网络课件第三章动量守恒定律和能量守恒定律

1、第三章 动量守恒定律和能量守恒定律前一章我们运用牛顿运动定律研究了质点的运动规律，讨论了质点运动状态的变化与它所受合外力之间的瞬时关系。对于一些力学问题除分析力的瞬时效应外，还必须研究力的累积效应，也就要研究运动的过程。而过程必在一定的空间和时间内进行，因而力的积累效应分为力的空间积累和时间积累两类效应。在这两类效应中，质点或质点系的动量、动能或能量将发生变化或转移。在一定条件下，质点系内的动量或能量将保持守恒。（1）力的空间累计效应：功、能；（2）力的时间累计效应：冲量、动量；（3）相关规律：动能定理、功能原理、机械能守恒定律、能量守恒定律、动量定理、动量守恒定律、角动量守恒定律。本章的主要

2、内容有：质点和质点系的动量定理和动能定理外力与内力、保守力与非保守力等概念动量守恒定律机械能守恒定律能量守恒定律第一节 质点和质点系的动量定理 实际上，力对物体的作用总要延续一段时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总效果。下面我们从力对时间的累积效应出发，介绍冲量、动量的概念以及有关的规律，即动量守恒定律。一、冲量 质点的动量定理1（力的）冲量由牛顿第二定律.可得牛顿第二定律的微分形式.注意到低速宏观运动的范围内，m可视为不变，合外力F一般是时间的函数，则将上式在t1到t2的时间内积分得.定义力在t1到t2的冲量为，注意冲量I是矢量，其方向与动量增量的方向相同，并不保证与F同向。2（

3、单个）质点的动量定理（1）表述：即在给定时间间隔内，外力作用在质点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。（2）讨论（a）动量的概念在上一章已经给出。其实，动量的概念早在牛顿定律建立之前，由笛卡尔（R. Descartes）于1644年引入，它纯粹是描述物体机械运动的一个物理量。由经验知道，要使速度相同的两辆车停下来，质量大的就比质量小的要难些；同样，要使质量相同的两辆车停下来，速度大的就要比速度小的难些。由此可见，在研究物体机械运动状态的改变时，必须同时考虑质量和速度这两个因素，为此而引入了动量的概念。（b）动量定理说明：力在一段时间内的累积效果，是使物体产生动量增量。要产生同样的效果，即同

4、样的动量增量，力可以不同，相应作用时间也就不同，力大时所需时间短些，力小时所需时间长些。只要力的时间累积量即冲量一样，就能产生同样的动量增量。（c）注意：过程量，累积量；瞬时量；状态量。3动量定理的意义和应用时的注意事项（1）动量定理将始末时刻的动量与冲量联系起来，而忽略细节变化；即尽管外力在运动过程中时刻改变着，物体的速度方向也可以逐点不同，但动量定理却总是遵守着。（2）对于碰撞或冲击过程，牛顿第二定律无法直接使用，可以用动量定理求解；（3）变质量物体的运动过程，用动量定理较方便。（4）只适用于惯性系，且与惯性系的选择无关。（5）在国际单位制中，冲量的单位是：即 4冲力动量定理常用于碰撞过程

5、。例子，处理方法将在后面介绍（学功、能后）。碰撞一般泛指物体间相互作用时间很短的过程。 在这一过程中，相互作用力往往很大而且随时间改变，即在极短的时间内，作用力迅速达到很大的量值，然后又急剧地下降为零，这种量值很大、变化很快、作用时间又很短的力通常叫冲力。因为冲力是个变力，它随时间而变化的关系又比较难确定，所以冲力的瞬时值很难测定，但过程的始末状态的动量却较易测定，如还能测定碰撞所经历的时间，就可以估算冲力的平均值. 图3-1 冲量图3-2 平均冲力现实生活中人们常常为利用冲力而增大冲力，有时又为避免冲力造成损害而减少冲力。如，利用冲床冲压钢板，由于冲头受到钢板给它的冲量的作用，冲头

6、的动量很快地减为零，相应的冲力很大，因此钢板所受的反作用冲力也同样很大，所以钢板就被冲断了。当人们用手去接对方抛来的篮球时，手要往后缩一缩，以延长作用时间从而缓冲篮球对手的冲力。【思考】 冲量的方向是否与作用力的方向相同？ （1）如果F是一个方向不变，大小变的变力，那末冲量I方向与F方向相同，冲量I大小由外力大小和外力持续作用时间决定。如图3-2所示，冲量大小等于图中曲线下的面积或系于平均冲力下的面积。.（2）如果F是一个方向和大小都变的变力，那末冲量I的大小和方向是由这段时间内所有微分冲量Fdt的矢量总和所决定。5动量定理的分量式：（直角坐标系中），.二、质点系的动量定理1内力、外力和设系统

7、内有两个质点1和2，它们的质量分别为m1和m2。它们所受的作用力分别有：外力：系统外的质点对它们作用的力F1和F2；内力：系统内质点间的相互作用力F21和F12 .图3-3 质点组2定理推导根据质点的动量定理，在时间内，两质点所受的冲量和动量增量分别为 和.将上两式相加，且由牛顿第三定律知系统内两质点间的内力之和为0，则，即作用于两质点组成系统的合外力的冲量等于系统内两质点动量之和的增量，亦即系统的动量增量。将上述结论推广到由n个质点所组成的系统，有或，即，作用于系统的合外力的冲量等于系统动量的增量这就是质点系的动量定理。（exexternal）3讨论和注意（1）作用于系统的合外力是作用于系统

8、内每一质点的外力的矢量和。只有外力才对系统的动量变化有贡献，而系统的内力是不能改变整个系统的动量的。（2）对于在无限小的时间间隔内，质点系的动量定理可写成或，表明作用于质点系的合外力等于质点系的动量随时间的变化率。（3）动量定理与牛顿定律的关系  牛顿定律动量定理力的效果力的瞬时效果力对时间的积累效果关系牛顿定律是动量定理的微分形式动量定理是牛顿定律的积分形式适用对象质点质点、质点系适用范围惯性系惯性系解题分析必须研究质点在每时刻的运动情况只需研究质点（系）始末两状态的变化【例1】 如图3-4所示，一质量为0.05kg，速率为10m·s-1的钢球，它以与钢板法线呈45

9、76;角撞击在钢板上，并以相同的速率和角度弹回来，设球与钢球的碰撞时间为0.05s，求在此碰撞时间内钢板所受到的平均冲力。 图3-4 例1图 【解】 由题意，因此球所受的平均冲力为.  图3-5 第二节 动量守恒定律一、动量守恒定律1表达式：当，恒矢量。2表述：当系统所受合外力为零时，系统的总动量将保持不变。 3在直角坐标系中，其分量式为其中C1、C2和C3均为恒量。 这个定律的重要性体现在实际应用上。二、应用动量守恒定律的注意问题1在动量守恒定律中，系统的总动量不变，是指系统内各物体动量的矢量和不变，而不是指其中某一个物体的动量不变。2系统动量守恒的条件是合外力

10、为零。但在外力比内力小得多的情况下，外力对质点系的总动量变化影响甚小，这时可以认为近似满足守恒条件。如碰撞、打击、爆炸等问题，因为参与碰撞的物体的相互作用时间很短，相互作用内力很大，而一般的外力（如空气阻力、摩擦力或重力）与内力比较可忽略不计，所以可认为物体系统的总动量守恒。3如果系统所受外力的矢量和并不为零，但合外力在某个坐标轴上的分量为零，那么，系统的总动量虽不守恒，但在该坐标轴的分动量则是守恒的。这对处理某些问题是很有用的。4动量守恒定律是物理学最普遍、最基本的定律之一。但由于是用牛顿运动定律导出动量守恒定律的，所以它只适用于惯性系。虽然动量守恒定律是由牛顿运动定律导出的，但它并不依靠牛

11、顿运动定律。动量的概念不仅适用于以速度 运动的质点或粒子，而且也适用于电磁场，只是对于后者，其动量不再能用这样的形式表示。不但对可以用作用力和反作用力描述其相互作用的质点系所发生的过程，动量守恒定律成立；而且，大量实验证明，对其内部的相互作用不能用力的概念描述的系统所发生的过程，如光子和电子的碰撞，光子转化为电子，电子转化为光子等等过程，只要系统不受外界影响，它们的动量都是守恒的。所以动量守恒定律是物理学中最基本的普适原理之一。 常州三建建筑材卸装码头建筑材料运送到堆栈第三节 动能定理在很多实际情况中，一个质点受的力随它的位置而改变，而且力和位置的关系事先可以知道。分析这种情况下质点

12、的运动时，常常考虑在质点的位置发生一定变化的过程中，力对它的作用总起来会产生什么效果，也就是要研究力的空间积累效果。力的空间积累用力的功来表示。本节将介绍功的概念。力对物体做功的效果表现为物体动能的增量，下面将接着介绍与此相关的动能定理。一、功和功率1功的定义力对质点所作的功为力在质点位移方向的分量与位移大小的乘积。在质点的无限小位移中力所作的功也称为力所作的元功。（1）当时，功为正值，即力对质点作正功；当时，功为负值，即力对质点作了负功。（2）功的定义也可理解为力对质点所作的功为质点的位移在力方向的分量和力的大小的乘积。 （3）时，力不做功。（4）功是标量。只有大小，没有方向。 图

13、3-6 功的定义 2变力作功，.在直角坐标系中，.3合力的功根据力的叠加原理. 合力的功为即合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。一对相互作用力的功与参考系无关。4功的单位：焦耳（J），1J=N·m5功率功随时间的变化率，. 亦即.所以，平均功率为，功率单位：瓦特（W）.二、质点的动能定理力对质点做功，其效果是使质点的运动状态发生变化。质点动能定理正是反映力做功与质点运动状态变化之间的关系。 图3-7 动能定理由牛顿第二定律及切向加速度的定义得：，.积分可得合外力的功为.1动能的定义.2质点的动能定理，合外力对质点所作的功，等于质点动能的增量。3讨论（

14、1）动能Ek是标量，仅是状态量v 的单值函数，它是状态量；（2）功与动能的本质区别：它们的单位和量纲相同，但功是过程量，动能Ek是状态量；功是能量变化的量度；（3）功和能具有普遍意义；（4）动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参考系，并且动能Ek也与参考系有关。（5）由质点的动能定理可知，当合外力做正功时，质点的动能增加；当合外力做负功时，质点的动能减少。亦即质点反抗外力做功是以自身动能的减少为代价，可见动能是质点因运动而具有的做功本领。（6）动能定理的表达式是一个标量方程，它只涉及质点运动的初态和终态，不问运动过程的细节，因此，在求解某些力学问题时比较方便。【例3】 一质量为m的小球系在

15、长为l的细绳下端，绳的上端固定在天花板上。起初把绳子放在与铅直线成角处，然后放手使小球沿圆弧下落。试求绳与铅直线成角时，小球的速率。 图3-8 例3图 【解】 （第一步：计算外力所作的功）小球受力如图3-8所示。由分析可知为变力作功，因为和，并且注意到，因此. （第二步：用动能定理求小球的速度） 由动能定理，得.故绳与铅直线成角时，小球的速率为.第四节 保守力与非保守力 势能由生活经验知道,从高处落下的重物能够作功，如打桩、高山上的瀑布落下带动发电机发电，这都说明位于高处的重物具有作功本领。本节将从几种常见力的作功特点出发，引出保守力和非保守力概念，然后介绍势能概念。一、万

16、有引力、重力、弹性力作功的特点1重力作功如图3-9所示，重力在任一元位移中对质点所作的元功为：，因此质点从ab过程中重力所作的总功为：.若物体沿另一路径adb，结果相同。因此重力的功只与运动物体的始末位置有关，与运动物体所经过的路径无关。这是重力作功的一个重要特点。 图3-9图3-10图3-112弹性力作功如图3-10所示，弹性力为，弹性力的功为： ，弹性力对小球作的功只与小球的始末位置有关，而与弹性形变的过程无关。这一特点与重力作功的特点是相同的。3万有引力作功如图3-11所示，假设不动，质点m在任一位置处所受的万有引力为，其中为沿位矢r的单位矢量。当m沿路径移动位移元dr时，万有

17、引力作的功为： ，从上图3-11可看出：，则.所以，质点m从点A沿任一路径到达点B的过程中，万有引力作的功为，即.上式表明，当质点的质量和m均给定时，万有引力作的功只取决于质点m的起始和终了的位置，而与所经过的路径无关。这与重力、弹姓力作功的特点一样。重力、弹性力、万有引力作功特点的另一种表述：物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所作的功恒为零。二、保守力与非保守力 保守力作功的数学表达式1保守力和非保守力力对物体所作的功只与物体的始末位置有关，而与路径无关。或者说物体沿闭合路径绕行一周，这些力对物体所 作的功恒为零。具有这种特性的力统称为保守力，例如重力、弹性力、万有引力、静电力等。没有这种

18、特性的力，统称为非保守力，如摩擦力、爆炸力、安培力等等。2保守力作功的数学表达式，如图3-11（a）所示，设一物体在保守力作用下由点A沿路径ACB到达点B，或沿路径ADB到达点B. 根据保守力作功与路径无关的特点，有 ，如果物体沿如图b所示的ACBDA闭合路径运动一周时，保守力对物体作功为：，注意到，所以有. 图3-12上式表明，物体沿任意闭合路径运动一周时，保守力对它所作的功为零。三、势能物体具有能量的标志是它能作功，这一结论对质点系也是适用的。若质点系能对其他物体作功或对质点系内的质点作功，就表明质点系具有能量。由保守力作功的特点得知，不论沿什么路径从初位置到末位置，保守力对质点

19、所作的功总是相同的，功的数值由质点的始末位置决定。所以，可以说质点在保守力场中位于初始点和终止点是处于两个不同的状态，这两个状态间存在着一个确定的差别，这种差别可以用当质点从一个状态转变到另一个状态时，保守力对质点所作的功为一确定值来表示。为了表示质点在不同位置的各个状态间的这种差别，我们说，质点在保守力场中每一位置都存储着一种能量，这种与质点位置有关的能量称为势能。1势能差物体在保守力场中a、b两点的势能、之差等于质点由a点移动到b点过程中保守力对它所作的功Wab，即：（相当一个定义）.2势能选取为势能零点，即，那么空间某点的势能等于质点从该点移动到势能零点位置时保守力所作的功，例如：选取离

20、地面高度y=0处，则离地面高为y处的重力势能为. 选取弹簧原长x=0处，则形变为x时的弹性势能为，选取两个质点相距处，则两质点相距r时的引力势能为.3势能和保守力的微分关系由，可得.即保守力对物体作的功等于物体势能增量的负值。微分表示为.若 ，则有，比较得：，即.4讨论（1）势能是状态的函数：因为在保守力作用下，只要物体的起始和终了位置确定了，保守力所作的功也就确定了，而与所经过的路径无关，所以说，势能是坐标的函数，亦即是状态的函数。（2）某点处系统的势能只有相对意义，势能的值与势能零点的选取有关。势能零点也可以任意选取，但以简便为原则，选取不同的势能零点，物体的势能就将具有不同的值。但两点间

21、的势能差则是绝对的，与势能零点的选取无关。（3）势能是属于系统的：势能是由系统内各物体间相互作用的保守力和相对位置决定的能量，因而它是属于系统的。单独谈单个物体的势能是没有意义的。如重力势能就是属于地球和物体所组成的系统的。同样，弹性势能和引力势能也是属于有弹性力和引力作用的系统的。习惯上称某物体的势能，这只是叙述上的简便而已。（4）只有保守力场才能引入势能的概念。二、势能曲线当坐标系和势能零点确定后，质点的势能仅是坐标的函数，即，按此函数画出的势能随坐标变化的曲线，称为势能曲线。如图3-13所示。势能曲线是势能随相对位置变化的曲线。它为研究势场中的物体的运动提供了一种形象化的手段。以弹簧振子

22、的势能曲线为例，说明势能曲线的应用。（1）从势能曲线上，可以清晰地看出物体在保守场中运动过程能量的转换关系。EPx 图中，水平线代表系统的总机械能E，势能小于E的区域（-A到A之间）为物体可以到达的相对位置，当物体到达任意位置x时，系统的势能为EP（如图3-14所示），总机械能E与EP的差值即为该时刻物体的动能Ek .（2）由势能曲线上各点的斜率大小和正负，可以判定物体所受保守力的大小和方向。由得 x>0 区间 ，所以；x<0 区间，所以，即曲线上斜率大处Fx大，曲线上斜率小处，Fx小，斜率为零处，Fx = 0 .  图3-13 势能曲线 图3-14 弹性势能第五节 功能

23、原理 机械能守恒定律前面讨论的是质点的能量动能和势能，以及合外力对质点作功引起质点动能改变的动能定理。下面将讨论由多个质点组成的质点系的情况。而系统内的质点，既受到系统内各质点之间相互作用的内力，又可能受到系统外的物体对系统内质点作用的外力。无论内力或外力，都可以是保守力或非保守力。一、质点系的动能定理设系统内有n个质点，作用于各个质点的力所作的功，由质点的动能定理可分别得出，···以上各式相加可得：，其物理意义是：作用于质点系的力所作的功，等于该质点系的动能增量。因为系统内的质点所受的力，既有来自系统外的外力，也有来自系统内各质点间相互作用的内力，所以有，也就是

24、.质点系的动能的增量等于作用于质点系的一切外力作的功于一切内力作的功之和。这就是质点系的动能定理。二、质点系的功能原理1表达式推导我们将内力区分为保守内力和非保守内力，则，而系统内保守力作的功等于势能增量的负值，即，则质点系的动能定理可表示为.即，这就是质点系的功能原理。2表述质点系统在运动过程中，所有外力的功和系统内非保守内力的功的总和等于系统机械能的增量。3讨论功能原理与质点系动能定理不同之处是功能原理将保守内力作的功用势能差来代替。因此，在用功能原理解题的过程中，计算功时，要注意将内部保守内力的功除外。三、机械能守恒定律1数学表示当系统满足，则有，即.2文字表述如果一个系统只有保守内力做

25、功，其它内力和一切外力都不做功，或所做功的代数和等于零，那末系统内质点间的动能和势能可以互相转换，但它们的总和保持不变。机械能守恒和转换定律。3解题时注意事项（1）明确系统中的物体；（2）机械能守恒的前提:只有保守内力做功，其它内力和外力不做功，或它们作功的代数和为零，或可以忽略不计；（3）只适用于惯性参考系。因为在非惯性参考系中，即使满足上述条件，但由于惯性力可能做功，所以机械能不一定守恒；（4）与惯性参考系的选择有关。因为我们知道，内力总是成对出现的，它们作功的和与参考系的选择无关，但是外力作功却与参考系有关，它们作功总和是否为零则决定于参考系的选择。4讨论机械能守恒定律也可以表示为. 即

26、.上式表明，在满足机械能守恒的条件下，系统内各质点的动能和各种势能可以相互转换，但它们的总和（即总机械能）却保持不变。四、宇宙速度由地面处发射使物体绕地球运动（人造地球卫星）所需的最小速度，称为第一宇宙速度。使物体脱离地球的引力范围所需的最小速度，称为第二宇宙速度。使物体脱离太阳系所需的最小速度，称为第三宇宙速度。试计算这三种宇宙速度。1第一宇宙速度地球对卫星的引力为：.若不计空气阻力，引力即为卫星作圆周运动的向心力，化简得.卫星在地面上时，即.代入式得.  图3-15这就是卫星在半径为 r 的圆轨道上运转所需的速度，称为环绕速度。令=6.37×106m，得第一宇宙速度=7

27、.91×103m·s-1 .2第二宇宙速度以物体和地球为研究系统。忽略空气阻力，只有保守力做功，所以系统的机械能守恒。设v为物体离开地面时的速度，为物体远离地球时的速度。并选取无穷远处为万有引力势能的零点，由机械能守恒定律，因为，所以得. 图3-16地面上，地球半径=6.37×106m . 所以，=11.2×103m·s-1 称为第二宇宙速度或称为脱离地球的逃逸速度。3第三宇宙速度物体飞出太阳系去，必须满足，MS为太阳的质量，为地球和太阳的距离，为物体相对于太阳系的逸出速度。代入各值得=1.99×1030kg，=1.496&

28、#215;1011m ，=42.2×103m·s-1 .由于地球绕太阳的平均速度为29.8×103m·s-1，借助地球的公转，物体被发射的速度相对地球来说，只需要=(42.2-29.8)×103m·s-1 =12.4×103m·s-1 .从地面发射的物体，飞出太阳系时，既要脱离太阳的引力作用，也要脱离地球的引力作用，发射时的能量必须满足，所以, =16.7×103m·s-1 .这就是从地面发射使星体飞离太阳系的最小速度，即第三宇宙速度。第六节 碰撞碰撞，一般是指两个物体在运动中相互靠近，或发生接触时，在相对较短的时间内发生强烈相互作用的过程（例子）。碰撞会使两个物体或其中的一个物体的运动状态发生明显的变化。碰撞过程一般都非常复杂，难于对过程进行仔细分析。但由于我们通常只需要了解物体在碰撞前后运动状态的变化，而对发生碰撞的物体系来说，外力的作用又往往可以忽略，因而可以利用动量、角动量以及能量守恒定律对有关问题求解。一、完全弹性碰撞