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文档简介
1、用面积证明勾股定理方法一:将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形。 图(1)中,所以。 方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形。 图(2)中,所以。方法三:将四个全等的直角三角形分别拼成如图(3)1和(3)2所示的两个形状相同的正方形。 在(3)1中,甲的面积=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 在(3)2中,乙和丙的面积和=(大正方形面积)(4个直角三角形面积), 所以,甲的面积=乙和丙的面积和,即:.方法四:如图(4)所示,将两个直角三角形拼成直角梯形。 ,所以。1 如图,圆柱的高为10 cm,底面半径为2 cm.,在下底面的A点处有一只蚂蚁,它想吃到上底
2、面上与A点相对的B点处,需要爬行的最短路程是多少?2 如图,长方体的高为3 cm,底面是边长为2 cm的正方形. 现有一小虫从顶点A出发,沿长方体侧面到达顶点C处,小虫走的路程最短为多少厘米? 答案AB=53、一只蚂蚁从棱长为1的正方体纸箱的B点沿纸箱爬到D点,那么它所行的最短路线的长是_。BCBACD 4、如图,小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸,已知该纸片宽AB为8cm,长BC为10cm当小红折叠时,顶点D落在BC边上的点F处(折痕为AE)想一想,此时EC有多长?5如图,将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠,使C点与A点重合,则EB的长是( )A3B4 C D5 6已知:如图,
3、在ABC中,C=90°,B=30°,AB的垂直平分线交BC于D,垂足为E,BD=4cm求AC的长7、如图,有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6,BC=8,现将直角边AC沿直线AD折叠,使其落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为 8、如图,在矩形中,将矩形折叠,使点B与点D重合,落在处,若,则折痕的长为 。9、如图,已知:点E是正方形ABCD的BC边上的点,现将DCE沿折痕DE向上翻折,使DC落在对角线DB上,则EBCE_10、如图,AD是ABC的中线,ADC45o,把ADC沿AD对折,点C落在C´的位置,若BC2,则BC´_CBAAFEDCBDC题
4、5图11如图1,有一块直角三角形纸片,两直角边AC6cm,BC8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( )A.2cm B.3 cm C.4 cm D.5 cm图1D12、有一个直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿CAB的角平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗? ADBCEF13、如图,在ABC中,B=,AB=BC=6,把ABC进行折叠,使点A与点D重合,BD:DC=1:2,折痕为EF,点E在AB上,点F在AC上,求EC的长。14已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此
5、长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为EF,则ABE的面积为() A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2ABEFDC第11题图15如图,将矩形ABCD沿EF折叠,使点D与点B重合,已知AB3,AD9,求BE的长16、如图,每个小方格的边长都为1求图中格点四边形ABCD的面积。17、如图,已知:在中,分别以此直角三角形的三边为直径画半圆,试说明图中阴影部分的面积与直角三角形的面积相等图818如图8,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF 的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合),在AD上适当移动三角板顶点P:能否使你的三角板两直角边
6、分别通过点B与点C?若能,请你求出这时 AP 的长;若不能,请说明理由再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH 始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE2cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由21能.设APx米,由于BP216+x2,CP216+(10x)2,而在RtPBC中,有BP2+ CP2BC2,即16+x2+16+(10x)2100,所以x210x+160,即(x5)29,所以x5±3,所以x8,x2,即AP8或2,能.仿照可求得AP4.19.如图ABC中,则MN= 4 20、直角三角形的面积为,斜边上的
7、中线长为,则这个三角形周长为( )(A) (B) (C) (D)解:设两直角边分别为,斜边为,则,. 由勾股定理,得. 所以. 所以.所以.故选(C)21在中,边上有2006个不同的点,记,则=_.解:如图,作于,因为,则.由勾股定理,得.所以所以.因此.22如图所示,在中,且,求的长. 解:如右图:因为为等腰直角三角形,所以. 所以把绕点旋转到,则. 所以.连结. 所以为直角三角形. 由勾股定理,得.所以. 因为所以. 所以. 所以.23、如图,在ABC中,AB=AC=6,P为BC上任意一点,请用学过的知识试求PC·PB+PA2的值。ABPC24、如图在RtABC中,,在RtABC
8、的外部拼接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形。如图所示:要求:在两个备用图中分别画出两种与示例图不同的拼接方法,在图中标明拼接的直角三角形的三边长(请同学们先用铅笔画出草图,确定后再用0.5mn的黑色签字笔画出正确的图形)解:要在RtABC 的外部接一个合适的直角三角形,使得拼成的图形是一个等腰三角形,关键是腰与底边的确定。要求在图中标明拼接的直角三角形的三边长,这需要用到勾股定理知识。下图中的四种拼接方法供参考。25如图,A、B两个村子在河CD的同侧,A、B两村到河的距离分别为AC=1km,BD=3km,CD=3km,现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的
9、费用为20000元/千米,请你在CD选择水厂位置O,使铺设水管的费用最省,并求出铺设水管的总费用F。26已知:如图,ABC中,C = 90°,点O为ABC的三条角平分线的交点,ODBC,OEAC,OFAB,点D、E、F分别是垂足,且BC = 8cm,CA = 6cm,则点O到三边AB,AC和BC的距离分别等于
10、160; cmCOABDEF第26题图ABPC第28题图27(8分)如图,在ABC中,AB=AC,P为BC上任意一点,请说明:AB2AP2=PB×PC。28、如图,已知:,于P求证: AB小河东北牧童小屋29(本题满分6分)如图,一个牧童在小河的南4km的A处牧马,而他正位于他的小屋B的西8km北7km处,他想把他的马牵到小河边去饮水,然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少?30. (本题满分6分)如图所示,某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆,下方是长方形的仿古通道,现
11、有一辆卡车装满家具后,高4米,宽2.8米,请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道.31在一棵树的10米高B处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处;另一只爬到树顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,则这棵树高多少米?32在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面1米,一阵风吹来,红莲移到一边,花朵齐及水面,已知红莲移动的水平距离为2米,求这里的水深是多少米?33长为4 m的梯子搭在墙上与地面成45°角,作业时调整为60°角(如图所示),则梯子的顶端沿墙面升高了_m34已知:如图,ABC中,C90°,D为AB的中点,E、F分别在A
12、C、BC上,且DEDF求证:AE2BF2EF235已知:如图,在正方形ABCD中,F为DC的中点,E为CB的四等分点且CE,求证:AFFE36已知ABC中,a2b2c210a24b26c338,试判定ABC的形状,并说明你的理由37已知a、b、c是ABC的三边,且a2c2b2c2a4b4,试判断三角形的形状38如图,长方体的底面边长分别为1cm和3cm,高为6cm如果用一根细线从点A开始经过四个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?如果从点A开始经过四个侧面缠绕n圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?39、a、b为任意正数,且a>b,求证:边长为2ab、 a2b2、a2+b2的
13、三角形是直角三角形40. 三角形的三边长为,则这个三角形是( )(A) 等边三角形 (B) 钝角三角形 (C) 直角三角形 (D) 锐角三角形.41.(12分)如图,某沿海开放城市A接到台风警报,在该市正南方向100km的B处有一台风中心,沿BC方向以20km/h的速度向D移动,已知城市A到BC的距离AD=60km,那么台风中心经过多长时间从B点移到D点?如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险,正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险?ABCD第24题图42.(14分)ABC中,BC,AC,AB,若C=90°,如图(1),根据勾股定理,则,
14、若ABC不是直角三角形,如图(2)和图(3),请你类比勾股定理,试猜想与的关系,并证明你的结论. . 解:若ABC是锐角三角形,则有a2+b2>c2 若ABC是钝角三角形,C为钝角,则有a2+b2<c2 当ABC是锐角三角形时,证明:过点A作ADCB,垂足为D。设CD为x,则有DB=ax 根据勾股定理得 b2x2c2(ax) 2即 b2x2c2a22axx 2a2b2c22ax a>0,x>02ax>0a2+b2>c2 当ABC是钝角三角形时,43(10分)如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处,以10 千米/时的速度向北偏西60
15、6;的BF方向移动,距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域 (1)A市是否会受到台风的影响?写出你的结论并给予说明; (2)如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?44、将一根24cm的筷子,置于底面直径为15cm,高8cm的圆柱形水杯中,如图所示,设筷子露在杯子外面的长度为hcm,则h的取值范围是()Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm45如图,已知:,于P. 求证:. 思路点拨: 图中已有两个直角三角形,但是还没有以BP为边的直角三角形. 因此,我们考虑构造一个以BP为一边的直角三角形. 所以连结BM. 这样,实际上就得到了4个直角三角形. 那
16、么根据勾股定理,可证明这几条线段的平方之间的关系.解析:连结BM,根据勾股定理,在中,. 而在中,则根据勾股定理有. 又 (已知),. 在中,根据勾股定理有,. 46【变式2】已知:如图,B=D=90°,A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于点E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析:延长AD、BC交于E。A=60°,B=90°,E=30°。AE=2AB=8,CE=2CD=4,BE2=AE2-
17、AB2=82-42=48,BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12,DE=。S四边形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=47【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD, 与地面交于H解:OC1米(大门宽度一半),OD0.8米(卡车宽度一半)在RtOCD中,由勾股定理得:CD.米,C.(米).(米)因此高度上有0.4米的余量,所以卡车能通过厂门4
18、8、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且QPN30°,点A处有一所中学,AP160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后
19、结束影响学校。 解析:作ABMN,垂足为B。 在 RtABP中,ABP90°,APB30°, AP160, ABAP80。 (在直角三角形中,30°所对的直角边等于斜边的一半) 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图,假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响,那么AC100(m),由勾股定理得: BC21002-8023600, BC60。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD100(m),BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m÷5m/
20、s24s。 答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。 (一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决49、如图所示,ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DEDF,若BE=12,CF=5求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD解:连接AD因为BAC=90°,AB=AC又因为AD为AB
21、C的中线,所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45°因为EDA+ADF=90°又因为CDF+ADF=90°所以EDA=CDF所以AEDCFD(ASA)所以AE=FC=5同理:AF=BE=12在RtAEF中,根据勾股定理得:,所以EF=13。总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。50 如图,在等腰ABC中,ACB=90°,D、E为斜边AB上的点,且DCE=45°。求证:DE2=AD2+BE2。分析:利用全等
22、三角形的旋转变换,进行边角的全等变换,将边转移到一个三角形中,并构造直角三角形。51 如图,在A BC中,AB=13,BC=14,A C=15,则BC边上的高A D= 。答案12。52 如图,长方形ABCD中,AB=8,BC=4,将长方形沿AC折叠,点D落在点E处,则重叠部分AFC的面积是 。设EF=x,那么AF=CF=8-x,AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3,S=4*8/2-3*4/2=10答案:1053 在ABC中,AB=15 ,AC=20,BC边上的高A D=12,试求BC边的长.答案25或7 54 在A BC中,D是BC所在直线上一点,若AB=l0,BD=6,AD=8,AC=17,求ABC的面积。答案84或3655. 若
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