量子力学微扰理论（课堂PPT）

1、.1量子力学量子力学第五章第五章 微扰理论微扰理论缪 灵.2IIIIIxV(x)xII I IIV(x)V(x)xIIIII.3一、近似方法的出发点一、近似方法的出发点近似方法通常是从近似方法通常是从（解析解）出发，来求解（解析解）出发，来求解（解析）（解析）。二、近似解问题分为两类二、近似解问题分为两类1、体系、体系 Hamilton 量不是时间的显函数量不是时间的显函数（1）定态微扰论；（）定态微扰论；（2）变分法。）变分法。2、体系、体系 Hamilton 量显含时间量显含时间状态之间的状态之间的（1）与时间）与时间 有关的微扰理论；（有关的微扰理论；（2）常微扰。）常微扰。.4 1 非

2、简并定态微扰理论非简并定态微扰理论 2 简并微扰理论及其应用简并微扰理论及其应用3 变分法与氦原子基态变分法与氦原子基态.5平衡态附近的泰勒展开平衡态附近的泰勒展开.61 非简并定态微扰理论非简并定态微扰理论一、微扰体系的一、微扰体系的Schrdinger方程方程HHH )0()0(HH 其其中中 其中其中 所描写的体系是可以精确求解的，所描写的体系是可以精确求解的，其其 ，。则：。则：)0()0()0()0(nnnEH nnnEH .7当当 时引入微扰，使体系能级发生移动，时引入微扰，使体系能级发生移动，由由 ，状态由，状态由 。)0()0()0()0(nnnEH .8微扰体系的定态微扰体系

3、的定态Schrdinger方程方程为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：)1(HH 其中其中 是很小的是很小的，表征，表征的参量。的参量。因为因为 都与微扰有关，可以把它们看成是都与微扰有关，可以把它们看成是的函数而将其的函数而将其展开成展开成 的的： )2(2)1()0()2(2)1()0(nnnnnnnnEEEE 其中其中 分别是能量的分别是能量的 、和和等。等。而而分别是状态矢量分别是状态矢量 、和和等。等。.9)()()2(2)1()0()2(2)1()0()2(2)1()0()1()0( nnnnnnnnnEEEHH 乘开得：乘开得： 3)0

4、()2()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0(3)1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()0( nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEEEEHHHHH代入代入Schrdinger方程得：方程得：11()nnnnnabanabnabb-+=+.10根据等式两边根据等式两边的的应该应该:)0()2()1()1()2()0()1()1()2()0(2)0()1()1()0()0()1()1()0(1)0()0()0()0(0:nnnnnnnnnnnnnnnnnEEEHHEEHHEH 整理后得：整理后得： )0()2()1()1()1()2()0()0()0(

5、)1()1()1()0()0()0()0()0(0nnnnnnnnnnnnEEHEHEHEHEH 体系的体系的为为 )2()1()0()2()1()0(nnnnnnnnEEEE .11二、非简并定态的微扰近似二、非简并定态的微扰近似1、态矢和能量的一级近似、态矢和能量的一级近似(1)能量一级修正能量一级修正左乘左乘 (0)(0)(1)(1)(0)nnnnHEHE利用本征基矢的利用本征基矢的： )0()0()1(|nnnnnHHE 其中能量的其中能量的等于等于在在 .12二、非简并定态的微扰近似二、非简并定态的微扰近似(1)(1)(0 )1nk nkka)0()1(1)0()0()0()1()0

6、()1(1)0()1()0()0(nnkknkknnnkkknnEHEEaEHaEH 左乘左乘 (0)(0)(1)(1)(0)nnnnHEHE（2）态矢的一级修正）态矢的一级修正 .13 )0()0() 1()0()0(1)0()0()0()0() 1(|nmnnmkkmnkknEHEEa mnnmnnmmnEHEEa )1()0()0()1( nmEEHEEHamnnmmnmnmn ,|)0()0()0()0()0()0()1( .14 1)0()1()1(kkknna )0()1(1)0()1(nnnkkknaa （2）态矢的一级修正）态矢的一级修正 nmmmmnmnnmmmmnnEEHa

7、)0()0()0()0()1()1( .15能量高阶能量高阶近似近似方程左乘态矢方程左乘态矢 ()(0)(1)2(0)(0)(0)(0)kknnnmnmnnmmnnmmmnmnmEHHHHEEEE(0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE (0)(0)(0)mnmnmmnmHEE.16低级微扰近似结果低级微扰近似结果(1)(0)(0)(0)m nmnnmmnmHEE2(2)(0)(0)mnnmnmnmHEEE(1)(0)(0)|nnnnnEHH.172(0)(0)(0)(0)(0)(0)(0)|nm

8、nnnnmnnmmnnnmmnnmHEEHEEHEE(0)(0)(0)(0)1mnnmnmHEEEE三、微扰理论适用条件三、微扰理论适用条件.18微扰适用条件表明：微扰适用条件表明：（2） 要大，即能级间距要宽。要大，即能级间距要宽。例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数例如：在库仑场中，体系能量（能级）与量子数成反比，即成反比，即 可见，可见， 大时，能级间距变小，因此微扰理论大时，能级间距变小，因此微扰理论计算高计算高能级（能级（）的修正，而只）的修正，而只计算低能级（计算低能级（）的修正。）的修正。（1）要小，即微扰矩阵元要小；要小，即微扰矩阵元要小；物理意义物理意义(0)(0)(0

9、)(0)1mnnmnmHEEEE-.19 nmmmnmnnnEEH)0()0()0()0( 表明表明 可以看成是可以看成是的线性叠加。的线性叠加。（2）展开系数）展开系数 表明第表明第个态矢个态矢对第对第个个态矢态矢的贡献有多大。的贡献有多大。扰动前状态间的扰动前状态间的，所以，所以。因此态矢一阶近似无须计。因此态矢一阶近似无须计算无限多项，只要算出算无限多项，只要算出的有限项即可。的有限项即可。（3）由）由可知，扰动后体系能量是由扰动前第可知，扰动后体系能量是由扰动前第 态态能量能量加上微扰加上微扰Hamilton量量 在在无无微扰态微扰态组组成。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。成

10、。该值可能是正或负，引起原来能级上移或下移。（1）在一阶近似下：）在一阶近似下：讨论讨论.20：已知某表象中：已知某表象中Hamilton量的矩阵形式量的矩阵形式1030002cHcc（1）设）设，应用微扰论求，应用微扰论求 本征值到二本征值到二 级近似；级近似； （2）求）求 的精确本征值；的精确本征值； （3）在怎样条件下，上面二结果一致。）在怎样条件下，上面二结果一致。解：解：（1），可取，可取 级和微扰级和微扰 Hamilton 量分别为：量分别为：0100000300000200cHHcc0HHH .2111(0)022331 000 300 02naaHaEaaa是对角矩阵，是是对

11、角矩阵，是在自身表象在自身表象中的形式。所以，中的形式。所以，0级近似的能量级近似的能量和态矢为：和态矢为：E1(0) = 1 E2(0) = 3 E3(0) = - 2由由(1)2(2)(0)(0)|nnnknnknnkEHHEEE能量一级修正：能量一级修正：(1)111(1)222(1)33300EHEHEHc1231000 ,1 ,0001 000000cHcc .22(1)2(2)(0)(0)|nnnknnknnkEHHEEE能量二级修正为：能量二级修正为：222(2)2311211(0)(0)(0)(0)(0)(0)111213|12kkkHHHEcEEEEEE222(2)23221

12、22(0)(0)(0)(0)(0)(0)222123|12kkkHHHEcEEEEEE222(2)313233(0)(0)(0)(0)(0)(0)333132|0kkkHHHEEEEEEE000000cHcc .23准确到二级近似的准确到二级近似的为：为：211221223132EcEcEc 设设 H 的本征值是的本征值是 E，可得，可得：10300002EccEcE 22(2)(43)0cEEEc 可得：可得：2122321212EcEcEc (3) 将准确解按将准确解按 展开展开224111282241122832112132EcccEcccEc 微扰论二级微扰论二级近似结果近似结果，与精

13、确解展与精确解展开式开式，的的。(2)精确解：精确解：.24：一电荷为：一电荷为 的线性谐振子，受恒定弱电场的线性谐振子，受恒定弱电场 作用。电场沿作用。电场沿 正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。解：解：（1）带电谐振子的）带电谐振子的Hamilton 量量2222122d2dHxexx 将将 Hamilton 量分成量分成两部分，在弱电场下，上两部分，在弱电场下，上式最后一项很小，可看成式最后一项很小，可看成微扰。微扰。22221022d2dHxxHe x .25（2）写出）写出 的本征值和本征函数的本征值和本征函数 , 22(0)/2(0)12

14、(),2!()0,1,2,xnnnnnnN eHxNnEnn（3）计算）计算 (1)(0)*(0)(0)*(0)dd0nnnnnnnEHHxexx 积分等于积分等于 是因为被积函是因为被积函数为数为所致。所致。.26（4）计算能量二级近似）计算能量二级近似欲计算能量二级修正，首先应计算欲计算能量二级修正，首先应计算 矩阵元。矩阵元。(0)*(0)(0)*(0)ddmnmnmnHHxexx利用线性谐振子本征函数的递推公式：利用线性谐振子本征函数的递推公式：(0)(0)(0)111122nnnnnx(0)*(0)(0)111122dnnmnmnnHex 1,1,122ennm nm n2(2)(0

15、)(0)mnnmnmnmHEEE金蝉脱壳！金蝉脱壳！.272(2)(0)(0)|mnnmnnmHEEE21,1,122(0)(0)|ennm nm nm nnmEE2,1,1(0)(0)11( )22em nm nm nnmnnEE2(0)(0)(0)(0)11111( )22ennnnnnEEEE对谐振子有；对谐振子有； (2)211122( ) ennnE2212( )e 2222e .28(1)(0)(0)(0)mnnmmnnmHEE1,1,122(0)(0)(0)ennm nm nmm nnmEE(0)(0)11122(0)(0)(0)(0)1111ennnnnnnnEEEE(0)(0

16、)1112211ennnn(0)(0)113112nnenn（5）态矢量一级近似）态矢量一级近似对谐振子有；对谐振子有； .292. 电谐振子的精确解电谐振子的精确解实际上这个问实际上这个问题是可以精确题是可以精确求解的，只要求解的，只要我 们 将 体 系我 们 将 体 系Hamilton量作量作以下整理：以下整理：2222122d2dHxe xx222 2222122222d2() 2 d2eeexxx22222212222d2d2eexx 2222221222d2d2exx 其中其中，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的，可见，体系仍是一个线性谐振子。它的每 一 个每 一 个都 比 无 电

17、场 时 的 线 性 谐 振 子 的 相 应 能 级都 比 无 电 场 时 的 线 性 谐 振 子 的 相 应 能 级 ，而，而向向动了动了 距离。距离。.30周世勋量子力学教程周世勋量子力学教程P172，5.3作作 业业.312 简并微扰理论及其应用简并微扰理论及其应用 上节，我们研究了上节，我们研究了为为情况下的情况下的。那么，如果一微扰体系的那么，如果一微扰体系的，如何运用微扰理论，如何运用微扰理论对其分析得出各级近似呢？对其分析得出各级近似呢？一、简并定态微扰理论一、简并定态微扰理论(0)HHH (0)(0)(0)(0)(0)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(1)(1)(2)(0)0

18、nnnnnnnnnnnnHEHEHEHEHEE.32简并本征态简并本征态本征值方程本征值方程(0)(0)|01,2,3,nHEnk(0)(0)|01,2,3,nnHEk共轭方程共轭方程.33这里这里是简并的，属于是简并的，属于 的本征值的本征值 有有 ： ; 那么，在那么，在 个个中究竟应取哪一个作为微扰波函数的中究竟应取哪一个作为微扰波函数的 。所以在。所以在情况下，情况下，要解决的问题是要解决的问题是的问题，然后才是求的问题，然后才是求。应从这应从这及其线性叠加中挑选，而它应满及其线性叠加中挑选，而它应满足上节按足上节按 幂次分类得到的方程。幂次分类得到的方程。简并本征态简并本征态本征值方

19、程本征值方程(0)(0)|01,2,3,nHEnk(0)(0)|01,2,3,nnHEk共轭方程共轭方程.34(0)1|kncn(0)(0)(1)(1)1|knnnHEHEcn (1)11|kknEcnc Hn 左乘左乘 得：得：(0)(0)(1)(1)11|kknnnnHEEcnncnHn(1)1knHEc(0)(0) 0nnHE2、 级近似波函数和级近似波函数和近似能级近似能级系数系数 由由 一一级方程定出级方程定出(0)(0)(1)(1)(0)nnnnHEHE.3501)1( kncEH 上式是以展开系数上式是以展开系数为为未知数的未知数的，它有不全为零解的，它有不全为零解的是系数行列式

20、是系数行列式为零，即为零，即(1)1112(1)2122(1)120nnkkkknHEHHHEHHHE 这就是微扰算符这就是微扰算符，解此方程，可得能量的一级修，解此方程，可得能量的一级修正正的的：，体系能级，体系能级 。若这。若这都不相等，那末一级微扰就可以将都不相等，那末一级微扰就可以将 度简并度简并完全消除；若完全消除；若，则表明简并只是部分消除，必，则表明简并只是部分消除，必须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。须进一步考虑二级修正才有可能使能级完全分裂开来。 knkkkkkkkcccEcccHHHHHHHHH21)1(21212222111211的的.36为了确定能量为了确

21、定能量 所对应的所对应的，可以把，可以把 之值之值代入线性方程组从而解得一组代入线性方程组从而解得一组系数，将该组系数系数，将该组系数代回展开式就能够得到相应的代回展开式就能够得到相应的 。为了能表示出为了能表示出 是对应与第是对应与第 个能量一级修正个能量一级修正 的一组系的一组系数，我们在其上加上角标数，我们在其上加上角标 而改写成而改写成 。这样一来，线性方。这样一来，线性方程组就改写成：程组就改写成：(1)10knHEc(0)1 |kncn11111212221222(1)12vvkvvknvkvkvkkkkccHHHccHHHEccHHH.37例：一粒子例：一粒子Hamilton 量

22、的矩阵形式为：量的矩阵形式为：，其中，其中100000002000200020 HH求：能级的一级近似和波函数的求：能级的一级近似和波函数的0级近似。级近似。解解H0 的本征值是三重简并的，这是一个的本征值是三重简并的，这是一个。00000)1()1()1( EEE E(1)(E(1)2 - 2 = 0(1) 能量一级近似能量一级近似 由由 得：得：实例实例 )0()1()0(1211)0(321)0(000000000:100,010,0012:nnnkTkknnEccHccccHEH 本本征征值值方方程程为为级级近近似似波波函函数数本本征征态态本本征征值值.38解得：解得：E(1) = 0

23、, E1(1) =- E2(1) = 0 E3(1) = +能级一级能级一级近似：近似： 222)1(303)1(202)1(101EEEEEEEEE简并完简并完全消除全消除(2) 0 级近似波函数级近似波函数00000321 ccc 0)()(31231 ccccc 0231ccc将将代入方程，可得对应能级代入方程，可得对应能级归一化归一化 2112111*1*11|200 cccccc 10121)0(1 0000000001)1(1)1(11)0(knknkknccIEHccEccHcH 级近似波函数级近似波函数.3900000000321 ccc 0013 cc 1 1|0000222

24、2*2 cccc 010)0(2 10121)0(3 归一化归一化031 cc将将代入方程，可得对应能级代入方程，可得对应能级将将代入方程，可得对应能级代入方程，可得对应能级同理可得同理可得.401、Stark 效应效应氢原子在外氢原子在外下产生下产生的现象，称为的现象，称为 。电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，第 个能级有个能级有 度简度简并。加入并。加入后，后，发生发生，。Stark 效应可用效应可用予以解释。予以解释。2、外电场下氢原子、外电场下氢原子 Hamilton 量量222002 , cosseHrHHHHere ze r 二、氢原子的一级

25、二、氢原子的一级 Stark 效应效应.413、 H0的本征值和本征函数的本征值和本征函数4221, 2,3,2()( )(,)snnlmnllmeEnnrRr Y 下面我们只讨论下面我们只讨论 n = 2 的情况，这时简并度的情况，这时简并度 n2 = 4。422022088ssnseeEaae 取外电场沿取外电场沿 z 正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得正向。通常外电场强度比原子内部电场强度小得多。例如，强电场多。例如，强电场，而原子内部电场，而原子内部电场，二，二者差者差4个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰处理。个量级。所以，可以把外电场的影响作为微扰处理。.42 条件：H

26、中H(t)定态H=H0+H, HH0 H0的本征态及本征谱已知u微扰的本质是逐步逼近u简并微扰的结果可以消除或部分消除简并对称破缺定态微扰论一般结论定态微扰论一般结论 .433 变分法与氦原子基态变分法与氦原子基态适用于：适用于：00,HHHHH如上述条件不适用，则不能用微扰法求解体系的运动状态。如上述条件不适用，则不能用微扰法求解体系的运动状态。 本节，介绍一种新的求解微观体系运动状态的近似方法本节，介绍一种新的求解微观体系运动状态的近似方法。变分法主要用于。变分法主要用于。.44设体系的设体系的 Hamilton 量量 的的顺序排列为：顺序排列为：设设H本征值是分立的，本征函数组成正交归一

27、完备系，即本征值是分立的，本征函数组成正交归一完备系，即 mnnmnnnnnnnEH |1|,2, 1 ,0 ,|一、变分法原理一、变分法原理1、能量平均值、能量平均值能级能级 本征态本征态.4520nnHcEE( )( )( )0H 量子力学变分法量子力学变分法.46基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数基于上述基本原理，我们可以选取很多波函数为试探波函数，来计算能量平均值为试探波函数，来计算能量平均值kHHHH,21其中最小的一个最接其中最小的一个最接近基态能量近基态能量 ，即，即120Min,kH HHE如果选取的如果选取的接近基态波函数，则接近基态波函数，则就接近就接近基态能量基态能

28、量 。这样，我们就找到了一个计算。这样，我们就找到了一个计算的的。使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：使用此方法求基态近似，最主要的问题，就是：.47试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数试探波函数的选取直接关系到计算结果。如何选取试探波函数没有固定可循的法则，通常是根据没有固定可循的法则，通常是根据物理上的直觉去猜测。物理上的直觉去猜测。（1）根据体系）根据体系 Hamilton 量的形式和量的形式和推测合理的推测合理的 试探波函数；试探波函数；（2）试探波函数要满足问题的）试探波函数要满足问题的；（3）为了有选择的灵活性，试探波函数应包含一个）为了有选择的灵活性，试探

29、波函数应包含一个 或多个待调整的参数，这些参数称为或多个待调整的参数，这些参数称为；（4）若体系）若体系 Hamilton 量可以分成两部分量可以分成两部分 ， 而而H0的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的本征函数已知有解析解，则该解析解可作为体系的试探波函数。的试探波函数。2、试探波函数的选取、试探波函数的选取.48有了试探波函数后，我们就可以计算有了试探波函数后，我们就可以计算 | HH)()()(| )( HHH 能量平均值是变分参数能量平均值是变分参数的函数，欲使的函数，欲使取最小值，则要求：取最小值，则要求：0d)(dd)(d HH上式就可定出试探波函数中的变分参量上式就可

30、定出试探波函数中的变分参量取何值时取何值时 有最有最小值，而此时的小值，而此时的就可作为就可作为，试探波函数可，试探波函数可作为作为。3、变分方法、变分方法.49例：一维简谐振子的基态例：一维简谐振子的基态一维简谐振子一维简谐振子Hamilton 量：量：2221222dd2xxH 其本征函数是：其本征函数是：)()(2/22xHeNxnxnn 下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。下面我们利用变分法求谐振子基态。首先构造试探波函数。2e)(xAx .502e)(xAx A 归一化常数，归一化常数， 是变分参量。因为是变分参量。因为1.(x)是光滑连续的函数，是光滑连续的函数，；2. 满足边界条件即当满足边界条件即当 时，时，；3. (x)是高斯函数，高斯函数有很好的性质，是高斯函数，高斯函数有很好的性质，可作可作解析积分解析积分，且有积分表可查。，且有积分表可查。.511. 对试探波函数定归一化系数：对试探波函数定归一化系数：2)(xAex xAxxxxde|d)(*)(12 22 2|2A 2|2 A2. 能量平均值能量平均值 xHHd*)( xxAxxxdee|22222 2221dd2 2 122812)( H.