随机事件概率的几种常见模型及其题例解析

1、随机事件概率的四种常见模型文/胡 彬一、摸球问题模型随机抽样的问题，属于摸球问题，广泛地存在于生产与生活中.此类题目可用等可能事件的概率公式来计算.例1 袋子中有个黑球，个白球，它们除颜色不同外没有其他的差别，现在把球随机地一个一个地摸出来，求第次摸到黑球的概率.解析 (解法一)将只考虑第次摸出的球的每一种可能为基本事件，则第次摸出的球的所有可能为()种，摸到黑球的可能为种，故第次摸到黑球的概率.(解法二)把个黑球和个白球都看作是不同的，将所有的球一一摸出来放在排成一条直线上的()个位置上，把所有不同的排法作为基本事件全体，符合条件的排列数有种，故第次摸到黑球的概率.(解法三)把个黑球和个白球

2、都看作是不同的，将前次摸出的球所有不同可能作为基本事件的全体，故第次摸到黑球的概率.(解法四)对同色球不加区别，仍把摸出的球依次排放在成一条直线的()个位置上，将个相同的黑球在()个位置上所有不同的排法作为基本事件的全体，则总数为，符合条件的组合数为，故第次摸到黑球的概率.二、分组问题模型分组问题一定要分清组间是有序分组还是无序分组，并在此基础上考虑是平均分组，非平均分组还是局部平均分组.例2 现有强弱不同的十支球队，若把它们均匀分为两组进行比赛，分别计算：(1)两支最强的队被分在不同组的概率；(2)两支最强的队恰在同一个组的概率.解析 (1)将10支球队平均分成两组，共有种分法，而两支最强的

3、队必分开的分法有种，记事件A=两支最强队分开，则.(2)记事件B=两支最强队分在同组，则B所包含的基本事件数为，于是.三、分配问题模型求解与分配问题有关的概率问题的关键，是利用分配问题知识正确地求出基本事件的总数与事件A所包含的基本事件数，通常采用先分组后分配的方法.例3 有6个房间安排4个人居住，每人可以进住任一房间，且进住房间是等可能的，试求以下各事件的概率：(1)事件A：指定的4 个房间中各有1个人；(2)事件B：恰好4个房间各有1个人；(3)事件C：指定的某个房间中有2个人；(4)事件D：第一号房间有1个人，第二号房间有3个人.解析 由于每人可以进住任一房间，则4个人进住6个房间共有种

4、方法.(1)指定的4个房间中各有1个人，则有种方法，所以.(2)恰好4个房间各有1个人的进住方法有种，所以.(3)从4个人中选出2个人去指定的房间，有种方法，其余2 个人各有5种进住方法，于是共有种方法，所以.(4)选1个人进住第一号房间，有种方法，余下的3个人进住第二号房间，只有一种方法，于是共有种方法，所以.四、取数问题模型取数问题是概率问题中的一个重要模型，解决这一类问题的关键在于要分清在取数的过程中有无顺序，取完数后是否将数放回，另外还有就是要注意所取的数能否重复选取.例4 从1、2、3、4、5这5个数字中任意有放回地连续抽取3个数字，求下列数字的概率：(1)3个数字完全不同；(2)3个数字中不含1和5；(3)3个数字中5恰好出现了两次.解析 从5个数字中任意有放回地连续抽取3个数字，共出现种不同的结果.(1)由于3个数字完全不同的情况有种，所以3个数字完全不同的概率.(2)3个数字中不含1