厦门大学至第一学期高等代数期末考试试题及答案

1、厦门大学2008至2009学年第一学期高等代数期末考试试题及答案一、     单选题（32分. 共8题, 每题4分）1.           下列说法错误的是_B_.A)     若向量组线性无关，则其中任意两个向量线性无关；B)      若向量组中任意两个向量线性无关，则线性无关；C) 

2、0;   向量组线性相关；D)     若向量组线性无关，则线性无关.2.         设n维列向量线性无关, 则n维列向量线性无关的充要条件是_D_.A)     向量组可由向量组线性表示；B)      向量组可由向量组线性表示；C)     向量组与

3、向量组等价；D)     矩阵与矩阵相抵.3.           设线性方程组的解都是线性方程组的解，则_C_.A) ；           B) ；       C) ；    

4、0;  D) .4.           设n阶方阵A的伴随矩阵，非齐次线性方程组有无穷多组解，则对应的齐次线性方程组的基础解系_ B _.A) 不存在；                       

5、                 B) 仅含一个非零解向量；     C) 含有两个线性无关的解向量；                D) 含有三个线性无关的解向量.5. 

6、0;         下列子集能构成的子空间的是_B_.A) ；                   B) ；C) ；              &#

7、160;           D) .6.           设V是数域K上的线性空间, V上的线性变换在基下的矩阵为A且，若在基下的矩阵为B, 则_B_.A) ；              

8、60;              B) 2；               C) ；                  &

9、#160;D) 不能确定.                         7.           设V是维向量空间，和是V上的线性变换，则的充分必要条件是_D  _.A) 和都是可逆变换；

10、0;                          B) Ker=Ker；                      

11、;   C) ；                            D) 和在任一组基下的表示矩阵的秩相同.8.           设是线性空间V到U的同

12、构映射, 则下列命题中正确的有_D _个.() 为可逆线性映射；() 若W是V的s维子空间, 则是U的s维子空间；() 在给定基下的表示矩阵为可逆阵；() 若, 则.A) 1                             

13、;    B) 2                                    C) 3       

14、0;                            D) 4二、     填空题（32分. 共8题,每题4分）1.       若矩阵经过行初等变换化为, 那么向量组的一个

15、极大无关组是 , 其余向量由此极大无关组线性表示的表示式为  .2.       设3维向量空间的一组基为，则向量在这组基下的坐标为 .3.       设，均为线性空间V的子空间，则.4.       数域上所有三阶反对称矩阵构成的线性空间的维数是_3_.而是它的一组基.5.     &

16、#160; 已知上的线性变换定义如下：，则Ker=. Im=.6.       设是数域上维线性空间V到维线性空间U的线性映射, 则为满射的充分必要条件是.（请写出两个）7.       设和是线性空间V的两组基，从到的过渡矩阵为. 若是V上的线性变换且，则在基下的表示矩阵是_P_.8.       设是线性空间V上的线性变换，在基下的表示矩阵为，其中A为矩

17、阵，则存在V的一个非平凡-不变子空间.三、              (8分) 设线性空间V的向量组线性无关，考虑向量组.求证：或者该向量组线性无关，或者可由线性表示.证明：若线性相关，则存在不全为0的数使得我们断言，事实上，若，则由线性无关知于是，这与不全为相矛盾因此，此时，从而，或者该向量组线性无关，或者可由线性表示四、          &#

18、160;   (10分) 设,分别是数域上的齐次线性方程组与的解空间. 证明.证明：法一：一方面， ，有，则故另一方面， ，存在, ，使得即因此，法二：一方面， ，有，则故另一方面，由于为方程组的解空间，其中，为方程组的解空间，其中，所以故从而，法三：一方面，由于为方程组的解空间，其中，为方程组的解空间，其中，所以故另一方面， ，存在, ，使得即因此，五、              (10分) 设. 证明：的充分必要条件是存在，使得且.证明： 充分性： 由于，满足且，所以故必要性：由于，所以存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q使得令，则，满足且 六、 &#