工程电磁场原理第1章1-倪光正

1、2022-3-5广东工业大学21.1 1.1 电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成1.2 1.2 矢量分析与场论基础矢量分析与场论基础1.3 1.3 电磁场的数学模型电磁场的数学模型麦克斯韦方程组麦克斯韦方程组第第1 1章章 电磁场的数学物理基础电磁场的数学物理基础2022-3-5广东工业大学31.1 1.1 电磁场物理模型的构成电磁场物理模型的构成理想化假设实际的电工、电子技术装置 电路模型(一种具体的 物理模型)电路模型：理想电路元件(R、L、C) 及其组合理想电压源、电流源(e,i)分析问题以u，i为基 本物理量给定激励(e,i) 求响应(u,i)电路分析：电路分析：2022-3-5

2、广东工业大学4电磁场分析：电磁场分析：理想化假设实际电磁装置中的电磁现象和过程电磁场的物理模型电磁场的物理模型： 连续媒质的场空间(, 及其相应的几何结构) 理想化的场源(q,i)分析问题以 为 基本物理量(场量)给定源量(q,i),求场 分布( )EBDH、 、 、EBDH、 、 、2022-3-5广东工业大学5以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为以上电磁场与电路分析的求解过程均可归结为(1)(1)给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述给出与所分析的物理模型对应的基本规律性的数学描述（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；（泛定方程）及其定解条件，即构造相应的数学模型；

3、(2)(2)运用相应的分析计算方法；运用相应的分析计算方法；(3)(3)解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解出数学模型中的待求物理量，即得所分析问题的确定解。解。2022-3-5广东工业大学61.1.1 1.1.1 源量源量两类场源（电荷两类场源（电荷 q、电流、电流 i ） 1.1.电荷电荷 q（Charge） e = 1.6021773310-19 C取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式：取决于电荷分布的不同形态，定义静态分布的四种形式： 点电荷分布形式（点电荷分布形式（point charge） （ 源点的位矢）源点的位矢） rqr2022-3-5广东工业大学7

4、 体电荷密度（体电荷密度（volume charge density） 30C/mddlimVrqVrqrV 面电荷密度（面电荷密度（surface charge density） 20C/mddlimSrqSrqrS C/mddlim0lrqlrqrl 线电荷密度（线电荷密度（line charge density）2022-3-5广东工业大学82.2.电流电流 i（current） dddSqiJStJ 定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源定义一个与电流相关的点函数，作为产生场效应的源量，体电流密度量，体电流密度( (简称电流密度简称电流密度) ) 矢量点函数：矢量点函数： 方向

5、：正电荷运动的方向方向：正电荷运动的方向 大小：大小：n20nndlimA/mdSiiJSS1.2 矢量分析1.2.1 矢量代数2022-3-5广东工业大学9标量、矢量（矢量的书写， 单位矢量，方向余单位矢量，方向余弦弦； 结合、交换）1.2 矢量分析1.2.1 矢量代数2022-3-5广东工业大学10coscoscosyxzAxyzxyzAAAeeeeAAAeeecos ,cos ,cos称为 的方向余弦A1.2 矢量分析1.2.1 矢量代数2022-3-5广东工业大学11标量积（模运算与坐标运算；交换、分配、数乘；投影）cosxxyyzzA BABA BA BA B 1.2 矢量分析1.2

6、.1 矢量代数2022-3-5广东工业大学12矢量积（模运算与坐标运算；交换、分配、数乘）sinxyzxyzxyzABABeeeAAABBBexex= eyey=ezez=exey= eyez= ezex=例例 1.1 计算由矢量计算由矢量A、B和和C构成的平行六面体的构成的平行六面体的体积，矢量体积，矢量 A=2ex+ey-2ez，B=-ex+3ey+5ez，C=5ex-2ey-2ez。 解解 平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式平行六面体的体积可表示为三重积的行列式形式()xyzxyzxyzAAAVBBBCCCAB C21213557522 矢量恒等式矢量恒等式()()()AB CC

7、ABBCA()()()AB CA C BA B C(1-24)(1-25)1.2 矢量分析1.2.3 矢量积分2022-3-5广东工业大学17线积分（模运算与坐标运算；用于；守恒场与非守恒场）222111cosllxyzxyzxyzF dlF dlF dxF dyF dz1.2 矢量分析1.2.3 矢量积分2022-3-5广东工业大学18环量（旋涡、感应电动势，模运算与坐标运算）lF dl1.2 矢量分析1.2.3 矢量积分2022-3-5广东工业大学19通量（引出，模运算与坐标运算；闭合面通量与“源”、“汇”）dSFS1.2 矢量分析1.2.4 标量场的梯度2022-3-5广东工业大学20梯

8、度概念的提出（标量场变化率） 设一个标量函数设一个标量函数 (x，y，z)，若函数若函数 在点在点 P 可微，则可微，则 在点在点 P 沿任意方向沿任意方向 的方向导数为的方向导数为coscoscosxyzlxlylzlxyzxyzGeeexyzcoscoscoslxyzeeee1.2 矢量分析1.2.4 标量场的梯度2022-3-5广东工业大学21coscoscosxyzlxlylzlxyzxyzGeeexyzcoscoscoslxyzeeee定义定义cos( , )llG eGG elcos( ,)1lG emaxGl则则如果如果 则则gradxyzGeeexyzxyzeeexyz 哈密顿

9、算子或纳布拉哈密顿算子或纳布拉算子，读算子，读deldel gradxyzeeexyz 定义定义则则梯度的意义：梯度的意义： 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即的最大变化率，即最大方向导数。最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。梯度的方向为该点最大方向导数的方向。例例1.1 电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等电位场的梯度与过该点的等位线垂直；位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数值等于该点的最大方向导数；数； 指向电位增

10、加的方向。指向电位增加的方向。例例1.2 设一标量点函数设一标量点函数 (1) 该点函数该点函数 在点在点P(1, 1, 1) 处的梯度，以及表示该梯度处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量；方向的单位矢量；22( )( , , )rx y zxyz描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求： 解解 (1) 由梯度定义由梯度定义,可解出待求可解出待求 P 点的梯度为点的梯度为22(1,1,1)()(22)22xyzPPxyzxyzeeexyzyxzxeyeeeee+222(1,1,1)coscoscos22(2 )(2 )( 1)221333GxyzPPxyzxyzeeeexeyeexye

11、ee 例例1.2 设一标量点函数设一标量点函数22( )( , , )rx y zxyz描述了空间标量场。试求：描述了空间标量场。试求： (2) 求该点函数求该点函数 沿单位矢量沿单位矢量 方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1, 1, 1) 处该方处该方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。cos60zecos60cos45lxyeee(2)211(22)222122lxyzxyzG elxeyeeeeexy(1,1,1)12212 22Pxyl222222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxyzxy 显然，显然，梯度

12、梯度 描述了描述了P P点处标量点函数点处标量点函数 的最大变化率，的最大变化率，即系最大方向导数即系最大方向导数，故，故 ，恒成立。恒成立。PPPl 1.2.5 1.2.5 矢量场与散度矢量场与散度Divergence of Vector Field对于一个矢量场对于一个矢量场P 点，点， S 、 V0（物理无限小），穿过该微小表面（物理无限小），穿过该微小表面 通量通量 极限极限00dlimlimSVVFSFVV div yxzDDDDxyzxyzeeexyz div DF两种表示方法：两种表示方法：div, xyzFFFF根据通量的大小判断闭合面中源的性质：根据通量的大小判断闭合面中源的

13、性质：0( (有负源有负源) )该处该处线是连续的线是连续的( (有正源有正源) )( (无源无源) ) 散度散度起到了检测起到了检测通量源通量源的作用的作用； 0dlimSVDSDV 00limlimdiiiiVSSDVDS0011limlimdiiinniiVSiiSDVDS 散度定理散度定理高斯定理高斯定理 请看P25页图0011limlimdiiinniiVViiSDVDS ddVSD VDS 散度定理散度定理ddSVFSF V 高斯定理高斯定理 建立了某一空间中的场与建立了某一空间中的场与包围该空间的边界场包围该空间的边界场之间之间的关系。的关系。 矢量函数的矢量函数的面积分面积分与

14、标量函数与标量函数体积分体积分的相互转换。的相互转换。1.2.6 1.2.6 矢量场与旋度矢量场与旋度Curl of Vector Field对于一个矢量场对于一个矢量场P 点，点，l、 S 0（物理无限小），环流强度最大值（物理无限小），环流强度最大值n0maxdcurl limlSHlHeS 1.2.6 1.2.6 矢量场与旋度矢量场与旋度Curl of Vector Field对于一个矢量场对于一个矢量场P 点，点，l、 S 0（物理无限小），环流强度最大值（物理无限小），环流强度最大值两种表示方法：两种表示方法：curl, curlxyzxyzeeeHHJxyzHHH 无旋无旋 有旋有

15、旋 根据根据旋度是否为零旋度是否为零判断判断是否有涡旋源是否有涡旋源： 旋度旋度起到了检测起到了检测涡旋源涡旋源的作用的作用； 旋度旋度 是一矢量；是一矢量； curl H 方向：右，并为获得方向：右，并为获得最大环量位置最大环量位置的面元的法线方向；的面元的法线方向； 矢量的旋度值与所选择的坐标系无关矢量的旋度值与所选择的坐标系无关。 斯托克斯定理斯托克斯定理ddLSHLHS 请看P26页图0dlimlSHlHS 00limlimdiiiiSllHSHl 0011limlimdiiinniSliilHSHl ddSLHSHL 斯托克斯定理斯托克斯定理ddSLHSHL 建立了场域中某一区域的场

16、与建立了场域中某一区域的场与该区域边界上场量该区域边界上场量之之间的关系。间的关系。 矢量函数的矢量函数的线积分线积分与与面积分面积分的相互转换。的相互转换。1.2.4 1.2.4 矢量分析常用的恒等式矢量分析常用的恒等式0V2()AAA =()AAA +2VV ()0A 2022-3-5440VddSlVSVlddlllVlVe ld0SVS任选有向曲面S SdlVll0由于曲面S S 的任意性无旋场证明无旋场证明0V因此2022-3-5450V的意义：的意义： 任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度。 任何梯度场一定是无旋场。任何梯度场一定是无旋场。2022-3-546() ddVSAV

17、AS 11ddSlASA l0任取曲面S S 所包围的体积V V22ddSlASA l 1212dddSSSASASAS由于曲面V V 的任意性无散场证明无散场证明()0A ()0A l1S1ne2S2neS2022-3-547的意义：的意义： 任一无散场一定可以表示为一个矢量场的旋度。 任旋度场一定是无散场。任旋度场一定是无散场。()0A 2022-3-5481.2.5 1.2.5 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理 若矢量场若矢量场 在无界空间中处处单值，在无界空间中处处单值，且其导数连续有界，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，源分布在有限区域中，则该矢量场唯一地由其则该矢量场唯一地由其散度散度

18、和和旋度旋度所确定，且可被表示所确定，且可被表示为一个为一个标量函数的梯度标量函数的梯度和和一个矢量函数的旋度一个矢量函数的旋度之和，即之和，即 ( )F r( )( )( )F rrA r 标量函数标量函数 1d4VF rrVrr 矢量函数矢量函数 1d4VF rA rVrr 2022-3-549其中其中 是源点是源点( )( )到场点到场点( )( )的距离；的距离；|rrrr积分也对源点坐标展开。积分也对源点坐标展开。 xyzeeexyz 算子算子 是对源点坐标进行运算的；是对源点坐标进行运算的；( )( )( )F rrA r 标量函数标量函数 1d4VF rrVrr 矢量函数矢量函数 1d4VF rA rVrr 2022-3-55