数学不等式高考真题

1、精品1. (2018?卷H)设函数？=5-|?+?-|?22|(1) 当？?=1时，求不等式？>0的解集；(2)若？W1,求？的取值范围2. (2013?辽宁)已知函数f(x)=|x-a|,其中a>1(1)当a=2时，求不等式f(x)X-|x-4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|<2的解集x|1aV,求a的值.3. (2017?新课标m)选彳4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(I)求不等式f(x)办的解集；(n)若不等式f(x)以2-x+m的解集非空，求m的取值范围.4. (2017?新课标II)选彳4-5:不等式选讲已

2、知a>0,b>0,a3+b3=2,证明：(I)(a+b)(a5+b5)4;(n)a+b建.5. (2017?新课标I卷)选彳4-5:不等式选讲已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(10分)(1)当a=1时，求不等式f(x)用(x)的解集；(2)若不等式f(x)与(x)的解集包含-1,1,求a的取值范围.6. (2017?新课标n)选彳4-5:不等式选讲已知a>0,b>0,a3+b3=2,证明：(I)(a+b)(a5+b5)乂；(n)a+b<2.7. (2018?卷I)已知？=|?+1|-|?1|(1)当？?=1时，求不等式？>

3、;1的解集(2)若？e(0,1)时，不等式？>?成立，求？的取值范围8. (2018？卷I)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|(1)当a=1时，求不等式f(x)>1的解集(2)若xC(0,1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围9. (2017？新课标m)选彳4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)声的解集；(2)若不等式f(x)次2-x+m的解集非空，求m的取值范围.10. (2014？新课标II)设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(1)证明：f(x)或；(2)若f(3)v5,求a的取值范围.11. (2

4、015福建)选彳4-5:不等式选讲已知？?>0,?>0,?>0函数？=|?+?+|?-?+?勺最小值为4.(1)求？?+?+?m直；(2)求停二?的最小值.12. (2014?新课标I)若a>0,b>0,且?1?+1?=。?(1)求a3+b3的最小值；(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.13. (2017?新课标出)已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(12分)(1)讨论f(x)的单调性；3(2)当a<0时，证明f(x)£-2.14. (2017?新课标出)已知函数f(x)=x-1-alnx.(I)若f(x)出，求a

5、的值;(n )设m为整数，且对于任意正整数 n ,15. (2018 ?卷出)设函数 ？ = |2?+ 1| +求m的最小值.(1)画出？?=?的图像(2)当？C0,+oo)时，？<?+?,求？?+?的最小值。16. (2013?福建)设不等式|x-2|<a(aCN*)的解集为A,且3C?3?(1)求a的值(2)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.17. (2013?新课标I)(选修4-5:不等式选讲)已知函数f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=-2时，求不等式f(x)vg(x)的解集；?1(2)设a>-1,且当？C-2,2)时，f

6、(x)为(x),求a的取值范围.18. (2016?全国)选修45:不等式选讲已知函数f(x)=Ix-2I+Ix+1I,M为不等式f(x)<2的解集.(1)求M;(2)证明：当a,beM时，Ia+bI<I1+abIo19. (2016?全国)选彳4-5:不等式选讲已知函数f(x)=|2x-a|+a.(1)当a=2时，求不等式f(x)K的解集；(2)设函数g(x)=|2x-1|,当xCR时，f(x)+g(x)冷，求a的取值范围.20. (2012?新课标)已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|(1)当a=-3时，求不等式f(x)邺的解集；(2)若f(x)弓x-4|的解集包含1,2,

7、求a的取值范围.21. (2012?辽宁)选修4-5:不等式选讲已知f(x)=|ax+1|(aCR),不等式f(x)曷的解集为x|-2双得.(1)求a的值；?(2)若|?-2?2)|w?恒成立，求k的取值范围.感谢下载载答案解析部分一、解答题6-2?>21.【答案】(1)a=1时，时，由？(?=)2,-1<?<24+2?w-1当x要时，由f(x)用得：6-2x汨，解得：x9;当-1vxvx时，f(x)汨；当xV1时，由f(x)用得：4+2x涮，解得x>2所以f(x)用的解集为凶-2寂4(2)若f(x)可，即5-|?+?-|?22|<1恒成立也就是xCR,|?+?+

8、|?22|>4恒成立|?+?+|?22|刁？?+2|当x=2时取等，所以xCR,|?+?+|?22|>4等价于|?+2|>4解得：a业或a«6所以a的取值范围(-8,-6U2,+8)【解析】【分析】(1)由绝对值不等式的解法易得；(2)由绝对值几何意义转化易得2.【答案】(1)解：当a=2时，f(x)引-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|引，当xq时，得-2x+6斗，解得x闾；当2vx<4时，得2斗，无解；当xN时，得2x-6N,解得x书；故不等式的解集为x|x书或x司F-2a=x<0(2)解：设h(x)=f(2x+a)2f(x),贝Uh(x)=4工

9、一？&EK口a,、.c?T丁/+1由|h(x)|磴得-,JL-又已知关于x的不等式|f(2x+a)-2f(x)|夜的解集x|14或,【解析】【分析】(1)当a=2时，f(x)引-|x-4|可化为|x-2|+|x-4|,直接求出不等式|x-2|+|x-2?w04|闻的解集即可.(2)设h(x)=f(2x+a)-2f(x),贝Uh(x)=4?-2?0V?<?油|h(x)2?>?.一？1?+1.|建解得<?<,它与14磴等价，然后求出a的值.-3,?<-13.【答案】解：(I)f(x)=|x+1|-|x-2|=2?-1,-1<?<2,f(x)有，3,

10、 ?>2，当-1q<2时，2x-1斗，解得1qq;当x>2时，3声恒成立，故x>2;综上，不等式f(x)有的解集为x|x声.(n)原式等价于存在xCR使得f(x)-x2+x而成立，即mQf(x)x2+xmax,设g(x)=f(x)x2+x.-?3+?-3,?<-1由(1)知，g(x)=-?3+3?-1,-1<?<2,-?3+?+3,?>2当xW-1时，g(x)=-x2+x-3,其开口向下，对称轴方程为x=1>-1,1-g(x)可(-1)=-1-1-3=-5;3当-1vxv2时，g(x)=-x2+3x-1,其开口向下，对称轴方程为x=-

11、63;(-1,2),3995g(x)<g(2)=-4+2-1=4；当x芝时，g (x) = - x2+x+3 ,其开口向下，对称轴方程为x= 2 <2,1.g(x)匐(2)=-4+2=3=1;5综上，g(X)max=4,5m的取值范围为(-8,4.-3,?R-1【解析】【分析】(I)由于f(x)=|x+1|-|x-2|=2?-1,-1<?<2,解不等式f(x)芸可分3,?>2-1咏磴与x>2两类讨论即可解得不等式(x)高的解集;(n )依题意可得 m<f (x) - x2+x max设 g (x) =f (x)-x2+x ,分 x4、- 1vxv2、x

12、军三类讨论，可求得g (x) max =的取值范围.4.【答案】证明：(I )由柯西不等式得:(a+b ) (a5+b 5) >(v?*5 +V?<5 ) 2= (a3+b 3) 2村,当且仅当 V? = V? ,即 a=b=1时取等号,(n ) ,. a3+b 3=2 ,-1 (a+b ) (a2 - ab+b 2) =2 ,-1 (a+b ) (a+b)2 - 3ab=2 ,(a+b ) 3- 3ab(a+b ) =2 ,(?3-23(?+?=ab，由均值不等式可得:(?+?3- 2=ab < (3 (?+ ?'?+ ? c石)2 ，(a+b ) 3 - 2W3(

13、?狂？?3-a+b当且仅当a=b=1时等号成立.I)由柯西不等式即可证明,(n)由a3+b3=2转化为(?：；=ab,再由均值不等式可得:3(?+?(?+?3-23(?+?+?=ab<(w)2,即可得到1(a+b)3<2,问题得以证明.5.【答案】(1)解：(1)当 a=1 时，f (x) = x2+x+41,是开口向下，对称轴为 x= 2的二次函数,2? , >?1g (x) =|x+1|+|x - 1|= 2, - 1W?W1 ,-2? , ?- 1当 xC (1,+0°)时，令x2+x+4=2x ,解得 x= 7- 1g (x)在(1 , +8)上单调递增，f

14、 (x)在(1 ,+ 8)上单调递减，.此时f (x)测(x)的解集为(1,9;当 xC 1 , 1时，g (x) =2 , f (x) 4(1) =2 .当x C (00, T )时，g (x)单调递减，f (x)单调递增，且g (T ) =f (- 1) =2 .综上所述，f (x)均(x)的解集为-1,如 ;(2) (2)依题意得:x2+ax+4 % 在-1 , 1恒成立,即x2-ax-2硝在-1, 1恒成立，则只需12-?1-2<0,(-1)2-?-1)-2<0故a的取值范围是-1 ,1.2? , ?1(2.)依题意得:(1.)当 a=1 时，f (x) = - x2+x+

15、4 ,1、xC (-8, 1)三类讨论，结合g,17-1 , T ；g (x) =|x+1|+|x -1|= 2,-1 W?W1 ,分-2? , ?- 1(x)与f (x)的单调性质即可求得 f (x)均(x)x2+ax+4或 在-1, 1恒成立？x2-ax-2却 在-1, 1恒成立，只需,2"产-?-11)2”。，解之即可得a的取值范围.6.【答案】证明：(I )由柯西不等式得:(a+b)(a5+b5)丑V?<5+V?<5)2=(a3+b3)24,时取等号,当且仅当V?=V?,即a=b=1(n).a3+b3=2,(a+b)(a2-ab+b2)=2,-1(a+b)(a+b

16、)2-3ab=2,(a+b)3-3ab(a+b)=2,(?3-2-3(?2?=ab，由均值不等式可得：郎等=ab<(?+?) . ?C(2,1当？> 1时，2>1,成立，综上所述 ？> 1结果为(；,+ 8),3(?+?)2，(a+b)3.2w3,4，1 3-4(a+b)(2)解： ?C(0,1)建，.-a+b<2,当且仅当a=b=1时等号成立.【解析】【分析】(I)由柯西不等式即可证明，(n)由a3+b3=2转化为C；2=ab,再由均值不等式可得：d；2=ab?+?)2,即可得3(?+?3(?+?)2到1(?+?3磴，问题得以证明.-2,?<-1,7.【答

17、案】(1)解：当？?=1时，？二|?+1|-|?21|，即？=2?-1<?<1,故不等式2,?>1.?>1的解集为?破.(2)解：当？C(0,1)时|?+1|-|?1>?成立等价于当？e(0,1)时|?1|<1成立.若?<0,则当？e(0,1)时|?1|>1；若？?>0,|?1|<1的解集为0<?<2?,所以!?>1，故0V?w2.综上，？的取值范围为(0,2.【解析】【分析】(1)通过对x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集；(2)不等式恒成立等价于f(x)-x>0对于？C(0,1)恒成立，即函数f(x)-

18、x的最小值大于0,由此求出a的范围.-2,?<-18.【答案】(1)解：当a=1时，？?2?-1w?<12,?>1当？<-1时，-2>1舍1当-1w?<1时，2x>1?>2?=?+1-|?1|>?|?1|<1?0<?R2ax>0a>0.ax<2?<(2)min又？e(0,i)所以？w2综上所述？e(0,2f(x)-x>0 对于【解析】【分析】通过对x分类讨论去掉绝对值，解不等式，求出解集;(2)不等式恒成立等价于?C(0,1)恒成立，即函数f(x)-x的最小值大于0,由此求出a的范围.-3,?%-1

19、9.【答案】(1)解：f(x)=|x+1|-|x-2|=2?-1,-1<?<2,f(x)当，3, ?>2，当-1收建时，2x-1斗，解得1强磴；当x>2时，3当恒成立，故x>2;综上，不等式f(x)月的解集为x|x必.(2)原式等价于存在xCR使彳导f(x)-x2+x而成立，即mf(x)x2+xmax,设g(x)=f(x)x2+x.-?!+?-3,?然-1由(1)知，g(x)=-?+3?-1,-1<?<2,-?+?+3,?>2当xW-1时，g(x)=-x2+x-3,其开口向下，对称轴方程为x= g (x)匐(2) = - 4+2=3=1>-

20、1,:g(x)可(T)=TT-3=-5;3当-1vxv2时)g(x)=-x2+3x-1,其开口向下)对称轴方程为x=-(-1,2)g(x)可994+2-1=一一C1当x/时，g(x)=-x2+x+3,其开口向下，对称轴方程为x=2<2,综上，g(x)max=5m的取值范围为(-4.-3,?%-11 < ?< 2 ,解不等式f (x)高可分【解析】【分析】(1.)由于f(x)=|x+1|-|x-2|=2?-1,-1咏磴与x>2两类讨论即可解得不等式f(x)高的解集;3,?>2(2.)依题意可得 mqf (x) - x2+x max设g(x)=f(x)x2+x,分x&

21、#171;、1vxv2、x或三类讨论，可求得g(x)max=54，从而可得m的取值范围.1 1 1一)(x a) |=|a+ 一 |=a+ -10.【答案】(1)解：证明：a>0,f(x)=|x+|+|xa|斗(x+=-=2,故不等式f(x)要成立.(2)解：-f(3) =|3+1一|+|3 - a|<5 ,.二当a >3时,不等式即a+ 1<5,即 a2- 5a+1 <0,解得 3<a<当0va小时,不等式即16 - a+ <5,即 a2 - a - 1 > 0 ,求得 ai+V5v a31综上可得,a的取值范围【分析】(1)由a>

22、0, f (x)=|x+ ? |+|x -a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f (x)电成立.(2)由 f (3) =|3+ ? |+|3-a|<5,分当a>3时和当0va德 时两种情况，分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集，即得所求.8(2)7【解析】【解答】1.因为？=|?+?+|?+?+?>|(?+?-(?+?|+?=|?+?+?当且仅当-?<?<?时，等号成立，又？>0,?>0,所以1?+?=?+?所以？的最小值为?+?+?所以？?+?+?=4.2.由1知？?+?+?=4,由柯西不等式得(-?+-?+?)(4+9+1)>(?

23、x2+?X3+?x1)1.因为当 xC (0,-二)叱 f' (x) >0、当 xC (-二，+8)时，f' (x) V0,=492311(?+?+?2=16,gp1?/2+1?+?>l,d当且仅当2?=3?=?即？?=|,?=18,?=2时，等号成立所以497231777;?+1?+?3的最小值为I497.【分析】当？勺系数相等或相反时，可以利用绝对值不等式求解析式形如？=|?+?+|?+?的函数的最小值，以及解析式形如？=|?+?-|?+?的函数的最小值和最大值，否则去绝对号，利用分段函数的图象求最值.利用柯西不等式求最值时，要注意其公式的特征，以出现定值为目标

24、.12 .【答案】(1)解：.>0,b>0,且一+-=,ao,，ab或，当且仅当a=b=0时取等号.a3+b3弟J.bf电7F=441,当且仅当a=b=JI时取等号，a3+b3的最小值为4出.(2)解：2a+3b或力口一拈二2板正，当且仅当2a=3b时，取等号.而由(1)可知，2J60b差>/12=4百>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.【解析】【分析】(1)由条件利用基本不等式求得ab笼，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(2)根据ab引及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.13 .【答案】(1)解：因为f(x

25、)=lnx+ax2+(2a+1)x,求导 f' (x) = - +2ax+ (2a+12?2+(2?+1)?+1 _ (2?1)(?1)?，(x>0),当a=0时，f'(x)=?+1>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+°0)上单调递增；当a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立，此时y=f(x)在(0,+°°)上单调递增;12?2?当a<0时，令f(x)=0,解得：x二-赤.11所以y=f (x)在(0, - 2?)上单倜递培、在(-2?,+ 8)上单调递减.综上可知：当a汨时f (x)在(0

26、, +8)上单调递增,1当a<0时，f (x)在(0,-赤)上单倜递增、在(-12?+ °°)上单调递减;(2)证明：由(1)可知：当a<0时f (x)在(0,-12?上单调递增、在(-+ 8)上单调递减,所以当x= - £ 时函数y=f (x)取最大值f (x) max=f1、，2? ) = - 1 - ln2 -14?.，1 、+ln (- ?)从而要证 f (x) W- 4? 2,即证 f (- 2? ) <- 4?2,1即证 T-ln2 一赤 +ln (一1 、 一 一?) <- 1+ln2 .问题转化为证明:1. 一 .一，一2

27、t+lnt <- 1+ln2 . , ,(*)令 g (t)2 t+lnt=0可知t=2,则当0vtv2时 g' (t)> 0,当 t>2 时 g' (t) v0,所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+ °°)上单调递减,即 g (t)12 mln2= 一1+ln2 ，即(*)式成立,所以当a<0时，f(x)w-4?-2成立.【解析】【分析】(1.)题干求导可知f' (x)=(2?1)(?+1)? (x>0),分a=0、a>0、a<0三种情况讨论f'(x)与0的大小关系可得结论;(2.)通

28、过(1 )可知f (x) max =f (一2?)1 - ln2 - 4? +ln (- ?),进而转化可知问题转化为1一证明：当 t>0 时2 t+lnt - 1+ln2 .1进而令g(t)=-t+lnt,利用导数求出y=g(t)的取大值即可.14 .【答案】解：(I)因为函数f(x)所以f，(x)=1-?=?，且f(1)所以当a现时f' (x) > 0恒成立，此时y=f(x)在(0,+00)上单调递增，所以在(0,1)上f(x)<0,这与f(x)用矛盾;当a>0时令f'(x)=0,解得x=a,所以y=f(x)在(0,a)上单调递减，在(a,+

29、6;°)上单调递增，即f(x)min=f(a),又因为f(x)min=f(a)书，所以a=1;(n)由(I)可知当a=1时f(x)=x-1-InxS0,即Inxa一1,所以In(x+1)立当且仅当x=0时取等号，所以ln(1+2?)<2?,ken,方面，因为所以，（1+-）（1+-2）（1+F）ve;2221、，.1、，.1、，.1、，.1、，.1、135另一万面，（1+万）（1+y）（1+产）>（1+万）（1+y）（1+?）=百>2,111一同时当n4时，（1+1）（1+理）（1+/）£（2,e）.因为m为整数，且对于任意正整数n（1+；）（1+22）（

30、1+2?）vm,所以m的最小值为3.【解析】【分析】（I）通过对函数f（x）=x-1-alnx（x>0）求导，分a<0、a>0两种情况考虑导函数f'（x）与0的大小关系可得结论；（n）通过（I）可知lnx菽T,进而取特殊值可知ln11+2?）v：?,kCN*.一方面利用等比数111_、_,_11列的求和公式放缩可知（1+2）（1+”）一（1+尹）ve；另一万面可知（1+2）（1+22）（1+1一，111一2?）>2,且当n书时，（1+2）（1+22）（1+2?）£（2,e）.1-3?<-215 .【答案】（1）解：？=?+2,-1w?w13?&g

31、t;1（2）解：由（1）中可得：a用，b或，当a=3,b=2时，a+b取最小值,所以a+b的最小值为5.【解析】【分析】（1）画图像，分段函数；（2）转化为一次函数分析3116 .【答案】（1）解：因为-eA-eH,31所以彳-2巴且-23d3解得不心-五,因为aCN*,所以a的值为1.(2)解：由(1)可知函数f(x)=|x+1|+|x2|斗(x+1)(x2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)汨，即x弟或x<-1时取等号，所以函数f(x)的最小值为3.(2)31【解析】【分析】(1)利用万C?2?,推出关于a的绝对值不等式，结合a为整数直接求a的值.利用a的值化简函数f(x),利用绝

32、对值三角不等式求出|x+1|+|x-2|的最小值.17.【答案】(1)解：当a=-2时，求不等式f(x)vg(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0.一5兄-j设y=|2x-1|+|2x2|x3,则y=5-x-2T<x<1,它的图象如图所示：3jc-6:x>1结合图象可得，y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2).(2)解：设a>-1,且当工日一，时，f(x)=1+a,不等式化为1+a虫+3,故x命-2对=a上已一不工)都成立.Jaa44故-三书-2,解得aw；,故a的取值范围为(-1,.233【解析】【分析】（1）当a=-2时，求不等

33、式f（x）vg（x）化为|2x-1|+|2x-2|-x-3v0.设y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,画出函数y的图象，数形结合可得结论.（2）不等式化即1+a微+3,故x书-2一一?1.?对？C-?,2）都成立.故-2书-2,由此解得a的取值范围.一1.11118 .【答案】（1）解：当？?<-2时，？=-?-?-2=-2?,若-1<?<-2；当-2<?<2时，？=2-?+?+1=1<2恒成立；11_当？>-时，？?？=2?,若？?？<2,-<?<1.综上可得，？?=?-1<?<1（2）证明：当？为审？e（-1?如时，有（？-1）（?3-1）>0,即？3?+1>?+?3,则？3?+2?21>?3+2?,则（?1）2>（?2,即|?+?<|?1,证毕【解析】【分析】（1）分当xv一年时，当一,qw,时，当x>得时三种情况，分别求解不等式，综合可得答案；（2）当a,bCM时，（a2T）（b2-1）>0,即a2b2+1>a2+b2,配方后，可证得结论.19 .【答案】（1）解：当a=2时，f（x）=|2x-2|+2,f（x）令，|2x2|+2帮，|2x-