离散型随机变量

1、第二章 离散型随机变量教学目的：1使学员理解一维随机变量的定义；2使学员熟悉几种常见的一维离散型分布列，特别要熟练掌握二项分布及其在实际中的应用。3使学员掌握二维离散型随机变量联合分布及边际分布的概念，熟练掌握离散型随机变量独立性的判断。4使学员熟练掌握离散型分布期望、方差的定义，计算及基本性质，熟记二项分布的期望、方差、均方差。§2.1 一维随机变量及分布列我们总可以将随机试验的结果数量化，这样，不仅使随机事件的表达形式上更简单，且给我们用数学知识研究随机现象带来的极大的方便。将随机试验的结果数量化，可以通过在试验所对应的样本空间上建立一个实值函数来实现：这里随样本点的不同而取不同

2、的值，故是一个变量。另方面，由于依赖于随机出现的，因此取某个值具有随机性。于是称为随机变量。对于一个随机变量，我们不仅要关心它取到哪些值，更关心它以多大概率取那些值，这就需对有一定的限制，使：=a，：，（a，b均为实数）定义2.1 设为一概率空间,对于是一个取实值的单值函数,且对任意B1(B1为一维Borel 域)，有：。则称为一维随机变量。一般情况下，随机变量与之联系的概率空间常略去不写，随机变量简记为，事件：，简记为。定义 若一维随机变量的可能取值为有限个或可列个，则称为（一维）离散型随机变量。若的可能取值为记 （2.1）称（2.1）为的分布列或分布律或分布。常将分布列表示为如下表格形式：

3、 （2.2）或P分布列中的称为的概率函数，它满足：（1） （2.3）（2） （2.4）反之，任一列满足（2.3），(2.4)的数列是一个离散型分布的概率函数。知道了的分布列，对于任意 B1，有 （2.5）例2.1 将三个小球随机地投入四个盒子，以表盒球的最大数目，求的分布律及。解：的可能取值为1，2，3。即123P二、几种常用的离散型分布1单点分布（退化分布），若的分布列为：由称服从单点分布。显然，这样的随机变量实际上就是一个常数a，但把它看成随机变量有很多方便，就相当于它是一个退化了的随机变量，故单点分布又称退化分布。2两点分布，若的分布列为abPqp(0p1q, a，b为实数) （2.6）

4、 则称 服从两点分布。特别地，当a=0，b=1时，（2.6）又称为01分布或贝努里分布，可用于描述贝努里试验。3二项分布，若的分布列为 （2.7） ,由故称服从二项分布。称为参数，记为二项分布（2.7）来源于n重贝努里试验，当n=1时，（2.7）即表示贝努里分布。4几何分布，若的分布列为 （2.8）由称服从参数为P的几何分布。几何分布亦来源于贝努里概型。5普哇松（Poisson）分布。若的分布列为：，其中 （2.9）则称服从参数为的普哇松分布。记为。6超几何分布N件产品中有次品M件（MN），从中任取n件，记取得的次品数为，由第一章的讨论，知的分布列为 ， （2.11）称（2.11）所示的分布为

5、超几何分布。7巴斯卡分布，若的分布列为： （2.10）则称服从巴斯卡分布，此分布也是来源于贝努里概型。以上几种常见的离散型分布在实际中都有广泛运用，其中尤以二项分布和Poisson分布在实际应用和理论研究中都具有重要价值，一般概率论教材中都附有这两种分布的数值表。下面的定理又说明二项分布可用Poisson分布来近似。定理2.1（普哇松定理） 设n重贝努里试验中，事件A在一次试验中出现的概率为与n有关），若时，则有， （2.11）证：令，则，且 = =对固定的k，当有了这个定理，在用二项公布来解决实际问题时，当n较大，P较小时，有 （2.13）例2.2 若一年中某类保险者里面每个意外死亡的概率为

6、0.005，现有1000个这类人参加人寿保险，试求在未来一年中在这些保险者里面。（1）有10个人死亡的概率；（2）死亡人数不超过15个概率。解：我们把一年中每个人是否死亡看作P=0.005的贝努里试验。则一千个这类人在这一年的死亡人数。（1） （查书P503表2）（2）而实际计算一般来说n较大，P接近0与1（或），公式（2.14）的近似程度都较高。例2.3（书P69 例2.6）例2 .4 写出下列离散型随机变量的概率分布，并指明是什么分布。（1）一射手独立重复地向一目标射击，每次击中目标的概率为0.8，以表示他从开始射击到第一次击中目标所需的射击次数。（2）N件产品中有次品M件，采用有放回方式

7、从中取n件（），记取得的次数为。（3）将（2）中抽样改为不放回抽样，记取得次品数为。（）。解：（1）服从几何分布：，（2）服从参数为n，的二项分布：n（3）服从超几何分布：n思考题：类似上面抽产品的试验，什么情况下用二项分布描述，什么情况用超几何分布描述？§2.2 多维随机变量、联合分布列和边际分布列一、多维离散型随机变量的联合及边际分布。定义2.2 设是定义于同一概率空间（）上的n个一维离散型随机变量，则称n维向量（）是上的一个n维离散型随机变量（或向量）。对于n维离散型随机向量着重掌握n=2的情形，一般了解n2的情形即可。若为二维离散型随机向量，其中的可能取值为，的可能取值为则（

8、）的一切可能取值为，令 (2.14)称(2.14)为的联合(概率)分布，其中为联合概率函数，具有如下性质：（1），对一切， （2.15）（2） （2.16）（3）， （2.17） ， （2.18）称（2.17）（2.18）为联合分布列的边际分布列或边缘分布列。常把（）的联合分布和边际分布表示成如下阵列形式：上表中间为()的联合分布，最后一列及最后一行分别为分量的边际分布。从上表看出边际分布可以由联合分布完全确定。例2.5 设有5件产品，其中2件是次品，从中不放回地抽取两件，分别以和表示第一次和第二次取到的次品数，求()的联合分布和边际分布。解： 同理：，即得0101例2.6 例 2.5中抽产品

9、改为有放回抽取，则()的联合分布和边际分布为：0101上面两个例子，()的联合分布完全不同，但边际分布却完全相同，可见边际分布一般不能唯一确定联合分布。这说明在一般情况下，随机向量的性质不能由它们分量的个别性质来完全确定，还必须考虑分量之间的关系。二、一种重要的二维离散分布三项分布。设一次试验只有三个可能的结果：发生或发生或发生，且，于是，将此试验独立重复地进行n次，记其中出现的次数为，出现的次数为，易得()的联合分布为： （2.19），称（2.19）所示的分布为三项分布，其边际分布： =。同理，。分别为二项分布和。例2.7 （书P72） ()服从的三项分布。例2.8 （书P73）三、离散型随

10、变量的独立性定义2.3 设二维离散型随机变量()的所有可能取值为若对任意，均成立： （2.20）即 则称与相互独立。此概念可以推广到更一般的n维离散型随机向量。定义2.4 设是n个离散随机变量，的可能取值为，如对任意的一组（）恒有： = （2.21） =则称相互独立。由上面的定义看出，当随机向量的各分量相互独立时其联合分布可由分量的边际分布完全确定。按定义2. 3，上面的例2.6及书P73例2 .8中与不相互独立。§2.3 离散型随机变量函数的分布一、一维离散型随变量函数的分布问题的提法：已知的分布，求，这里是实变量的单值函数。解决的办法很简单，若已知的分布列为P则的分布列为P 只须

11、把相同的值合并（即对应的相加）即可。例2.9 已知的分布列为1012P则的分布列为014P例2.10 (见书P76)例2.11 设服从参数为的Poisson分布， ，求的分布列。二、二维离散型随机向量函数的分布。已知的联合分布列为求的分布。（其中为二元单值函数）在这种情形下，为一维离散型随机变量，它的所有可能取值为一切所表示不同值记 （2.22）则 (2.23) 例2.12 已知相互独立，且，求的分布。解；容易看出，的可能取值为0，1，。由(2.23) = = =由(1.13) ：=可见，此称为二项分布的可加性。普哇松分布也具有类似的可加性（见书P78例）上面解题过程推出的公式： （2.24）

12、称为相互独立的（取）整值随机变量和的离散褶积公式。§2.4 数学期望的定义及性质一、数学期望的定义定义2.5 若具有分布列P当有时 （2.25）记 （2.26）称为的数学期望，简称期望或均值，若（2.25）不成立，则称的期望不存在。定义中要求级数绝对收敛是为了数学处理的必要，从直观上讲, 的可能取值的排列顺序对于来说应是无关紧要的，因而定义式（2.26）中就应允许任意改变的顺序而不影响其收敛性及和值，这就必须要求有（2.25）成立。例2.13 ，求 例2.14 ，求 例2.15 设的可能取值为且，问是否存在？解：由于发散，故不存在。但我们注意到有。例2.16 （期望在实际中的简单应用

13、）（书P82）二、随机变量函数的期望定理2.2 若的分布列为，为一元Borel函数，则当时有， （2.27）证定理2.3 若联合分布为 而为二元Borel函数，则时，有 （2.28）特别有中，三、离散型随机变量数学期望的性质（以下总假定所讨论的期望是存在的）随机变量的数学期望具有下述基本性质：（1）若，且存在，则，特别地证：设的取值为，则于是（2）证： 一般地有(3)若相互独立,则证：例2.13 （续），求解：设表n重是努里试验中A出现的次数令，则，而故例2.17 将n封信随机放入n个写好地址的信封，以表配对的封数，求。解：令 则，且而，故上面两例是分解为一些简单的代数和，进而利用期望的线性性

14、质求，这是一个重要的方法。§2.5 方差的定义及性质定义2.6 设离散型随机变量的期望存在，如果存在，则记称它为的方差，也常记作，方差的平方根称为的标准差或根方差，记作。由期望的性质可得 =例2.18 ，求由 = =故例2.19 参数为P的几何分布：，整数。求方差具有如下基本性质：（1）若c是常数，则Dc=0（2）（3）若相互独立，则一般地若相互独立，为常数，则例2.20 (续例2.13) ,求解：如前，则，且诸相互独立，由，得，从而§2.6 条件分布与条件数学期望前面我们在计算（）的联合概率函数时，曾用过公式：其中是表示在“”的条件下，“”的条件概率，我们记并固定j让i变动，可得一列，易验其满足（1）（2）因此 可以成为一个分布列，我们称它是在“”的条件下，的条件分布列。由条件概率的定义 （2.29）由对称性 （2.30）由上两式可知因此知道边际分布和条件分布也可以求得联合分布条件分布