影院座位设计的数学模型

1、 影院座位设计的数学模型2002级3班 吴小刚【摘要】：本文在平均视角越大越好的前提下，建立了一个简单的数学模型，求出了最佳视角所在位置，提出了进一步提高观众满意程度的地板设计方案。【关键词】：视角 平均视角 模型 数学建摸问题提出：下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角。仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，是观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的夹角，视角的大小等于-，c为观众平均坐高。 a=3.9m b=2.1m d=4.5m D=19m c=1.1m(1) 地板倾角=10度，问最佳位置在什么地方。(2) 求地板线倾角 （一般不超过20度），使所有观众的平均满意程度最大

2、。(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。模型假设：1、观众的满意程度主要取决于视角-，越大越好。 2、观众眼睛处于同一斜面，可以在斜面的任意位置。 3、如图建立直角坐标系，设某观众的眼睛在此坐标系中的坐标为（x,y）。 模型建立：根据题目，结合模型假设，有 Y=xtan tan= tan=tan (=模型求解：（1）令f(x)=(d+x)+为增函数要使tan()最大，即视角最大，只需f(x)最小，为此，我们对f(x)求导f(x)=1+=1+令f(x)=0x= (0x14.5)0x< f(x)>0<x14.5 f(x)<0因此，tan()在x=处取得最

3、大值。将 a=3.9,b=4.5,=10度代入上式，解得x=3.7m综上，当地板倾角=10度时，最佳座位在离屏幕水平距离为4.5+3.7=8.2m处。（2）假设相邻两排观众间的水平距离为1 m，那么观众所在位置的横坐标x的取值范围为0-14.5，x为整数。下面结合模型，利用VB语言编写程序，分别求出地板倾角=1，2，-，20度时的平均视角，从而找出使得平均视角最大的的值。具体程序见附录，程序运行结果如下： 结果分析：从以上数据可看出，随着地板倾角的增大，平均视角也在增大。那么，这是否意味着=20度就是所求结果呢？当然不是，我们还得考虑如下问题：处在最后一排的观众的水平视线应该位于屏幕中线以下，

4、否则观众就得低着头看电影了，这与实际不符。我们可用如下数学语言来描述这个问题：假设最后一排观众所在位置的地板高为h，则由题目数据及以上分析可得h5-1.8/2-1.1=3m。对于此限制条件，可用VB语言描述，具体程序见附录，程序运行结果如下： 结果分析：以上数据就是地板倾角在不同取值时，最后一排所在位置的地板高度，不难看出，当地板倾角=12度时，h3m ，最符合限制条件。综上，地板的倾角应为12度。敏感性分析：由于地板倾角的取值和相邻两排座位间的水平距离都是假设的，因此需要对二者（即t,x）作敏感性分析。首先我们研究地板倾角在12度附近变化时对平均视角的影响。假设相邻两排座位间的水平距离x不变

5、，利用VB分别求出地板倾角为11.5、12.6、-、12.4、12.5度时的平均视角，具体程序见附录，程序运行结果如下： 结果分析：从以上数据可知，当地板倾角在12度附近变化时，对平均视角并无多大影响，这说明对地板倾角的假设是可用的。下面我们研究相邻两排座位间的水平距离改变时对平均视角的影响。结合实际，间距可取为0.7m、0.8m、0.9m.假设地板倾角不变，利用VB求出不同间距所对应的平均视角，具体程序见附录，程序运行结果如下： 结果分析：我们可以挑取某一地板倾角对应的平均视角进行比较，在此以12度为例。 Step( )Step( 1)Step(0.9 )Step(0.8 )Step(0.7

6、 )A(12)2.9048292.9048312.9048332.65224从以上比较结果可知，相邻两排间的水平间距取0.8m为宜。（3）首先证明如下结论：如图所示，随着点A的下降（点A位于点C所在水平线上），逐渐减小。证明：cos=1-随着点A的下降，a,b都在增大 1-增大，即cos增大又0 90º逐渐减小基于以上结论，我们可以适当升高位于屏幕下边缘所在水平面以下的座位，从而增大视角和平均视角，进一步提高观众的满意程度。地板可设计如下： 值得注意的是，ab、cd不能太长，否则位于同一水平面的前排观众会影响后排观众的视线，不符合题目要求。另外，cd应该稍低于屏幕下边缘所在水平线，否

7、则后排观众将不能看到屏幕下边缘。附 录Private Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print "a(" t; &q

8、uot;)" "=" a(t); "a(" t + 1; ")" "=" a(t + 1); "a(" t + 2; ")" "=" a(t + 2) Print Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim y!, x!, t%, h(20)Const pi = 3.14For t = 0 To 20y = 14.5 * Tan(t * pi / 180)h(t) = yNext tFor t = 0 To

9、18 Step (3)Print "h(" t; ")" "=" h(t); "h(" t + 1; ")" "=" h(t + 1); "h(" t + 2; ")" "=" h(t + 2)PrintNext tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim x%, t!, f!, y!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 -

10、 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) For x = 0 To 14 f = f + y Next x a(t) = f / 15Next tFor t = 11.5 To 12.5 Step (0.1) Print "a(" t; ")" "=" a(t) Print Next tEnd SubPrivate Sub Form_Click()Dim x%, t%, f!, y

11、!, a(20)Const pi = 3.14f = 0y = 1.8 / (4.5 + x + (16 - 8.2 * (Tan(pi * t / 180) + (Tan(pi * t / 180) 2 * x 2) / (4.5 + x)For t = 0 To 20 For x = 0 To 20 f = f + y Next x a(t) = f / 21Next tFor t = 0 To 18 Step (3) Print "a(" t; ")" "=" a(t); "a(" t + 1; "

12、)" "=" a(t + 1); "a(" t + 2; ")" "=" a(t + 2) Print Next tEnd Sub【参考文献】：【1】姜启源 谢金星 叶俊 数学模型 高等教育出版社【2】 朱道元 数学建模案例精选 科学出版社Mathematical modeling for theater seat designWu Xiaogang【Abstract】A simple mathematical modeling is set up in view of the average angle of view, a best posit