随机变量与概率分布

1、第三章 随机变量与概率分布 复习考试要求：正确理解和熟悉随机变量、概率密度、数学期望和方差、随机变量独立性等基本概念；对二项分布、普阿松分布和正态分布这三大分布之概率分布，期望和方差，有关概率计算能牢固掌握，学会在各种场合运用数学期望与方差若干性质及切比雪夫不等式的结论。重点与难点： 根据概率密度的性质 1 （3.26） 或 1 （.102）求出f（x）或f（x,y）中的待定常数;根据分布函数的性质 F(+)=1 或F( 3.15)定出分布函数中的待定常数。 已知密度f(x)或f(x,y) 利用公式 P(a<X<b)= (3.29) P(X,Y)G= （3.103） 求概率 根据

2、F(x)= , Ff(x)做分布函数与概率密度之间的互求。 对二项分布要善于从题目背景中判断，对普阿松分布和正态分布要熟记其分布列或概率密度，会将正态分布通过线性变换Y=N(0,1) 求在某区间内的概率。 E(X),D(X),COV(X,Y),X,Y 的计算和性质. X 与Y的独立与不相关的判断与关系。 典型题解析一 离散型随机变量分布率的求法及其应用。例 3.1 设随机变量的分布列为 -1 0 1 2 3 p 0.25 0.15 a 0.35 b问：a,b应满足什么条件？当 a=0.2时，求b 并求P(2 >1) , P(0) , P(=1.2)解 根据离散型随机变量分布列的定义 P=

3、xk=pk (k=0, 1 ,2,负整数也可),pk满足 1°pk0 ,k=1,2,n (3.2) （非负性） 2°= 1 （3.3） (归一性) 10.25+0.15+a+0.35+b a+b=0.25 故 a0 b0 , 当 a=0.2时，b=0.05这时， P(2>1)=P(=2)+P(=3)=0.35+0.05=0.4 P(0)=P(=-1)+P(=0)=0.25+0.15=0.4 P(=1.2)=0例 3.2 （选择题）下列实数列可成为离散型随机变量的分布列的是（ B,D ） （12） （A） p ,p2 (0<p<1) (B) 0.1,0.2,

4、0.3,0.4; (C) (D) 解 （A）因p+p21 , 不满足归一性，故（A）不能入选， （B）满足非负性，0.1+0.2+0.3+0.41 （归一性），故（B）入选 （C）因 =e31,不满足归一性，故（C）不入选 （这里用了幂级数展开式 ex= ） (D) 因对 k=0,1,2 .必有 p=>0且 e3=1 ,故（D）入选 （这是普阿松分布） 例3.3 某射手每次射击击中目标的概率为0.8，现在连续射击30次，试求击中目标次数的概率分布。 （同P.129习题3） B(5,0.6) 解 服从n=30,p=0.8的二项分布，分布率为： P(=K)=CK30(0.8)K(0.2)30

5、-K K=0,1,2,30. 例 3.4 对某目标进行射击，直至击中为止，假设每次射击的命中率为p，求射击次数的分布函数。 解 设为射击次数，则1，2， 先求的概率分布列（二点分布） 前n-1次击不中，第k次才击中目标，则P(=k)pqk-1, k=1,2, 下面求分不函数F(x): 当x<1时，F(x)=x=0 当x1时，取表示不大于x的最大正数，则 F(x)=px=p=p1-q=1-(1-p) 所以 F(x)，经验证F(x)满足分布函数的性质，故为所求。 补充说明：例3.4所举分布也叫几何分布，常记为XG(p) 其分布率为 P(X=k)=p,k=1,2,0<p<1,q=1

6、-p 几何分布是描述首次成功的概率模型。它有一个重要性质无后效性，即对n1,k=1,2,有 P(X=n+kX>n)=P(X=k) (*) 这是因为由条件概率公式有 P(X=n+kX>n)=P(X=n+k,X>n)/P(X>n) =p(X=n+k)/P(X>n)=p/=pqk-1=P(X=k)等式（*）说明，在前n次试验中未出现成功的条件下，再经过k次试验(即在第n+k次试验)首次出现成功的条件概率，等于首次试验成功时恰需要进行k次试验的无条件概率，换言之，若已进行了n次试验而未出现成功，那么需要再做k次试验，而首次成功的条件概率不依赖于以前的试验，形象地说，就时把

7、过去的经验完全忘记了，试验就象重新开始进行一样，把这种性质成为无后效性。 概率计算的统一处理方法： 选取适当的随机变量； 确定随机变量遵从的分布； 利用有关公式算出结果。例 3.5 一个电话交换台每分钟收到呼唤的次数服从普阿松分布p(4),试求： 每分钟恰有8次呼唤的概率 每分钟呼唤次数大于10次的概率解 依题意，设“交换台每分钟收到呼唤的次数”，则其概率分布为 P(=k)， k=0,1,2,故所求概率为 P(8) （查表） P(>10)=查表）例 3.6 （二项分布的普阿松逼近问题）设有同类型设备300台，各台工作相互独立，各台发生故障的概率都是0.01，一台设备的故障可由有一个工人及

8、时处理，问至少配备多少工人，才能保证当设备发生故障时，不能及时维修的概率小于0.01？解 设出故障的设备为，配备m个工人由题设 B（300，0.01），由题意，要求出故障的设备大于m（从而有出故障的设备得不到及时维修）的概率小于0.01，即 P(>m)<0.01从而 P(<m)= 这里n=300 ,p=0.01 ,q=1-p,求满足上式的最小m，这里n很大，p很小，由普阿松定理 3.1，近似服从的普阿松分布，即 P(m) ，反查普阿松分布表，上式成立的最小m8 因此，至少应配备8名工人。 二 连续型随机变量的概率密度、分布函数、正态分布的概率求法 例 3.7 设连续型随机变量

9、的分布函数为 F(x) 求常数A,B,C,求的密度函数P(x)及P(-2<<1) 解 由分布函数的性质，知0F(-)=C , 1=F(+)=A 因分布函数是连续的，故F(x)在x=0处连续，有F(x-0)=F(x)F（0） 即有0C,A=1,B=-1 而 p(x)= P(-2<<1)=11-e-2 (注释：在x=0处，本来不存在，所以p(0)的定义可灵活一些，勿些 P(-2<<1)=一类式子，当然可用P(-2<<1)=F(1)-F(-2)=1-e-2来求概率，只要F(X)已知) 例 3.8 随机变量X的概率密度为 f(x)= 求： （1）常数C

10、（2）X的分布函数 （3）P 解 （1）利用密度函数的性质求C 1-11C从而 C=,因而 f(x)= (2) F(x)=P= 当 x时，显然有F(x)=0 当 -1<x<1时， F(x)= 当 x时 F(x)= 所以，F(x)的表达式 F(x)= P(=F()-F(-=( 例 3.9 设 XN(1,0.62), 求 P P 解 利用线性变换Y= （3.42）将正态分布化为标准正态分布，则 Pa<X<b=本题中 PX>0=1-PX=1-=0.95245 0.2<X<1.8= 例 3.10 乘以什么常数才能使成为概率密度函数？ 解 设所求常数为A 1=A

11、令x-) A A= 例 3.11 由某机器生产的螺栓的长度（cm）服从参数的正态分布，规定长度在范围在10.05为合格品，求螺栓的次品率。 解 设螺栓长XN(10.05,0.062) N (0,1), 故次品率 p=P=1-P=P = 1- 三 随机变量的数字特征 1离散型随机变量的数学期望与方差的求法。 已知分布率，直接用定义求之： E=E(X)= （3.57） D=D(X)= (3.72) 计算方差的常用简化公式为 D=D(X)=E(X2)- （3.74） 用定义求离散型随机变量的期望和方差归结为求级数和，常用求和公式如下： 1+x+x2+x n-1+= 1+2x+3x2+nx n-1+=

12、 (3) 1+22x+3 2x2+n 2x n-1+= (4) 1+x+=ex 记住几种常见离散型分布的期望和方差 二点分布： E(X)=p D(X)=pq 二项分布： E(X)=np D(X)=npq 普阿松分布： E(X)=D(X)= 记住 期望的简单性质：E(kx)=K（X） E(X 独立时 E(XY)=E(X)E(Y) 方差的简单性质：D(kx)=k2D(X) 独立时 D(X 例 3.12 设随机变量X的分布函数为 PX=k 求 E(X) ,D(X) 解2 分布已知，直接用定义求 E(X)= (这里用了幂级数的求和公式：) 同理 E(X2)= / 这里利用了： 所以，D(X)=E(X2

13、)- 注：习题15，19求期望和方差时用到下列求和公式： 1+2+3+n= 12+22+n2= 2.连续型随机变量期望与方差的求法。 已知概率密度，直接用定义求之： E(X)= (3.62) D(X)= (3.74) 其中 E(X2)= 利用上述公式求E(X),D(X)时，都归结为求在（-上的广义积分，在计算技巧上要善于利用以下三点： 要利用函数的奇偶性简化计算。特别，计算期望时，若被积函数是对称区间上的奇函数，则E(X)=0 要善于利用（伽玛）函数 或 的下述两条递推性质计算广义积分值： 形如的积分，通常利用换元t=转化为函数进行计算。 例 3.13 设X的分布密度为 f(x)= 求 E(X

14、), D(X) 解 E(X)= （因被积函数为奇函数，区间对称） E(X2)= （偶函数） - （用第二换元法，令x=asint 弦换) - = 故 D(X)= E(X2)-= 注： 习题20求E时，用到概率积分，记住！ 四二维随机向量的复习 1二维离散型随机向量：P(X= (3.94)的联合分布用矩阵表格表示)，具有性质: 1。非负性 p ij i ,j =1,2, (3.96) 2。归一性 (3.97) 边缘(际)分布律: pi i=1,2, (3.98) (行和) p j=1,2, (3.99) (列和) 二维连续型随机向量=(X,Y) 的联合密度函数f (x,y),对平面上任意区域D有

15、 P (3.103) 具有性质: 1 f (x,y) (3.101) 2 (3.102) X,Y的边缘密度函数: f X(x)= (3.105) f Y (y)= (3.106) X,Y的联合分布函数与边缘分布函数: F(x,y)=P(X (3.100) F X (x)=P(X F Y (x,y)=P(Y 它们之间的关系: f (x,y) =二维随机变量的独立性: F(x,y)=F X(x) (3.110)二维离散型: p ij=p i (3.113) 二维连续型: f(x,y)=f X(x) (3.14) 例3.14 设(X,Y)仅取(1,1), (1.2,1.3). (1.4,1), (1

16、,1.5), (0.9,1.2)五个数组中的值,且相应的概率都等于1/5,求(X,Y)的分布律. 解 (X,Y)除取上述五组值外,其余数组均为不可能事件,其概率为零,因而得(X,Y)的分布律为 X Y 1 1.2 1.3 1.40.9 11.21.4 0 1/5 0 0 1/5 0 0 1/5 0 0 1/5 0 1/5 0 0 0 例 3.15 (习题26) 二维随机变量(在矩型区域 D= a<x<b,c<y<d内服从均匀分布,求其联合密度函数与边缘密度函数,又问与是否相互独立? 解 因矩形域D的面积 S D=(b-a)(d-c) 故 的联合密度函数为 p(x,y)

17、= 下求 ,的边缘密度函数 当 a<x<b 时 f(x) = 当 x<a 或 x>b 时 p(x,y)=0 f ,于是 f 同样可得的边缘密度函数 f c<y<d 即 分别在a<x<b, c<y<d 上服从均匀分布,因对一切实数x,y恒有 f(x,y) = f (x) 所以相互独立. 2 协方差与相关系数的计算 记住二维随机向量期望与方差的性质: 1 E(X)=E(X)+E(Y) (3.118) 2 D(X (3.119) 3 若X与Y相互独立,则 E(XY)=E(X) (3.121) D(X (3.122) 这意味着,若E,则X与Y

18、不相互独立,而存在一定的关联,于是引入协方差: COV(X,Y)=E (3.124)并称 (3.127) 为随机变量X与Y的相关系数.它们仅差一常数因子 因此它们有相同的性质和类似计算方法 COV(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) 例 3.16 (选择题) 如X,Y相互独立,则必有( A, B ) (A) COV(X,Y)=0 (B) D(X (C) D(X-Y)=D(X)-D(Y) (D) D(XY)=D(X)D(Y) 解 因X,Y相互独立,故X与Y不相关,故 ,从而(A)入选,又有协方差性质,(B)入选. 例 3.17 (选择题) 若E(XY)=E(X),则必有 ( B ) (A) D(XY)=D(X)D(Y) (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y) (C) X与Y相互独立 (D) X与Y不相互独立 解 E(XY)=E(X)E(Y)成立的充要条件是X与Y不相关,从而(B)入选. 例 3.18 (选择题) 设E(X), D(X)都存在,则对任何实数a,b (a<b),可以用切比雪夫不等式估计出概率( D ) (A) P(a<x<b) (B) P(a<X-E(X)<b) (C) P(-a<X<a) (D) P( 解 用切比雪夫不等式可以估计出 P( (3.88) P( 取 , 故 (D)入选. 例 3.19