数学模型——最佳广告编排方案

1、实验八最佳广告编排方案【实验目的】1了解线性规划问题及其可行解、基本解、最优解的概念。2通过对实际应用问题的分析，初步掌握建立线性规划模型的基本步骤和方法。3学习掌握MATLAB软件求解有关线性规划的命令。【实验内容】一家广告公司想在电视、广播上做公司的宣传广告，其目的是争取尽可能多地招徕顾客。下表是公司进行市场调研的结果：电视网络媒体杂志白天最佳时段每次做广告费用（千元）45862512受每次广告影响的顾客数（千人）350880430180受每次广告影响的女顾客数（千人）260450160100这家公司希望总广告费用不超过750（千元），同时还要求：（1）受广告影响的妇女超过200万；（2）

2、电视广告的费用不超过450（千元）；（3）电视广告白天至少播出4次，最佳时段至少播出2次；（4）通过网络媒体、杂志做的广告要重复5到8次。【实验准备】线性规划是运筹学中产生较早的一个分支，如今在国防科技、经济学、现代工农业、环境工程、生物学等众多学科和领域里起着十分广泛的应用。线性规划是在一组线性条件的约束之下，求某一个线性函数的最值问题。一般地，线性规划的数学模型为： () ( or , ) , 1 , 2 , , （1） 0 , 1 , 2 , , 用矩阵、向量符号，可以简化线性规划模型的表示： , , , 则线性规划问题可写为：() ( , ) （2） , 1 , 2 , , 这里， 称

3、为目标函数，为目标函数的决策变量，为费用系数，是常数向量； ( or , ) 称为约束条件，为线性规划的系数矩阵，它是常数矩阵，为利润（费用）向量，其中是subject to的缩写，意思是“满足约束条件”。1线性规划的标准形式线性规划问题的标准形式为 （3） 任何一种线性规划都可以等价地转换为标准形式。（1）约束条件标准化松弛变量法如果约束条件中有不等式： 或 通过引入两个非负变量xn+1，xn+2将上述约束条件转换成下面等价形式： 或 可见约束不等式均可转换为约束等式。（2）目标函数的标准化若原问题是求（），可以转换为求（）即可。2线性规划问题的解在（3）中满足约束条件，的向量（，）称为线性

4、规划问题的可行解，全体可行解组成的集合称为可行域，使目标函数达到最小值的可行解称为最优解。如果矩阵的某列所构成的方阵是满秩的，则的列向量，构成线性规划的一组基，称为线性规划问题的一个基阵，的剩余部分组成的子矩阵记为，则可以写成（，）。则相应地可以写成（，），的分量与的列相对应，称为基变量；的分量与的列相对应，称为非基变量。在约束中令所有非基变量取值为零时，得到的解（，0）称为与相对应的基解。当基解所有的分量都取非负时，即满足，则称其为基可行解，相应的基阵的列向量构成可行基。既是最优解，又是基可行解的称为最优基解。定理1如果线性规划（3）有可行解，那么一定有基可行解。定理2如果线性规划（3）有最

5、优解，那么一定存在一个基可行解是最优解。以上定理说明了如果所给的线性规划（3）有最优解，只要从基可行解上寻找最优解就行了。由于基可行解的个数是有限的，只要对所有的基可行解一一检查，就可以在有限次计算后确定最优解或断定该问题无最优解。3求解线性规划的MATLAB命令（1）MATLAB5.2及以下版本使用命令求解线性规划模型： （4） 这里为×矩阵，为×1列向量，为×1列向量。x = lp( c , A , b )求解线性规划模型（4）；x = lp( c , A , b , vlb , vub )指定决策变量的上下界vlbxvub；x = lp( c , A , b

6、 , vlb , vub , x0 )指定迭代的初始值x0；x = lp( c , A , b , vlb , vub , x0 , n )n表示中前n个约束条件等式约束；可以用help lp查阅有关该命令的详细信息。（2）MATLAB5.3以上版本使用命令MATLAB5.3以上的版本中优化工具箱（Optimization Toolbox）作了相当大的改进，虽然保留了lp命令，但已经使用新的命令linprog取代lp，并且在未来版本中将删除lp命令。求解的线性规划模型： （5）·x = linprog( c , A , b )求解线性规划模型（4）；x = linprog( c ,

7、A , b , Aeq , beq ) 求解模型（5），问题中没有指定x的上下界；x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub ) 求解线性规划模型（5）；x = linprog( c , A , b , Aeq , beq , lb , ub , x0 ) 指定迭代的初始值x0；如果模型（5）中不包含不等式约束条件，可用代替A和b表示缺省；如果没有等式约束条件，可用代替Aeq和beq表示缺省；如果某个xi无下界或上界，可以设定lb（i）inf或ub（i）inf；用x , Fval代替上述各命令行中左边的x，则可得到在最优解x处的函数值Fval；可以

8、在MATLAB帮助文件中查阅有关该命令的详细信息。【实验方法与步骤】建立线性规划模型有三个基本步骤：第一步，找出待定的未知变量（决策变量），并用代数符号来表示它们；第二步，找出问题的所有限制或约束条件，写出未知变量的线性方程或线性不等式；第三步，找到模型的目标，写成决策变量的线性函数，以便求其最大或最小值。1引例问题的分析与模型的建立首先，确定决策变量，要求如何安排白天电视、最佳时段电视、网络媒体、杂志广告的次数，用符号表示，分别设定为，；其次，确定所有的约束条件，广告总费用不超过750（千元），则有45862512750受广告影响的女顾客数不少于200万，则有2604501601002000

9、电视广告费用不超过450（千元），且白天至少播4次，最佳时段至少播出2次，则有4586450 ，4 ，2由于网络媒体和杂志广告要重复5到8次，则有58 ，58最后，确定问题的目标函数，由题意知确定广告编排方案，使得受各种广告影响的潜在顾客总数：350880430180最多。故该问题完整的线性规划模型如下：35088043018045862512750 2604501601002000458600450000800084 ，2，5，52MATLAB计算机求解用MATLAB求解的程序代码：>> c=-350 -880 -430 -180;%取将目标函数标准化>> a=45

10、86 25 12; -260 -450 -160 -100; 45 86 0 0; 0 0 1 0; 0 0 0 1;>> b=750; -2000; 450; 8; 8;>> lb=4; 2; 5; 5;>> x , Fval=linprog(c, a, b, , , lb, )%无等式约束条件和的上界，取表缺省Optimization terminated successfully.x = 4.0000 3.1395 8.00008.0000Fval =-9.0428e+003【结果分析】引例问题的目标函数是求受广告影响的最多顾客人数，而MATLAB命令

11、linprog针对线性规划模型（5）求最小值，那么我们取，将目标函数化成标准形式，在求得的最小值后，我们即可得到的最大值，根据约束条件，受广告影响的最多潜在顾客人数为9042800人。在这里，用命令lp可以求得相同的结果。【练习与思考】1一服务部门一周中每天需要不同数目的雇员：周一到周四每天至少50人，周五和周日每天至少70人，周六至少85人。现规定应聘者需连续工作5天，试确定聘用方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在满足需要的条件下聘用总人数最少。如果周日的需要量由75增至90人，方案应如何改变？2某地液化气公司两营业点A和B每月的进气量分别为9万 m3（立方）和12万 m3（立方），联合供应4个居民区a、b、c、d，4个居民区每月对气的需求量依次分别为7.5万 m3、4.5万 m3、6万 m3、3万 m3。营业点A离4个居民区的距离分别为7km、3km、6km、5.5km，营业点B离4个居民区的距离分别为4k