解1(2009·广东，5分)一质点受到平面上的三个力F1、F2、F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态已知F1、F2成60°角，且F1、F2的大小分别为2和4，则F3的大小为()A2B2C2 D6解析：本题实际上是求与的和向量，由余弦定理|2|2| |22|

8、·|·cosOF1F34162·2·4·()28.|2，故选A.答案：A解析：平面向量问题一般要作图，质点处于平衡状态，则F1+F2+F30，所以F3（F1+F2）,表示向量F1 、F2两次变化可等价于一次变化的效果OF1，F3表示其相反向量，于是就成了解三角形的问题，利用余弦定理求出OF3的长度就行了。 242（2010浙江，4分）在ABC中，M是线段BC的中点，AM3，BC10，则·_.解析：·()·()()·()9×10016.答案：16解析：画图，解决向量的点积问题，就是简化，考虑找到度

9、量衡（基底），从而把它化成两个方向上的线性运算，我们选取向量AM，BC为基底（因为这两个向量的信息是知道的），可得·()·()()·()9×10016.ABCM3（2011浙江，4分）若平面向量，满足|1，|1，且以向量，为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是_XyO解析：对于以向量，为邻边的平行四边形的面积S0|·sin，×2|sin，因此sin，1，因此与的夹角的取值范围是，答案：，解析：因|1，可以认为向量的终点在单位圆周上，画个图。对于以向量，为邻边的平行四边形的面积，|1，则的终点落到圆内。S0|·si

10、n，×2|sin，因此sin，y|1，所以从反比例函数上可以得到sin，1，XO/65/6画一个单位圆，如图，终边落到阴影区域的角就是的取值范围是，4（2010浙江，4分）已知平面向量，(0，)满足|1，且与的夹角为120°，则|的取值范围是_解析：如图，设，则在ABC中，ACB60°，根据正弦定理，即|sinABC，由于0°<ABC<120°，所以0<sinABC1，故0<|.答案：(0，120°解析：一般地，题目所给为向量表达，我们把它转化为几何表达；题目所给为几何表达，我们可以考虑转化向量表达。|1，即向

11、量变化的距离为1，且与的夹角为120°，现在我们把题目中的向量表达转化为几何表达，如图，要注意与的夹角为120°，则ACB60°，利用根据正弦定理，即|sinABC，由于0°<ABC<120°，所以0<sinABC1，故0<|.5给出下列四个命题：若ab，则ab；若|a|b|，则ab；若|a|b|，则ab；若ab，则|a|b|.其中正确命题的个数是()A1B2C3D4解析：选A中，当ab时，两向量不一定相等，不正确；中，当两向量模相等时，两向量不一定共线，不正确；中，当向量相等时，模一定相等，正确综上只有正确故选A. 解

12、析：ab 只是a与b的方向在一条直线方向上。而ab要求变化的距离和方向都是相同的。错。|a|b|只说明变化的距离相等，方向不一定相同。错。|a|b|只说明变化的距离相等，但两向量的方向不一定在同一直线方向上。错。若ab，则两向量方向相同，变化的距离又相等。对。5在四边形ABCD中，且|，那么四边形ABCD为()A平行四边形B菱形C长方形D正方形解析：选B由，且|知，四边形ABCD为平行四边形且邻边相等，所以四边形ABCD为菱形故选B.解析：由知两向量变化的距离相等，方向相同，所以四边形ABCD的对边AB与CD平行又相等，四边形ABCD为平行四边形，又|知这两个向量变化的距离相等，即ABBC，所

13、以平行四边形ABCD的邻边相等，四边形ABCD为菱形故选B.6.(2014·西安模拟)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是()AabBabCa2bDab且|a|b|解析：(1)选C表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向，就有，观察选择项易知C满足题意解析：表示的两个向量是相等的，即变化的距离相等，变化的方向相同，由于|a|、|b|均为正数，根据数乘表示与a同向的单位向量，表示与b同向的单位向量，只要a与b同向就行了，只有C项表示a与b的方向相同。7.(2013·江苏高考)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC

14、.若1 2 (1，2为实数)，则12的值为_解析：(2)由题意作图如图在ABC中，()12，1，2.故12.解析：先画图，问题的实质是将和作为基底，去表示，()12，1，2.故12.8（2013重庆，5分）在平面上，| | |1，.若| |<，则|的取值范围是()A.B.C. D. 解析：本题考查向量问题和圆中的最值问题，意在考查考生的转化化归以及逻辑思维能力由题意得点B1，B2在以O为圆心的单位圆上，点P在以O为圆心半径为的圆内，又，所以点A在以B1B2为直径的圆上，当P与O点重合时，|最大，为，当P在半径为的圆周上时，|最小，为，故选D.答案：D解析：本题是向量的表达转化为图形表达，

15、| | |1，点B1，B2在以O为圆心的单位圆上， |<，点P在以O为圆心半径为的圆内，又，四边形AB1PB2为矩形，所以点A，点P在以B1B2为直径的圆上，如图，所以，当以B1B2为直径的圆与圆O相外切时，|最小，AyOxB1B2PB1B2AP当以B1B2为直径的圆恰好过点O时，|最大。平面向量的坐标运算xOyP(6,8)Q(x,y)1（2012安徽，5分）在平面直角坐标系中，点O(0,0)，P(6,8)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，则点Q的坐标是()A(7，)B(7，)C(4，2) D(4，2)解析：设xOP=，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得向量，向量变化的距离没变还是向

16、量的长度为=10只要确定的方向，可以由来定，这里由三角函数知识得；。故选A2（2010新课标全国，5分）a，b为平面向量，已知a(4,3)，2ab(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()A. BC. D解析：由题可知，设b(x，y)，则2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得x5，y12，故b(5,12)，由cosa，b.答案：C3（2011北京，5分）已知向量a(，1)，b(0，1)，c(k，)若a2b与c共线，则k_.解析：因为a2b(，3)，所以由(a2b)c得×3k0，解得k1.答案：14（2010陕西，5分）已知向量a(2，1)，b(1，m)，c(1,2)，若(ab

17、)c，则m_.解析：由已知ab(1，m1)，c(1,2)，由(ab)c得1×2(m1)×(1)m10，所以m1.答案：15(2009·广东，5分)若平面向量a，b满足|ab|1，ab平行于x轴，b(2，1)，则a_.解析：设a(x，y)，则ab(x2，y1)由题意a(1,1)或a(3,1)答案：(1,1)或(3,1)6(2013·陕西高考)已知向量a(1，m)，b(m,2)，若ab, 则实数m等于()AB.C或D0解析：选C由ab知1×2m20，解得m或.故选C.7(2014·中山模拟)在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD和BC的

18、中点，若 ，其中，R，则_.解析：问题是将分解为，的线性表示。由于在平行四边形ABCD中，用，作为基底比较方便，所以我们设a，b，则ab，ab，ab，(ab)，即 .，.平面向量的应用1(2009·宁夏、海南，5分)已知点O、N、P在ABC所在平面内，且|，NC0，···，则点O、N、P依次是ABC的()A重心、外心、垂心B.重心、外心、内心C外心、重心、垂心 D外心、重心、内心解析：本题是向量与平面几何的综合，关键是将所给的向量表示反译成几何表示E(1)|，即点O到三点A、B、C的距离相等，所以点O为ABC的外心（2）如图，由平行四边形法则，的和向量表

19、示恰好是2.平平四边形法则，设D这里D是BC边中点，则2.0，20，2，A、D、N三点共线，点N在BC边的中线上，同理点N也在AB、AC边的中线上，所以点N是重心··，··0，·()0，·0，.同理，点P是ABC的垂心答案：C2(2009·天津，4分)在四边形ABCD中，(1,1)，则四边形ABCD的面积为_解析：题目中给的向量表示，转化为几何表示。由(1,1)知 ABAD，四边形ABCD为平行四边形，又，表示将，单位化，其和向量必在B的平分线上，又·知BD平分B，所以四边形ABCD为菱形，又()23，ABC60&

20、#176;，BD.答案：3.（2011安徽，13分）设>0，点A的坐标为(1,1)，点B在抛物线yx2上运动，点Q满足，经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M，点P满足，求点P的轨迹方程解析：本题中所给的是向量表示，应把其反译为几何表示。这里>0，几何表示为B，Q，A三点共线，且点Q在线段BA上。类似的，知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，且点M在线段PQ上。以下是具体解法：由知Q，M，P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x，y)，Q(x，y0)，M(x，x2)，则x2y0(yx2)，即y0(1)x2y.再设B(x1，y1)，由，即(xx1，y0y1)(1x,1y0)，解得将式代入式，