伴随矩阵的性质及运用11

1、伴随矩阵的性质及运用 邓文斌 09数计摘 要 伴随矩阵是矩阵的重要概念，有它可以推导出方阵的逆矩阵的计算公式从而解决方阵求逆的问题。同时伴随矩阵的性质也相当重要，本文列举了伴随矩阵的若干性质及给出了相关证明，最后给出了用性质解决问题。关键字：矩阵；伴随矩阵；性质；运用引 言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点在计算中经常出现把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.1. 伴随矩阵的定义设是矩阵A =中元素的代数余子式，矩阵=称为A的伴随矩

2、阵。A的伴随矩阵有两步骤定义：（1） 把A的每个元素都换成它的代数余子式，（代数余子式定义：在一个n级行列式D中，把元素第i行第j列元素（i，j = 1, 2，。n）所在的行与列划去后，剩下的个元素按照原来的次序组成一个n-1 阶行列式，称为元素的余子式，带上符号称为的代数余子式，记作。）（2） 将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵。2. 伴随矩阵的实例2.1 二阶伴随矩阵的求法 设A是一个二阶矩阵，则有A可得（i，j =1,2）为代数余子式 则A的伴随矩阵为= 2.2三阶伴随矩阵的求法对于三阶矩阵首先求出 各代数余子式A11 = (-1)2 * (a22 * a33 - a23 * a32)

3、 = a22 * a33 - a23 * a32A12 = (-1)3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31A13 = (-1)4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31A21 = (-1)3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32A33 = (-1)6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21然后伴随矩阵就是3.伴随矩阵的性质3.1 ，E为n阶单位矩阵

4、。3.2 矩阵A式可逆矩阵的充分必要条件是A非退化，而（） 证明：当，由，可知，A可逆，且 反过来，如果A可逆，那么有使 两边去行列式，得 因而，即A非退化。 该性质用来直接求逆矩阵，对于求逆矩阵和矩阵证明有用。3.3 若A为非奇异矩阵，则 证明：因为，由两边取逆可得 ，故 另一方面，由，有 可得 综上， 该性质说明了A的逆你伴随矩阵和A的联系。3. 伴随矩阵的性质4.1令A,B为n阶矩阵，则（1）A对称（2）A正交 （3）若A与B等价，则（4）若A与B相似，则（5）若A与B合同，则（6）A=B；（7）A正定（8）A为可逆矩阵（9）如果A是可逆矩阵，那么A为反对称 证明：这里只证（1），（2）

5、，其余的这里就不再证明了。(1) ; (2) 因为A是正交矩阵， 故是正交矩阵.4.2 ，其中A是n阶方阵（n2）证明：若若，这时秩1，而也有综上得 4.3设A为n阶矩阵，则秩= 证明:事实上，当秩A=n，即A可逆时，由于，故也是可逆的，即秩=n当秩A=n-1时，有，于是， ，从而秩；又因秩A=n-1，所以至少有一个代数余子式，从而又有秩，于是秩=1当时，=0，即此时秩=0 4.4 若A=，则证明：= 4.5 设k为常数， 证明：。 4.6 当A可逆时，。证明：由，。而，故结论成立。 4.7 证明：当=0时，秩=0， =0， 当时， 4.8 = 证明： = 而 ，故结论成立。4.9 若A为正交

6、矩阵，则也是正交矩阵。 证明：因为A为正交矩阵，则于是 故 也是正交矩阵。4.10 设为n阶可逆矩阵A的一个特征值，则为的特征值。证明：，又为的特征值，故 存在非零向量a ，使 即 从而，故为的特征值。4.11 若A是正定矩阵,则也是正定矩阵。证明首先正定矩阵有以下结论:A是正定矩阵的充分必要条件是A的特征值全为正。不妨设、为A的特征值,若A是正定矩阵,则0,i=1,2,n,|A|0且A可逆。因为=|A|,所以的特征值为:|，由以上的条件知, 的所有特征值全都为正。所以也是正定矩阵。5 伴随矩阵的应用5.1 若，求。解：A=， ，由3.2性质得。 此题比较常见求A的逆矩阵问题5.2 设. 解

7、： 由，因为 本题所以.此题是求 A的逆矩阵的伴随矩阵，若用伴随矩阵的定义求解则太复杂5.2 已知3阶矩阵A的逆矩阵为试求伴随矩阵的逆矩阵.解：，又性质3.3得，所以。此题把求A的伴随矩阵的逆矩阵问题转化为求A的逆矩阵的伴随矩阵问题。5.3 若，则求。解：，又，得，。5.4已知为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为，且，求.解 .5.5、已知和均为阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵，求的伴随矩阵.解 由得，5.6 设为一个3阶矩阵，且已知，求.解 因为，所以 .5.7已知都是阶方阵，.解 5.8已知为阶可逆矩阵,且，化简.解 因为，所以 ，所以5.9 已知和为三阶可逆矩阵，且，求. 解 经计算

8、可得，所以 5.10 设、为三阶相似矩阵，的特征值为1，1，3，求.解 因为的特征值为1，1，3， 故，所以 的特征值为，又因为，所以，所以 的特征值为3，3，1， 所以。5.11 设A为三阶矩阵，A的特征值为1，5，7.试求行列式.解 ： 因为=由性质13知，的特征值分别为35,7,5.于是的特征值为35-2=33,7-2=5,5-2=3.故.5.12 已知三阶矩阵满足条件：（1），其中是的代数余子式；（2），求. 解 由条件（1）知,再由性质2得，,所以或.又，故.三阶实可逆矩阵的特征值为，求：5.13 （1）的特征值；（2）行列式的值. 分析 利用与的特征值的关系. 解 设为的特征值，则

9、为的特征值，为的特征值.由性质8，为的特征值.（1） 设为的特征值，是属于的特征向量，则，由此可得，则 .又，设，则的特征值为.（2）同（1），可求得的特征值为,故.小结 本文运用矩阵计算的有关方法和技巧，以及应用已经证明了的关于伴随矩阵的性质，进一步证明了矩阵的伴随矩阵的其它相关性质. 本文总结了伴随矩阵的重要性质及其部分应用，无论是对于教师还是学生来说，熟练掌握了这些性质和应用，就能够使自己对伴随矩阵的理解和认识更全面和更深刻。通过对所学知识的掌握和了解，使我们可以更加进一步了解伴随矩阵在数学中的地位和作用，在解决复杂的数学问题时，使我们能够更加灵活运用它来解决实际问题其实数学知识不在于举多少例子，关键在于是不是真正理解了其内涵，是不是能够熟练地把其运用到生活中创造它的价值。 参 考 文 献1张志让，刘启宽.高等代数M.北京：高等教育出版社，2008.71.2赵建中，叶红萍.伴随矩阵的一些