西工大、西交大自动控制原理 第四章 线性系统的根轨迹法_01

1、本章要求本章要求1 1 理解根轨迹的基本概念；（如：根轨迹；根理解根轨迹的基本概念；（如：根轨迹；根 轨迹法；闭环零、极点与开环零、极点之间轨迹法；闭环零、极点与开环零、极点之间 的关系；根轨迹方程等。）的关系；根轨迹方程等。）2 2 能够熟练地应用根轨迹的绘制法则绘制系统能够熟练地应用根轨迹的绘制法则绘制系统 的（概略）根轨迹；的（概略）根轨迹；3 3 学会等效开环传递函数的求取方法，能够熟学会等效开环传递函数的求取方法，能够熟 练地绘制系统的参量根轨迹；练地绘制系统的参量根轨迹；第四章线性系统的根轨迹法4 4 能够熟练地绘制零度根轨迹；能够熟练地绘制零度根轨迹；5 5 能够根据系统根轨迹分

2、析和计算系统的性能够根据系统根轨迹分析和计算系统的性 能指标。能指标。 本章要求本章要求第四章线性系统的根轨迹法一根轨迹的基本概念一根轨迹的基本概念二根轨迹绘制的基本法则二根轨迹绘制的基本法则主要内容主要内容三广义根轨迹三广义根轨迹第四章线性系统的根轨迹法三系统的性能分析三系统的性能分析第一节根轨迹的基本概念概述概述系统系统的的稳定性稳定性：由系统由系统闭环特征根闭环特征根(即即闭环极点闭环极点)决定决定系统的动态性能系统的动态性能：由系统由系统闭环闭环传递函数的传递函数的极点极点(即即闭环特闭环特征根征根)和和零点零点共同决定共同决定问题问题：开环极点一般易求，闭环极点难于确定：开环极点一般

3、易求，闭环极点难于确定1948年，年，WREvans 伊文思提出根轨迹法伊文思提出根轨迹法理论依据：理论依据：反馈控制系统开环与闭环传递函数间的内反馈控制系统开环与闭环传递函数间的内在联系在联系结果：结果：直接由系统开环传递函数来求系统闭环特直接由系统开环传递函数来求系统闭环特征根征根(闭环极点闭环极点)方法：方法：图解法（在伊文思建立的一整套法则下）图解法（在伊文思建立的一整套法则下）根轨迹的根轨迹的概念：概念：当系统的某个参数当系统的某个参数(例如开环增益例如开环增益 )由零到无穷由零到无穷大变化时，系统闭环特征根大变化时，系统闭环特征根(闭环极点闭环极点)在在 平平面上移动面上移动(变化

4、变化)的轨迹。的轨迹。根轨迹图的根轨迹图的意义：意义：A：表明了每一个开环零、极点对系统闭环特征表明了每一个开环零、极点对系统闭环特征根位置的影响。根位置的影响。B：直接给出系统时间响应的全部信息直接给出系统时间响应的全部信息C：指明开环零、极点应怎样变化才能满足给定指明开环零、极点应怎样变化才能满足给定的系统性能指标要求。的系统性能指标要求。Ks第一节根轨迹的基本概念1 1根轨迹根轨迹例例1 设系统结构图为：设系统结构图为：) 15 . 0(ssK)(sR)(sCKssKKssKsRsCs222)15 . 0()()()(2 0222 Kss特征方程为：特征方程为：其闭环传递函数为：其闭环传

5、递函数为：第一节根轨迹的基本概念1 1根轨迹根轨迹Ks2112, 1 特征根为：特征根为：若使若使 从从 变化，可以用解析法求相应的闭环变化，可以用解析法求相应的闭环特征根特征根(闭环极点闭环极点)的全部值。的全部值。如：如： 时，时， ， 时，时， ， 时，时， ， 时，时， ，将这些闭环特征根的数值标注在将这些闭环特征根的数值标注在 平面上，连成光平面上，连成光滑粗实线，就是系统的的根轨迹，如下图所示：滑粗实线，就是系统的的根轨迹，如下图所示： K00K5 . 0K1KK01s22s11s12sjs 12js 11js11js12s第一节根轨迹的基本概念1 1根轨迹根轨迹第一节根轨迹的基本

6、概念1 1根轨迹根轨迹j5 . 0K210K0K2121K0K5 . 2K1K5 . 2K1K在光滑粗实线上的在光滑粗实线上的箭头方向表示箭头方向表示 由由变化时，变化时，闭环特征根闭环特征根(闭环极闭环极点点)变化的趋势。变化的趋势。K0系统根轨迹与系统系统根轨迹与系统性能之性能之间有着比较密切的对应关系间有着比较密切的对应关系有了系统根轨迹图，就可分析系统的各种性能有了系统根轨迹图，就可分析系统的各种性能。以上述系统为例：以上述系统为例：A：稳定性：稳定性 时，系统的两个闭环特征根为：时，系统的两个闭环特征根为： ， 。系统不稳定。系统不稳定。 时，系统的两个闭环特征根时，系统的两个闭环特

7、征根 ， 都位都位于于 平面的左半平面。系统稳定。平面的左半平面。系统稳定。0K01s22s0K1s2ss第一节根轨迹的基本概念2 2根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能根轨迹与根轨迹与 平面虚轴交点处的平面虚轴交点处的 值，即为系统的临值，即为系统的临界开环增益界开环增益sKlKB：稳态性能：稳态性能 时，系统的两个闭环特征根时，系统的两个闭环特征根(闭环极点闭环极点)为为 和和 ；它正好就是系统开环极点。；它正好就是系统开环极点。 系统属于系统属于型系统。型系统。0K01s22s) 15 . 0()(ssKsG系统的静态误差系数分别为：系统的静态误差系数分别为：根据系统稳态误差的要求，可以

8、由根轨迹确定出根据系统稳态误差的要求，可以由根轨迹确定出系统闭环极点位置的允许范围。系统闭环极点位置的允许范围。pKKKv0aK第一节根轨迹的基本概念2 2根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能B：稳态性能：稳态性能第一节根轨迹的基本概念2 2根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能若系统若系统没有没有在坐标原点在坐标原点的的开环极点开环极点，则系统为，则系统为0 0型型系系统，根轨迹上所统，根轨迹上所对应的开环增益对应的开环增益就是系统的就是系统的静态位置静态位置误差系数误差系数；若系统若系统有一个有一个在坐标原点在坐标原点的的开环极点开环极点，则系统为，则系统为1 1型型系统，根轨迹上系统，根轨

9、迹上所对应的开环增益所对应的开环增益就是系统的就是系统的静态速静态速度误差系数度误差系数。因而即可根据根轨迹图，按对给定系统的因而即可根据根轨迹图，按对给定系统的稳态误差要稳态误差要求求，确定出，确定出闭环极点位置闭环极点位置的的允许范围允许范围。C：动态性能：动态性能当当 时，系统过阻尼，时，系统过阻尼， ，系统阶，系统阶跃响应为非周期单调上升过程。跃响应为非周期单调上升过程。 当当 时，系统临界阻尼，时，系统临界阻尼， ，系统有两，系统有两个相等的负实根个相等的负实根 ，其阶跃响应为非周期，其阶跃响应为非周期过程，响应速度较过阻尼时快。过程，响应速度较过阻尼时快。5 . 00 K15 .

10、0K112, 1s第一节根轨迹的基本概念2 2根轨迹与系统的性能根轨迹与系统的性能当当 时，系统欠阻尼，时，系统欠阻尼， ，系统阶跃，系统阶跃响应为衰减的振荡过程，而且系统超调度响应为衰减的振荡过程，而且系统超调度 随随 增大而增大，调节时间随增大而增大，调节时间随 的变化不明显。的变化不明显。5 . 0K10%KKD：系统的根轨迹设计：系统的根轨迹设计根据规定的系统性能指标要求，利用根轨迹去合根据规定的系统性能指标要求，利用根轨迹去合理地按排开环零、极点的位置，并适当调整开环理地按排开环零、极点的位置，并适当调整开环增益增益 值值。K第一节根轨迹的基本概念2 2根轨迹与系统的性能根轨迹与系统

11、的性能根轨迹法根轨迹法：根据系统的结构、参数根据系统的结构、参数(即系统的开环传递即系统的开环传递函数函数)给出系统的根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统给出系统的根轨迹图，并利用系统根轨迹对系统进行分析和设计。进行分析和设计。根轨迹法的根轨迹法的关键关键：给出系统的根轨迹图。给出系统的根轨迹图。难点难点：高阶系统解析困难。：高阶系统解析困难。方法方法：图解法图解法（不直接计算根轨迹）（不直接计算根轨迹）前提前提：研究系统的闭环零、极点与开环零、研究系统的闭环零、极点与开环零、极点之间极点之间的关系，根据已的关系，根据已知的开环传递函数迅速地给出知的开环传递函数迅速地给出系统的根轨迹。系统的根轨迹

12、。第一节根轨迹的基本概念3 3根轨迹法根轨迹法设控制系统结构图如图所示设控制系统结构图如图所示在一般情况下，在一般情况下，系统前向通道系统前向通道传递函数传递函数 和反馈通和反馈通道传递道传递函数函数 可分别表示为：可分别表示为：)(sG)(sH)(sG)(sH)(sR)(sC第一节根轨迹的基本概念4 4闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系其中其中 ： 为为前向通道增前向通道增益；益； 为为前向通道前向通道根轨迹根轨迹增增益。益。 qiifiiGvGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()12)(1()( GK221

13、221*TTKKGG hjjljjHhhhhvhhhhHpszsKsTsTsTssssKsH11*222221212221)()()12)(1()12)(1()(1 其中：为反馈通道根轨迹增益。其中：为反馈通道根轨迹增益。*HK第一节根轨迹的基本概念4 4闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系故：系统的故：系统的开环开环传递函数传递函数为：为：式中：式中： 为为开环开环根轨迹增益根轨迹增益； hjjqiiljjfiiKpspszszsKsHsGsG1111*)()()()()()()(*HGKKK nhqmlf；而系统的而系统的闭环闭环传递函数传递函数为：为：式中：式

14、中： 为为闭环闭环根轨迹增益根轨迹增益。)()(1)()(1)()(sHsGsGsGsGsK mjjniihjjfiiGzsKpspszsK1*111*)()()()(*GK第一节根轨迹的基本概念4 4闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系故有故有结论：结论：A：闭环系统根轨迹增闭环系统根轨迹增益益等于系统前向通道根轨迹增等于系统前向通道根轨迹增益益 ；当当 时，时，对于单位反馈系统，闭环对于单位反馈系统，闭环系统系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益就等于开环系统根轨迹增益根轨迹增益 ；B：闭环零点闭环零点由前向通道由前向通道 零点和反馈通道零点和反馈通道的极点组合

15、而成。对单位反馈系统，闭环零点就的极点组合而成。对单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。所以闭环零点很容易确定。是开环零点。所以闭环零点很容易确定。C：闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益益均有关。均有关。*GKmn *K)(sG)(sH第一节根轨迹的基本概念4 4闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系根轨迹法的根轨迹法的根本任务根本任务：根据已知的根据已知的开环传递函数开环传递函数 ，即已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益即已知开环零、极点的分布及开环根轨迹增益 ，通过通过图解法图解法的方法的方法找出找出系统的闭环极

16、点。然后系统的闭环极点。然后确确定定系统的闭环传递函数。系统的闭环传递函数。在已知系统闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间在已知系统闭环传递函数的情况下，闭环系统的时间响应，可利用拉氏变换法求出，或利用计算机算出。响应，可利用拉氏变换法求出，或利用计算机算出。) s (H) s (G) s (GK *K第一节根轨迹的基本概念4 4闭环零、极点与开环零、极点的关系闭环零、极点与开环零、极点的关系因为：因为：系统开环传递函数为系统开环传递函数为故：故：负反馈系统的闭环特征方程为负反馈系统的闭环特征方程为即即 niimjjKpszsKsHsGsG11*)()()()()(0)(1 sGK0)()(1

17、 sHsG第一节根轨迹的基本概念5 5根轨迹方程根轨迹方程亦可写成：亦可写成： 或：或：则上式称为根轨迹方程。则上式称为根轨迹方程。1)()(11* niimjjpszsK1)()( sHsG根轨迹方程：根轨迹方程： 或：或：中：中： 为已知的开环零点，为已知的开环零点， 为已知的开环极点，为已知的开环极点， 为开环根轨迹增益，它可从为开环根轨迹增益，它可从 变化，变化，为闭环特征方程式的根，亦即闭环极点。为闭环特征方程式的根，亦即闭环极点。1)()(11* niimjjpszsK1)()( sHsGjzip*K0s第一节根轨迹的基本概念5 5根轨迹方程根轨迹方程根轨迹方程的实质：一个根轨迹方

18、程的实质：一个向量方程向量方程。由于由于故故根轨迹方程又可写成：根轨迹方程又可写成：将模值和幅角分开列写，上式又可写为如下两个方程：将模值和幅角分开列写，上式又可写为如下两个方程：eekjsHsGjsHsG )12()()(1)()( )12(11 kje），210( k ），（，（2, 1, 0)12()()(1)()(kksHsGsHsG 第一节根轨迹的基本概念5 5根轨迹方程根轨迹方程 ) 12()()(11111*kpszspszsKniimjjniimjj或写为：或写为：其中的两个式子分别其中的两个式子分别称为称为幅值条件幅值条件和和相角条件相角条件。以上幅值条件和相角条件是根轨迹上

19、的点应同时满足的以上幅值条件和相角条件是根轨迹上的点应同时满足的两个条件。根据这两个条件，就可以完全确定两个条件。根据这两个条件，就可以完全确定 平面上平面上的根轨迹的根轨迹及根轨迹上及根轨迹上各点对应的各点对应的 值。值。s*K第一节根轨迹的基本概念5 5根轨迹方程根轨迹方程注意：注意：相角条件相角条件是确定是确定 平面上根轨迹的平面上根轨迹的充要条件充要条件。原因：原因：幅值条件与幅值条件与 有关，而相角条件与有关，而相角条件与 无关。无关。故：故：任何一个满足相角条件的任何一个满足相角条件的 值，代入幅值条件值，代入幅值条件总可以求出一个相应的总可以求出一个相应的 值。值。即：即：满足相

20、角条件的满足相角条件的 值，必同时满足幅值条件。值，必同时满足幅值条件。结论：结论：相角条件相角条件是确定根轨迹的是确定根轨迹的充要条件充要条件。s*K*Ks*Ks第一节根轨迹的基本概念5 5根轨迹方程根轨迹方程第四章 根轨迹法例题根轨迹例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。) )()( () )( (* *5+2+=sssKsG-14-12-10-8-6-4-2024-10-8-6-4-20246810 -0.884Root LocusReal AxisImaginary Axis根轨迹例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。) )()( () )( (* *5+2+=2sssKsG-10-8-6-4-202468-8-6-4-202468 -4Root LocusReal AxisImaginary Axis根轨迹例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。3*)1()3()( sssKsG根轨迹例：设单位反馈系统开环传递函数如下，试绘出相应的概略根轨迹。) )()( () ). .( () )(