全国高中数学联合竞赛一试A卷试题及详细解析Word版

1、2014年全国高中数学联合竞赛一试（A卷）参考答案及评分标准一、 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。1. 若正数满足，则的值为_答案：108.解：设，则，从而。2. 设集合中的最大元素与最小元素分别为，则的值为_答案：。解：由知，当，时，得最大元素，又，当时，得最小元素。因此，。3. 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是_答案：解：在上，单调递增，等价于，即。在上，单调递增，等价于，即，因此实数的取值范围是4. 数列满足，则_答案：。解：由题设记数列的前项和为，则所以将上面两式相减，得故5. 正四棱锥PABCD中，侧面是边长为1的正三角形，M，N分别是边AB，BC的中点，则异面直

2、线MN与PC之间的距离是_答案：解：设底面对角线AC，BD交于点O，过点C作直线MN的垂线，交MN于点H。由于PO是底面的垂线，故POCH，又ACCH，所以CH平面POC，故CHPC。因此CH是直线MN与PC的公垂线段，又，故异面直线MN与PC之间的距离是。6. 设椭圆的两个焦点是，过点的直线与交于点。若，且。则椭圆的短轴与长轴的比值为_答案：解：不妨设，。记椭圆的长轴，短轴的长度分别为，焦距为，则，且由椭圆的定义知，于是设为线段的中点，则，且有。由勾股定理知，即，解得，进而，因此椭圆的短轴与长轴的比值为7. 设等边三角形ABC的内切圆半径为2，圆心为I，若点P满足PI=1，则APB与APC的

3、面积之比的最大值为_答案：解：由PI=1知点P在以I为圆心的单位圆K上。设，在圆上取一点，使得取到最大值，此时应落在内，且是与圆的切点。由于，故 其中，由知，于是，所以根据、可知，当时，的最大值为8.设A，B，C，D是空间四个不共面的点，以的概率在每对点之间连一条边，任意两对点之间是否连边是相互独立的，则A，B可用（一条边或者若干条边组成的）空间折线连接的概率为_答案：解：每对点之间是否连边有2种可能，共有种情况。考虑其中A，B可用折线连接的情况数。（1） 有AB边：共种情况。（2） 无AB边，但有CD边：此时A，B可用折线连接当且仅当A与C，D中至少一点相连，且B与C，D中至少一点相连，这样

4、的情况数为。（3） 无AB边，也无CD边：此时AC，CB相连有种情况，AD，DB相连也有种情况，但其中AC，CB，AD，DB均相连的情况重复计了一次，故A，B可用折线连接的情况数为。以上三类情况数的总和为32+9+7=48，故A，B可用折线连接的概率为。二、 解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9.（本题满分16分）平面直角坐标系中，P是不在轴上的一个动点，满足条件：过P可作抛物线的两条切线，两切点连线与PO垂直。设直线与直线PO，轴的交点分别为Q，R。（1） 证明R是一个定点；（2） 求的最小值。解：（1）设点的坐标为，易知。记两切点，的坐标分别为，则，的方程分别为 而点的坐标同时满足，。故，的坐标均满足方程 ，故就是直线的方程。直线与的斜率分别为与，由知，故。 4分从而即为，故与轴的交点是定点（2，0）。 8分（2）因为，故直线的斜率，直线的斜率。设，则为锐角，且当时，的最小值为。 16分10.（本题满分20分）数列满足，。求正整数，使得。解：由已知条件可知，对任意正整数，且 由于，故。由得，故即。 10分因此，（利用）由，得。 20分11.（本题满分20分）确定所有的复数，使得对任意复数，均有。解：记，则 假如存