新华教育高中部数学同步人教A版必修四平面向量平面向量的数量积学习过程

1、平面向量的数量积学习过程知识点一：平面向量的数量积（1） 定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是，则数量|cosq叫与的数量积，记作×，即有× = |cosq，（）（2） .并规定与任何向量的数量积为0.（3） 投影：“投影”的概念：作图 定义：|cosq叫做向量在方向上的投影.投影也是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q = 0°时投影为 |；当q = 180°时投影为 -|.（4） 两个向量的数量积与向量同实数积的区别两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.当0

2、76;90°时，×0；当=90°时，×=0；当90°180°时，×0.两个向量的数量积称为内积，写成×；.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若，且×=0，不能推出.因为其中cosq有可能为0.（5）平面向量的数量积的几何意义：数量积×等于的长度与在方向上投影|cosq的乘积.注意：在方向上投影可以写成（6）平面向量的数量积的性质：设、为两个非零向量， Û

3、 × = 0 当与同向时，× = |；当与反向时，×= -|. 特别的× = |2或 cosq =，利用这一关系，可求两个向量的夹角。（7）平面向量数量积的运算律交换律：数乘结合律：()×=(×) = ×()分配律：(+)×= ×+ × 说明：一般地，(·)··（·）··，0有如下常用性质：（）（）····知识点二：平面两向量数量积的坐标表示（1） 已知两个非零向量，则·，即两个向量的数

4、量积等于它们对应坐标的乘积的和。（2） 向量模的坐标表示设，则.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么 （3） 注意：若A、B，则,所以的实质是A,B的两点的距离或是线段的长度，这也是模的几何意义。（4） 两个向量垂直的条件设，则 Û （5） 两向量夹角的余弦公式（6） 设两个非零向量，是与的夹角，则有cos=学习结论（1） 两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2） 数学中涉及向量中点、夹角、距离、平行与垂直问题，均可转化为向量问题。（3） 两向量垂直的充要条件有时与向量共线条件结合在一起，要注意两者的联系。典型例题例1 已知与都是非零

5、向量，且+ 3与7 - 5垂直， - 4与7- 2垂直，求与的夹角.解：由( + 3)·(7 - 5) = 0 Þ =0 ( - 4)·(7 - 2) = 0 Þ 两式相减：代入或得：设、的夹角为q，则cosq =，又因为 q = 60°例2 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和.解析：如图：平行四边形ABCD中，=|2=而= ，|= 2= 例3. 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角OAB，使ÐB = 90°，求点B和向量的坐标.答案:B点坐标或；=或解析：设B点坐标(x， y)，则= (x， y)，= (x-5， y-2) x(x-5) + y(y-2) = 0即：x2 + y2 -5x - 2y = 0又| = | x2 + y2 = (x-5)2 + (y-2)2即：10x + 4y = 29由B点坐标或；=或 例4. 在ABC中，=(2， 3)，=(1， k)，且ABC的一个内角为直角，求k值.答案：k =或k = 或k =解析：当A = 90°时，×= 0，2×1 +3×k = 0 k = 当B = 90°时，×= 0，=-= (1-2， k-