第三章 二维随机变量及其分布

1、第三章 二维随机变量及其分布2009考试内容多维随机变量及其分布 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度 随机变量的独立性和不相关性 常用二维随机变量的分布两个及两个以上随机变量简单函数的分布2009考试要求1 理解多维随机变量的概念，理解多维随机变量的分布的概念和性质，理解二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布，理解二维离散型随机变量的概率密度、边缘密度和条件密度，会求与二维随机变量相关事件的概率。2 理解随机变量的独立性及不相关性的概念，掌握随机变量相互独立的条件。3 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布N（的概率密度

2、，理解其中参数的概率意义。4. 会求两个随机变量简单函数的分布，会求多个相互独立随机变量简单函数的分布。本章构架 本章的核心内容是离散3分布（联合、边缘和条件）；连续3密度（联合、边缘和 条件）；均匀与正态。介绍了作者原创的3个秘技（直角分割法、平移法和旋转法） 求分布问题。本章是教育部关于概率论大题命题的重点。 一、二维随机变量（向量）的分布函数1.1 二维随机变量（向量）的分布函数的一般定义是二维随机变量，对任意实数和，称 为的分布函数，又称联合分布函数。具有一维随机变量分布类似的性质。 ； 对和都是单调非减的，如； 对和都是右连续； 几何意义：表示在的函数值就是随机点在左侧和下方的无穷矩

3、形内的概率。对有限矩形域有：1.2 二维离散型随机变量的联合分布律、边缘分布律与条件分布律 联合分布律设的一切可能取值为，且取各对可能值的概率为 ， 则称为联合分布律。1.2.2 边缘分布律设事件，根据全概率公式有所以我们定义： 及 分别称为，的边缘分布律评 注 已知联合分布，可求出全部边缘分布，反之不然。如已知 反之则却确定不了，还必须另给条件。【例1】根据下表求 及 和。XY12310.10.302000.230.10.10400.20解： （边缘分布）； （边缘分布）。1.2.3 条件分布律 =1,2【例2】 已知的联合分布律表，求条件下的分布律。XY12341203001解：先求出所有

4、的边缘分布，如上表，于是12341.3 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘概率密度与条件概率密度1.3.1 联合分布函数与联合概率密度连续型联合分布函数：区域按照陈氏直角分割法确定。且有 联合概率密度: 1.3.2 边缘分布的概率密度评 注 二维连续型的两个分量还是连续型，但两个分量都是连续型的随机变量的二维随机变量却不一定是连续型，即可能成为既非连续型，又非离散型。【例3】已知二维随机变量，求边缘分布概率密度。 解：由于 令 同理，可见二维正态分布的两个边缘分布仍然是正态分布。1.3.3 条件概率密度 证明：同理： 【例4】 设，求。解： 因为 ， 又， 可见正态分布的两个边缘分布仍然是

5、正态分布。评 注 一般地 而且，从上式可以看出，当，即独立或不相关时，两个正态边缘分布和条件分布相同。评 注 如何写出条件概率密度、条件分布函数和条件分布率中变量的范围是一个重点。 是的条件下随机变量的概率密度函数，是在的条件下的函数。因此，书写条件概率密度时，应先书写的范围作为大前提，再书写用表示的的范围作为概率密度函数的定义域，表明此函数是的函数。的范围不能含有，从联合概率密度直接得到；而对应得定义域需使用分割法来确定。重要例题：设随机变量的概率密度为。求。解：绘出取值范围示意图。 1.4 三分三密与随机变量的相互独立性 二元分布有联合、边缘和条件分布律形式共3种分布函数和3种密度函数，简

6、称：3分3密。 一般型： 任意的联合分布函数满足时，称相互独立。 注意，可以证明，这个定义与前面的用事件的概率来定义事件之间的独立性是完全等价的。 二维离散型： 相互独立的充要条件是 二维连续型： 相互独立的充要条件是 二维连续密度函数具有下列重要结论：如果在规则区域，如矩形区间等，具有分离变量形式，即，则一定相互独立。 如中就一定独立。 如，存在不规则区间，故不独立。如果上述两个条件规则区域或分离变量形式一个都不满足，则一般不独立。注意 二维正态型随机变量相互独立的充要条件是 相关系数，即不相关。 如果，且相互独立，则 设随机向量和及满足 则称与相互独立；此时， 与必相互独立；并且，任意函数

7、分布与也相互独立， 如随机变量相互独立，则随机变量的函数与必相互独立，但 与却不一定独立。 设随机变量相互独立，它们的联合分布函数为，则 相互独立，如的联合密度函数为 ，则 形象记忆掌握法： 这个公式特别有规律，在形式上，只要从中解出代换 中的， 或者从中解出代换中的即可。具体求法如下： 4类可加性分布（其余分布不可加） 相互独立，则 相互独立， 则 但泊松分布不存在线性性，即不再是泊松分布。 独立，则 如果不独立，则 相互独立，则 模球模型的独立性质 在有若干个红球和黑球的箱中逐次随机取一球，令，则不管放回与否，和同分布；但放回抽样时和独立，不放回抽样时和不独立。1.5离散型与连续型分布函数

8、的关系证明: 1.6 连续型分布的概率密度、边缘密度和条件密度函数的关系 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式 二维随机变量的联合分布唯一地确定两个边缘分布、条件分布；但反之不然。若独立，由两个边缘分布可以确定联合分布；若不独立，则由一个边缘分布再加上一个对应的条件分布才能确定联合分布（参看上述乘法公式）。二、 2大二维连续型分布函数（其它的多维分布函数不是考点）1 二维均匀分布 评 注 设服从非矩形区域、圆形区域等上的均匀分布，则两个边缘分布都不是均匀分布，但两个条件分布都是均匀分布。 设服从上的均匀分布，则两个边缘分布和两个条件分布都是对应的一维均匀分布，而且独立。2 二维正态分布评注 设二维

9、随机变量，则线性组合仍然是正态分布；但任意两个正态随机变量的线性组合却不一定是正态分布；两个边缘分布都是正态分布的二维随机变量也不一定是正态分布。三、 6大二维函数的分布函数及其模型（简称函数分布）1 备用模型1.1 离散型直接计算的分布律。【例5】 12112 求和。 解： 先列出的分布律，如下表201134112224从表中看出：2，0，1，3，4于是的分布律如下20134同理可得到的分布律如下201341.2 连续型设的概率密度为，则分布函数 是及其左下方的半平面，则 由于的轮换对称性，易知 即得备用模型的连续型公式 如果独立，则可写成下述卷积形式即得备用模型的连续型公式 评 注 备用模

10、型是常年考点，它的一般形式为更重要，在独立性结论中已经列举过，希望读者仿照上诉方法务必反复推导三次，领会其一般思想，切不可硬背。如果存在非正规区域（即：积分区域不能用一项表示出来），则需要使用平移法划分为若干个正规区域。2 并联模型和串联模型，独立一般地：如为同分布，则有评 注 等价表示：； 。3 商积模型 一般来说，如果存在唯一的反函数：，利用雅可比微元变换 ， 可得 3.1 商模型 求的概率密度，方法如下 令 如独立，则 。这也是一个常用公式。【例6】设相互独立，都服从，求的分布密度函数。解： 评 注 商模型是重要考点。如果存在非正规区域（即：积分区域不能用一项表示出来），则需要使用旋转法

11、划分为若干个正规区域。3.2 积模型 求的概率密度。只要改写成，然后 令 评 注 积模型本质上就是二维联合分布。4 模 型 为独立同分布5 模 型 6 模 型 ，独立 四、 典型题型与求解秘诀【例7】 把一硬币连掷三次，表示正面次数， 求的联合分布律和边缘分布律。解：应符合二项式分布本题中 其它的组合的概率全为0。的联合分布律如下：0123100300的边缘分布如下：012313【例8】设，求边长为和的矩形面积为的概率密度。解：显然，曲线与正概率区域的右边交点为，于是 【例9】设离散型的分布列为 12123问，取什么值时独立。解：边缘分布为 121231由归一性知， 要使独立，显然要求 再验证

12、每一项是否满足独立：经验证时，独立。【例10】独立，且， ，问当为何值时，与独立？解：如果与独立，又与都是二值变量，故只需要求任意组数独立即可（另一组自动满 足独立性要求），则 【例11】设二维随机变量的概率密度为 求； 求的概率密度。解： 如果已知的联合概率密度为，则的概率密度可以直 接用公式求解。 由于被积函数只有在即时不为0（正概率区域），由于积分存在非正规区域，则分两个区间分别计算如下当时，如右图的下三角形区域（视为常数）当时，如右图的上三角形区域（视为常数）于是的概率密度为 【例12】设相互独立，且都服从，求函数分布。解当当时【例13】 设随机变量与相互独立，且都服从（0，1）上的均

13、匀分布 求的分布函数和密度函数； 设，求的密度函数； 求关于U与V的边缘密度函数。解： 均匀分布为： 和的联合密度函数 又 令根据 商积模型 公式，得的密度函数 关于的边缘密度函数求法是：把看成常数，对进行全区域积分，得边缘分布由 ， 画图可知所围区域是一个边长为2，旋转了的正方形。由图形立即可得： 。则【例14】设随机变量与相互独立且同分布，密度函数 试证明也相互独立。证明：的联合密度函数 令 故得的密度函数为 的边缘密度函数为 于是 ，命题得证。陈氏第5技 【二维直角分割法】。秘诀如下 在某局部区域中，已知两个随机变量不为零的分布密度（这个局部区域又称为正概率点区域），求全部区域的分布函数

14、问题是一个难点。作者创立的直角分割法可以方便清晰地解决这类题型。二维直角分割法秘诀如下， 如果正概率点区域在和两个方向都有界，则需要将全平面区域划分为5类积分区域，在每类区域中求时，积分区域为直角分割区域和正概率点区域的交集。第1类积分区域 点的直角分割区域与正概率点区域无交集，显然这时 ；第2类积分区域 点的直角分割区域画在与正概率点区域方向的外边，积分 区域为直角分割区域和正概率区域的交集部分，显然这时相当于求的边 缘分布函数；第3类积分区域 点的直角分割区域画在与正概率点区域方向的外边，积分 区域为直角分割区域和正概率区域的交集部分，显然这时相当于求的边 缘分布函数；第4类积分区域 点的

15、直角分割区域画在正概率点区域的内部，积分区域为直 角分割区域和正概率区域的交集部分；第5类积分区域 点的直角分割区域包含整个正概率点区域的全部，积分区域是正概率 点区域本身，显然此时有。如果正概率点区域在和两个方向有一个区间无界，由于直角分割区域顶点无法画在该无界区间的外部，则只需将全部区域划分为3类积分区域，即没有第2类和第5类，或者没有第3类和第5类。在每类区域中积分区域仍为直角分割区域和正概率点区域的交集。参阅【例16】【例15】已知随机变量的联合分布密度为， 求的的联合分布函数。 解：采用直角分割法。 第 1 类：； 第2类：直角分割区域顶点在区域内（即在正概率点区域的方向的外部），积

16、分区域为直角分割区域与定义区域（即正概率区域）的公共部分（即交集）。 第3类：直角分割区域顶点在区域内（即在正概率点区域的方向的外部），积分区域为直角分割区域与定义区域（即正概率区域）的公共部分（即交集）。 第 4 类：直角分割区域顶点在正概率点区域的内部，积分区域为直角分割区域与定义区域（即正概率区域）的公共部分（即交集）。 第 5 类：直角分割区域顶点在区域的内部，直角分割区域包含正概率点区域的全部，积分区域为定义区域（即正概率区域）的本身。 综上所述，得 【例16】设随机变量的密度函数， 试求分布函数 。解：利用【直角分割法】计算，先画图确定正概率区域，由于区域边界不是常数，易知全平面只

17、有3类直角分割区域。 第1类：，因为直角区域与正概率区域无公共部分； 第2类：不存在； 第3类：直角区域顶点在内（即正概率区域的方向外部），积分区域为直角分割区域与定义区域（即正概率区域）的公共部分（即交集）。 第4类： 三角区域顶点在内，积分区域为三角区域与定义区域的公共部分。 第5类：不存在。综上所述，得 评 注 由于所以当密度函数为零，分布函数却不一定为零。如本题 在区域为零，而在概率分布函数中等于。【例17】的概率密度，求。解：由于条件分布和联合分布及其边缘分布有关，故首先求边缘分布 ； 陈氏第6技 【备选模型平移法】。精妙绝伦 秘诀如下备选模型中，已知两个随机变量的分布密度，求它们线

18、性组合的分布函数密度，如果积分区间是分段的，我们必须将分割成不同的积分区间，再利用平面积分手段或备选模型公式。问题关键和难点就是如何确定积分区间，为此，作者创立了平移法可以方便而清晰地解决这类题型。平移法秘诀如下 首先画出基准直线； 把基准直线平移到正概率区域的全部边界点上，从而得到正概率区域的分割边界线， 该直线与轴的交点就是方向的积分区间分段点，与轴的交点就是方向的积分区 间分段点。【例18】设独立，求的。解： 但由于上述积分区域不是正规区域，的积分区间必须依照的不同范围分段进行。按照平移法，先作基准直线，然后将该基准直线平移到边界点得直线方程，从而得到在轴上的关于正概率区间的两个分界点。

19、其中当时，又把基准直线任意平移到该区间，得方程，该直线与轴的交点为，即为此区间的积分上限。由图形立即看出为零概率区间，所以分三段分别计算如下 【例19】的概率密度，求 ； 的。解：；但由于上述积分区域不是正规区域，的积分区间必须依照的不同范围分段进行。按照平移法，先作基准直线，然后将该基准直线平移到边界点得直线方程，再平移到边界点得直线方程，从而得到在轴上的关于正概率区间的三个分界点。其中，当时，又把基准直线任意平移，得方程，该直线与轴的交点为，即为此区间的积分上限，当时，又把基准直线任意平移到该区间，得方程，但该直线与轴的上限交点已经超出正概率区间，当与直线的下限交点为，即为此区间的积分下限

20、。由图形立即看出为零概率区间，为全概率区间，。所以分四段分别计算如下 【例20】的概率密度，求的。解： 但由于上述积分区域不是正规区域，的积分区间必须依照的不同范围分段进行。按照平移法，先作基准直线，然后将该基准直线平移到边界点得直线方程，从而得到在轴上的关于正概率区间的二个分界点。其中，当时，又把基准直线任意平移到该区间，得方程，该直线与轴的交点为，即为此区间的积分下限（上限为1），因为此时为变区间，即。由图形立即看出为零概率区间，为全概率区间，。所以分三段分别计算如下 陈氏第7技 【商模型旋转法】。 秘诀如下商模型中，已知两个随机变量的分布密度求它们的商函数的分布函数密度，如果积分区间是分

21、段的，我们必须将分割成不同的积分区间，再利用平面积分手段或商模型公式。问题关键和难点就是如何确定积分区间，为此，作者创立了平移法可以方便而清晰地解决这类题型。旋转法秘诀如下 首先画出基准直线； 把基准直线旋转到正概率区域的全部边界点上，从而得到正概率区域的分割边界线， 该直线与轴的交点就是方向的积分区间分段点，与轴的交点就是方向的积分区 间分段点。【例21】设独立，都服从，求的。解： 如直接得出 是错误的。因为由于上述积分区域不是正规区域，的积分区间必须依照的不同范围分段进行。按照旋转法，先作基准直线，它刚好与过边界点的边界线重合，对应。然后将该基准直线分别旋转到边界线和，从而得到关于正概率区

22、间的二个分界点。其中，当时（对应直线的上部），又把基准直线任意旋转到该区域，得方程，得的变化范围为，即积分区间；当时，又把基准直线任意旋转到该区域，也得方程，得的变化范围为，即积分区间。由图立即得出，。所以分三段分别计算如下 评 注 为便于比较，下面提供【例17】的一般解法，请读者反复琢磨。 解法二： 故 【例22】设随机变量的联合密度函数为， 试求 ; 解： 由密度函数的归一化性质得 ； 属于联合分布。 ； 属于边缘分布。 。 属于函数分布。【例23】设随机变量与独立，且服从参数为1的指数分布，服从区间0，1上的均匀分布，记，试分别求和的概率密度。解： 的密度函数 ； 的密度函数 所以的分布

23、函数为 ； 的分布函数为， （注意：求两个分段函数的乘积函数画数轴即可）求导得（注意到） （注意：在点，连续，而不连续）而 同理得 。 【例24】设，求的分布律。解：设事件，则，则【例25】相互独立的具有同一分布律，求的分布律。解： 则的分布律为 。【例26】的分布律为01234500.000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05求 ； 求和的分布律； 求的分布律。解：边缘分布求出后的的分布律为01234500.000.010.030.050.0

24、70.090.2510.010.020.040.050.060.080.2620.010.030.050.050.050.060.2530.010.020.040.060.060.050.240.030.080.160.210.240.281 依次类推得的分布律为01234500.040.160.280.240.28 依次类推得的分布律为01230280.300.250.17的分布律为01234567800.020.060.130.190.240.190.120.05评 注 由于不一定独立，故如使用计算反而麻烦。【例27】设相互独立，且都服从几何分布，求的分布。解: 【例28】设相互独立，分布

25、列都为，其中，求，和的函数分布。 解： 由于相互独立， 同理又由于可能取值为，而 【例29】具有同一分布，且，求。解：已知边缘分布， 又已知，则 则的联合分布律具有下列形式010001001于是可以根据表格中已有的数据推出括弧内的值 故 。【例30】设独立，的概率密度为，求的。解：离散和连续混合类题型一般使用全概率公式，把的分布律中可能的取值作为一个划分。 【例31】设随机变量相互独立，的概率分布为，的概率分布为，记。求；求。解： 解法一：全概率法。把的分布律中全部取值作为一个划分，使用全概率公式 解法二：陈氏平移法。 建立二维直角坐标系，在轴上画出三点，在轴上画出直线，作基准直线，再把基准直

26、线分别平移到三点，分别得到边界直线。可见（注意在点时，处于零概率区域，故，这也符合概率右连续的原则）。当，由图易知，完全处于零概率区域，当，由图易知，的区域的概率为 当，由图易知，的区域的概率为，的概率为 当，由图知的区域的概率为，的概率为，的概率为 当，由图易知，包含了全部正概率区域，。 。【例32】设随机变量，求的联合分布和边缘分布。解：的可能取值为， 0101又，显然，服从分布，则边缘分布为 。【例33】试证明：如果的联合密度函数具有可分离变量形式，且正概率区域为矩形，则和一定独立。证明：设 所以，和独立。评 注 这是一个重要结论，在下一章的相关性质中具有很好的指导意义。因为，独立必不相

27、关，但不相关不一定独立。读者如遇到此类选择题，可以直接使用该结论。【例34】设是两个随机变量，定义：试证。 证明：先化为标准的变量，令 ，则 则，得不相关，又 故，原命题得证。评 注 这也是一个重要结论：事件独立等价于它们相应的二值变量独立。第三章 二维随机变量及其分布模拟题一 填空题1 若（X，Y）的联合密度， 2 设相互独立，则 =_。3 设4 设X服从参数为1的泊松分布，Y服从参数为2的泊松分布，而且X与Y相互独立，则5 设X与Y相互独立，均服从1，3上的均匀分布，记 ，则a=_.6 二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为 则两个边缘密度为_.二 选择题1 设X与Y相互独立，X服从参数为的01分布，Y服从参数为的01分布，则方程中t有相同实根的概率为（A） （B） （C） （D） 2设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A） （B） （C） （D） 3设（X，Y）的联合密度函数为 为（A） （B） （C） （D） 4设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1）