2016新课标三维人教A版数学选修2-32.4正态分布

1、 预习课本P7074，思考并完成以下问题1什么是正态曲线和正态分布？2正态曲线有什么特点？3正态曲线，(x)中参数，的意义是什么？1正态曲线及其性质(1)正态曲线：函数，(x)e，x(，)，其中实数，(>0)为参数，我们称，(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(2)正态曲线的特点：曲线位于x轴上方，与x轴不相交；曲线是单峰的，它关于直线x对称；曲线在x处达到峰值；曲线与x轴之间的面积为1；当一定时，曲线的位置由确定，曲线随着的变化而沿x轴平移；当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图所示点睛正态曲线，

2、(x)中，参数是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本均值E(X)去估计；是衡量随机变量总体波动大小的特征数，可以用样本标准差去估计2正态分布(1)如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<Xb)，(x)dx，则称随机变量X服从正态分布(2)正态分布完全由参数和确定，因此正态分布常记作N(，2)如果随机变量X服从正态分布，则记为XN(，2)3正态变量在三个特殊区间内取值的概率(1)P(<X)0682_6；(2)P(2<X2)0954_4；(3)P(3<X3)0997_41判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“×”)(1)函数

3、，(x)中参数，的意义分别是样本的均值与方差()(2)正态曲线是单峰的，其与x轴围成的面积是随参数，的变化而变化的()(3)正态曲线可以关于y轴对称()答案：(1)×(2)×(3)2若N，6，则E()等于()A1BC6D36答案：C3设随机变量N(，2), 且P(c)P(c), 则c等于()A0 B C D答案：D正态曲线及其性质典例某次我市高三教学质量检测中， 甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多， 成绩分布的直方图可视为正态分布), 则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是()A甲科总体的标准差最小B丙科总体的平均数最小C乙科总体的标准差及平均数都居中D甲

4、、乙、丙的总体的平均数不相同解析由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等， 由正态密度曲线的性质，可知越大， 正态曲线越扁平；越小， 正态曲线越尖陡， 故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙 故选A答案A利用正态曲线的性质可以求参数，(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x对称，由此性质结合图象求(2)正态曲线在x处达到峰值，由此性质结合图象可求(3)由的大小区分曲线的胖瘦活学活用若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式解：由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以正态曲线关于y轴对称，即0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以，解得

5、4故函数的解析式为，(x)·e，x(，)利用正态分布的对称性求概率典例设XN(1,22)，试求：(1)P(1X3)；(2)P(3X5)解因为XN(1,22)，所以1，2(1)P(1X3)P(12X12)P(X)0682 6(2)因为P(3X5)P(3<X1)，所以P(3X5)P(3X5)P(1X3)P(14X14)P(12X12)P(2X2)P(X)(0954 40682 6)0135 9正态变量在某个区间内取值概率的求解策略(1)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1(2)熟记P(<X)，P(2<X2), P(3<X3)的值(3)注意概率值的求解转

6、化：P(X<a)1P(Xa)；P(X<a)P(Xa)；若b<，则P(X<b)活学活用1已知随机变量XN(2，2)，若P(X<a)032，则P(aX<4a)_解析：由正态分布图象的对称性可得：P(aX<4a)12P(X<a)036答案：0362设随机变量XN(2,9)，若P(X>c1)P(X<c1)(1)求c的值；(2)求P(4<X8)解：(1)由XN(2,9)可知，密度函数关于直线x2对称(如图所示)P(X>c1)P(X<c1)，故有2(c1)(c1)2，c2(2)P(4<X8)P(22×3<X

7、22×3)P(2<X2)0954 4正态分布的实际应用典例在某次数学考试中，考生的成绩X服从一个正态分布，即XN(90,100)(1)试求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少？(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？解XN(90,100)，90，10(1)由于X在区间(2，2)内取值的概率是0954 4，而该正态分布中，2902×1070，2902×10110，于是考试成绩X位于区间(70,110)内的概率就是0954 4(2)由90，10，得80，100由于变量X在区间(，)内取值的概率是06

8、82 6，所以考试成绩X位于区间(80,100)内的概率是0682 6，一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0682 61 365(人)正态曲线的应用及求解策略解答此类题目的关键在于将待求的问题向(，), (2，2), (3，3)这三个区间进行转化，然后利用上述区间的概率求出相应概率，在此过程中依然会用到化归思想及数形结合思想活学活用1某人从某城市的南郊乘公交车前往北区火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分)服从XN(50,102)，则他在时间段(30,70)内赶到火车站的概率为_解析：XN(50,102)，50，10P(30<X&

9、lt;70)P(2<X<2)0954 4答案：0954 42某厂生产的圆柱形零件的外直径X服从正态分布N(4,0052)，质量检查人员从该厂生产的1 000个零件中随机抽查一个，测得它的外直径为37 cm，该厂生产的这批零件是否合格？解：由于X服从正态分布N(4,0052)，由正态分布的性质，可知正态分布N(4,0052)在(43×005,43×005)之外的取值的概率只有0003，37(385,4,15)，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，据此可以认为该批零件是不合格的层级一学业水平达标1关于正态分布N(，2)，下列说法正确的是()A随机变

10、量落在区间长度为3的区间之外是一个小概率事件B随机变量落在区间长度为6的区间之外是一个小概率事件C随机变量落在(3，3)之外是一个小概率事件D随机变量落在(3，3)之外是一个小概率事件解析：选DP(3<X<3)0997 4P(X>3或X<3)1P(3<X<3)10997 40002 6随机变量落在(3，3)之外是一个小概率事件2设两个正态分布N(1，)(1>0)和N(2，)(2>0)的密度函数图象如图所示，则有()A1<2，1<2B1<2，1>2C1>2，1<2 D1>2，1>2解析：选A反映的是正

11、态分布的平均水平，x是正态密度曲线的对称轴，由图可知1<2; 反映的正态分布的离散程度，越大， 越分散， 曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”， 由图可知1<23设随机变量XN(1,22)，则D()A4 B2C D1解析：选D因为XN(1,22)，所以D(X)4，所以DD(X)14若随机变量X的密度函数为f(x)·e，X在区间(2，1)和(1,2)内取值的概率分别为p1，p2，则p1，p2的关系为()Ap1>p2 Bp1<p2Cp1p2 D不确定解析：选C由正态曲线的对称性及题意知：0，1，所以曲线关于直线x0对称，所以p1p25已知一次考试共有60名

12、同学参加，考生的成绩XN(110,52)，据此估计，大约应有57人的分数在下列哪个区间内()A(90,110 B(95,125C(100,120 D(105,115解析：选C由于XN(110,52)，所以110，5，因此考试成绩在区间(105,115，(100,120，(95,125上的概率分别应是0682 6,0954 4,0997 4，由于一共有60人参加考试，成绩位于上述三个区间的人数分别是：60×0682 641人，60×0954 457人，60×0997 460人6已知随机变量X服从正态分布N(2，2)，则P(X<2)_解析：由题意知曲线关于x2对

13、称，因此P(X<2)答案：7设随机变量XN(3,1)，若P(X>4)p，则P(2<X<4)_解析：由XN(3,1)，得3，所以P(3<X<4)p，即P(2<X<4)2P(3<X<4)12p答案：12p8设随机变量XN(，2)，且P(X<1)，P(X>2)p，则P(0<X<1)_解析：随机变量XN(，2)，随机变量服从正态分布，x是图象的对称轴，P(X<1)，1P(X>2)p，P(X<0)p，则P(0<X<1)p答案：p9设XN(3,42)，试求：(1)P(1<X7)；(2)P

14、(7<X11)；(3)P(X11)解：XN(3,42)，3，4(1)P(1<X7)P(34<X34)P(<X)0682 6(2)P(7<X11)P(5<X1)，P(7<X11)P(5<X11)P(1<X7)P(38<X38)P(34<X34)P(2<X2)P(<X)(0954 40682 6)0135 9(3)P(X11)P(X5)，P(X11)1P(5<X11)1P(38<X38)1P(2<X2)(10954 4)0022 810生产工艺过程中产品的尺寸偏差X(mm)N(0,22)，如果产品的尺寸

15、与现实的尺寸偏差的绝对值不超过4 mm的为合格品，求生产5件产品的合格率不小于80%的概率(精确到0001)解：由题意XN(0,22)，求得P(|X|4)P(4X4)0954 4设Y表示5件产品中合格品个数，则YB(5,0954 4)，所以P(Y5×08)P(Y4)C·(0954 4)4×0045 6C·(0954 4)50189 20791 90981故生产的5件产品的合格率不小于80%的概率约为0981层级二应试能力达标1某厂生产的零件外径N(10,004)，今从该厂上午、下午生产的零件中各取一件，测得其外径分别为99 cm,93 cm，则可认为()

16、A上午生产情况正常，下午生产情况异常B上午生产情况异常，下午生产情况正常C上午、下午生产情况均正常D上午、下午生产情况均异常解析：选A因测量值为随机变量，又N(10,004)，所以10，02，记I(3，3)(94,106)，99I,93I，故选A2已知某批材料的个体强度X服从正态分布N(200,182)，现从中任取一件，则取得的这件材料的强度高于182但不高于218的概率为()A0997 3B0682 6C0841 3 D0815 9解析：选B由题意知200，18，182，218，由P(<X)0682 6知，答案应选B3已知随机变量X服从正态分布N(，2)，且P(2<X2)0954

17、 4，P(<X)0682 6，若4，1，则P(5<X<6)等于()A0135 8 B0135 9C0271 6 D0271 8解析：选B由题意可知P(5<X<6)P(2<X6)P(3<X5)0135 94设XN(1，)，YN(2，)，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是()AP(Y2)P(Y1)BP(X2)P(X1)C对任意正数t，P(Xt)P(Yt)D对任意正数t，P(Xt)P(Yt)解析：选D由图象知，12，12，P(Y2)，P(Y1)，故P(Y2)P(Y1)，故A错；因为12，所以P(X2)P(X1)，故B错；对任意正数t，P(Xt

18、)P(Yt)，故C错；对任意正数t，P(Xt)P(Yt)是正确的，故选D5在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1，2)(0)若在(0,1)内取值的概率为04，则在(2，)上取值的概率为_解析：由正态分布的特征易得P(>2)×12P(0<<1)×(108)01答案：016设某城市居民私家车平均每辆车每月汽油费用为随机变量X(单位为：元)，经统计得XN(520,14 400)，从该城市私家车中随机选取容量为10 000的样本，其中每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有_辆解析：由已知得：520，120，P(400<X<640)P(520120<X<520120)0682 6，每月汽油费用在(400,640)之间的私家车估计有：0